广州二模2022届高三数学模拟试题

广东省广州市2022届高三二模数学试题

一、单选题

1.若复数z=F二是实数，则实数()

1+1

A.-1B.0C.1D.2

2.下列函数中，既是偶函数又在(O,y)上单调递增的是()

C.y=|R-lD.y=

3.某种包装的大米质量J(单位:kg)服从正态分布根据检测结果可

知尸(9.98<^<10.02)=0.98,某公司购买该种包装的大米2000袋.则大米质量在10.02kg

以上的袋数大约为()

A.10B.20C.30D.40

4.已知数列｛。“｝是等差数列，且4+%+4=乃，贝iJtan(4+%)=()

6.甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛(每两个球队都要比赛一场)，每场比赛

的计分方法是；胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队

的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，贝IJ()

A.甲胜乙B.乙胜丙C.乙平丁D.丙平J

7.已知抛物线G：V=4x,圆C2：(x-2)2+/=2,直线/：y=A(x—l)与G交于4、B

两点，与C?交于M、N两点，若|加=8,则|MN|=()

A.714B.aC.巫D.迈

22

8.己知〃>0且awl,若集合M=<x},N={x[/<iogax},且N=〃，则实数

ci的取值范围是()

A.(0,1)U1,/B.(O,l)U尻+8

(\__1_\

c.(O,1)U1,/D.(O,l)Ue2c,+oo

7

二、多选题

9.抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A,“第二枚骰

子出现的点数不小于3”为事件B,则下列结论中正确的是（）

A.事件4与事件B互为对立事件

B.事件A与事件3相互独立

C.尸（B）=2P（A）

D.P（A）+P（B）=1

10.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE=BE,AF±DE,F

是垂足，G在8D上，10G=2BG,则下列结论中正确的是（）

A.AF1.BD

B.直线£>£与直线AG所成角的余弦值为g

C.直线OE与平面ABC。所成角的余弦值为远.

6

D.若平面AFGc平面=则/〃尸G

11.已知直线y=与曲线y=ei—2b+l相切，则下列不等式成立的是

()

,121

A.cib«—B.—I—«8

8ab

C.4^+4h<—D.3*6

2

12.我们常用的数是十进制数,$ni079=lxl03+0xl02+7x10'+9x10%表示十进制的

数要用10个数码.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;而电子计算机用的数是二进制数，

只需两个数码0和1，如四位二进制的数11。%）=1x2,+1x2。+0x2+1x2°,等于十进

制的数13.把〃?位〃进制中的最大数记为其中m,"eN”,〃W2,为

十进制的数，则下列结论中正确的是（）

A.M（5,2）=31

B.M（4,2）=M（2,4）

C.M（〃+2,〃+l）<M（〃+l,〃+2）

D.++>A/（〃+l,〃+2）

三、填空题

13.已知心坂是两个单位向量，c=2a+b>S.blc>则无R+B）=.

14.写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程.

①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为y=2x；③焦距大于10

15.函数/（x）=sin?rx-hi|2x-3|的所有零点之和为.

四、双空题

16.在梯形48。中，AB〃CD,AB=2、AD=CD=CB=\,将△AC。沿AC折起，连

接BD,得到三棱锥D-A3C,则三棱锥。-ABC体积的最大值为.此时该

三棱锥的外接球的表面积为.

五、解答题

17.问题：已知〃eN*,数列｛%｝的前"项和为S“，是否存在数列｛q｝,满足

S,=l,a„+I>1+«„,?若存在.求通项公式4;若不存在，说明理由.

在①《向=2（6二+底）；②q=S,i+"5N2）；③。,向=2”“+〃-1这三个条件中任选

一个，补充在上面问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，

体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班

机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表

成绩等级优良合格不合格

频数711411

（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的

人数记为X,求尸(X=l)；

(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑

测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能

完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分.这3名学生所得总分

记为匕求丫的数学期望.

19.在平面四边形A8CD中，NA=90。,NO=60。,AC=6,CO=3后.

⑴求“。力的面积；

93

(2)若COSNAC8=3,求AB+e8c的值：

164

20.如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，ZABC=60°,EF//AC,AC=2EF,

平面AEFCmABCD,AE=AB.

(2)若AELAC,求二面角A-CF-O的余弦值.

21.已知椭圆C：3+g=l(a＞b＞0)的离心率为白，短轴长为4；

⑴求C的方程；

(2)过点P(-3,0)作两条相互垂直的直线上4和/?,直线4与C相交于两个不同点A,B,

在线段AB上取点Q,满足\A扇Q\=词AP\，直线4交y轴于点R，求△PQR面积的最小值.

22.已知函数/(x)=2xlnx-炉一〃?x+i.

⑴若相=0,求“X)的单调区间；

(2)若加＜0,0＜匕＜。，证明：21n上当〈孚，一〃?.

a-ba--b-

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

利用复数的除法运算求出复数z,再由已知列式计算作答.

【详解】

，、—一-i)加一1一(m+l)im-\m+\.、,,

依题意，-=-----------=------—•,因，"eR,且zM是实数，则=0,

解得机=-1,

所以实数机=-1.

故选：A

2.C

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】

对A：容易知y=是偶函数，且在(0,”)单调递减，故错误；

对B：容易知y=k|-f是偶函数，当x>0时，y=x-x2,

其在(0,；)单调递增，在(g,+«>)单调递减，故错误；

对C：容易知y=W-i是偶函数，当x>0时，y=x-i是单调增函数，故正确；

对D：容易知y=■是奇函数，故错误；

X

故选：C.

3.B

【解析】

【分析】

根据大米质量4~N(10,b2),利用正态分布的对称性求出P(自>10.02),再列式计算作答.

【详解】

因大米质量孑~N(10,〃)，且P(9.984』M10.02)=0.98,则

PC>10.02)=1二，(9.98；4410.02)=0()1)

所以大米质量在1002kg以上的袋数大约为2000x0.01=20.

故选：B

【解析】

【分析】

利用等差数列的性质求出名，再利用此性质结合诱导公式计算作答.

【详解】

在等差数列｛4｝中,%+%+/=万，则有3%=乃,即。5=?，

所以tan(4+%)=tan2a5=tan=一石.

故选：D

5.B

【解析】

【分析】

根据三角函数的对称性，带值计算即可.

【详解】

(27r)4/r

根据题意，sinl-2x—+1=0,即—+(p=k^,k&Z,

解得夕=后万+与MeZ；当&=—1时，网取得最小值。.

故选：B.

6.C

【解析】

【分析】

甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6

场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，

乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.

【详解】

解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，

由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2

场比赛是平局，即3x4+2x2=16,

丁得1分，即1+0+0=1,所以丁在3场比赛中有1场是平局，

丙得4分，即3+1+0=4,所以丙在3场比赛中有1场是平局，

而乙得分5分，即3+1+1=5,所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能

平丁，

故选：C.

7.B

【解析】

【分析】

联立直线方程和抛物线方程，设8伍,必），根据抛物线焦点弦长公式为+赴+〃和

韦达定理可求出％,根据圆的弦长公式彳即可求

【详解】

"2

由得，小/_（2公+4）x+r=o,

设4（内,乂），8（孙力）,：△＞（）,.•.再+%=2k=&+2,

k-k~

•••/:丫=耳X-1）过抛物线的焦点（1,0）,故AB为焦点弦，

*".|A5|=芭+毛+2=8,.•.1+/=6,*,*—2+2=6,解得k=±1,

由圆关于％轴对称可知,k=l和仁一1时|例相同,

故不妨取女=1,/为y=x—1,BPx—y—1=0,

圆心（2,1）到/的距离"J2*""=#,A\MN\=2V2-d2==46.

故选：B.

8.D

【解析】

【分析】

求出集合M,再由给定条件，对集合N分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求

解作答.

【详解】

依题意，A/={x|X^-l)<O}={x|O<x<l},N={x|x2-log〃x<0},令/(x)=d-log”x,

当0<a<l时,函数/(x)在(0,+oo)上单调递增，j/jj/(I)=1>0,f(a)=a2-I<0,贝

使得/'(x0)=0,

当0cx时，/(x)<0,当x>x(>时，f(x)>0,ittW?/={x|0<x<^}cM，因止匕，0<a<l,

当时，若0<x<l,Iog“x40,则/(x)>0恒成立，N=0,满足N=

于是当”>1时，NjM,当且仅当N=0,即不等式/(x)20对Vxe(0,«»)成立,

小心一*'由/加=。得户乐,当原时,小)<0,当X岳

时，f\x)>0,

则函数在(。,层)上单调递减’在(层,+8)上单调递增,

I1、11,11ln(21na)丁是得1JnQlna)]。

/(X)min=/([

2\na2lna2]na2\na

即1+ln(21na)>0,变形得Ina4；,解得“e匕从而得当“w段时，。恒成立，N=0,

满足NqM,

所以实数〃的取值范围是0<“<1或心上

故选：D

【点睛】

思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化

解决问题.

9.BCD

【解析】

【分析】

利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A,8的概率计算判

断C,D作答.

【详解】

依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，

即事件A与事件B不互斥，则事件4与事件B不是对立事件，A不正确；

显然有P(A)=W(B)=[=|,

抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：(1,1),(1,枚(1,3)均,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),

(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个，它们等可

能，

事件AB所含的结果有:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共8个，

o12

贝IJ有尸(AB)=9=4X4=P(A)尸(B),即事件A与事件B相互独立，B正确；

3633

2I2

显然P(B)=§=2尸(A),P(A)+P(B)=-+-=1,C,D都正确.

故选：BCD

10.AD

【解析】

【分析】

选项A：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；

选项B：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；

选项C：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；

选项D：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得.

【详解】

对于A：由圆柱的性质得：/)4_1_面^£»,面AES,:.DA±EB

又AB是下底面圆的直径.

又•.•4)cAE=A,ZMu面D4E,AEu面

.•.£»_1_面%£,又「AFu面:.EBLAF,又；AFd.DE

又•.,DEf]EB=E,DEu面DBE,BEu面D8E

.•.AF_L面QBE,又•；DBu而DBEAF工BD,A正确；

对于B：过点、G作GH〃DE交EB于点、H,如图

则ZAG”就是直线OE与直线AG所成角(或补角)

设他=3E=1,则AQ=A8=0

在向八4匹中，DE=#>

\-GH//DE,DG=2BG--GH=—DE=—

BD3

2

在等腰RtZXAB。中，BD=2,XvDG=2BG：.GB=-

在△ABG中，AB=V2，NA8G=—,

/.AG2=GB2+AB2-2GB•AB•cosZABG

即：AG=ll)+(^)2-2-|-V2-cos^=y

jr2

在Rt^AEH中，AE=1,Z.AEH=—,EH=—

AH2=AE2+EH2=I2=个

在AAGH中，AG2+GH2=AH2，

TT

:.ZAGH=-,cosZAGH=0,B错误；

2

对于C：取AB的中点。，连接。0,EO,如图所示

则：EOLAB,面AEB,又,rEOu面A£B:.DA1EO

又♦.,ZMC|A3=A,DAu面£>AB,ABIDAB

.,.EO_L面ZMB

NE£>0就是直线DE与平面ABC。所成角

又•；DE=GEO=—DO=yjDE2-EO2=—

22

Vio

.•心/加。=变=不=画，c错误；

DE66

对于D：在即△AED中,DE=y/3,EF。,DF=差~

：.FG//EB,又E3u面AE3,FG<Z而AE3

FG〃面AEB

又・平面49Gc平面A8E=/,9Gu面AFG

：.FG//l,D正确.

故选：AD.

11.AC

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义，求出。，人的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.

【详解】

设直线y=x+。与曲线y=e*T-乃+1相切的切点为(%,%),

由〉=尸-2"1求导得：yJe'T,则有e，Z=l,解得%=1,

因此，%=1+。=2-26，即。+2/>=1,而”>0力>0,

对于A,ab=--a-2b<-(^^-)2=~,当且仅当a=2b=L时取“="，A正确；

22282

对于B,—+—=(«+2^)(—+—)=4+—+—>4+2.1—--=8,当且仅当丝=：,即Q=2/?=?

ababab\abab2

时取“=”，B不正确；

对于C,因g+My+匹一而)2=a+b+q+2b=3(a+2b)=A,则有(夜+声了4。，

412222

即4a+\[b<,

2

&,—[a+2b=\2121

当且仅当华=疡，即4时取"="，由”得。=：力=：，所以当。=彳,/,=2时，

411a=463636

(&+斯)max=母，C正确；

对于D,由a+4=1,a>0/>0得，0<b<g,a+b=}-be^,}),而函数y=3”在R上

单调递增，

因此，73<3a+b<3,D不正确.

故选：AC

12.ABD

【解析】

【分析】

根据问题背景的介绍，可以得到机位〃进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大

数的式子，再进行大小比较即可.

【详解】

4320

对于A："(5,2)即是:11111(2)=1X2+1X2+1X2+1X2'+1X2=31,A正确；

32,0

对于B：M(4,2)即是：1111(2)=1X2+1X2+1X2+1X2=15

M(2,4)即是：3%)=3x4+3x4°=15,B正确;

对于C、D：

nGN\/t>2,即是:

wm…勺“+])+++।+…+〃("+1)+〃(〃+1)。

=%[(〃+1)"”+(〃+1)"+(〃+i广+…+(〃+1)+(〃+i)0]

1-(〃+1厂2

=n―i―=(n+l)-1

nGN*,〃>2,M(〃+1,〃+2)即是：

(〃+l)(〃+l)(〃+。…(〃+1底)

=(〃+l)(〃+2)"+(〃+l)(〃+2)"i+(〃+l)(〃+2)”"+...+(〃+1)(〃+2)+(〃+l)(〃+2)°

二(〃+l)[(〃+2)"+(〃+2)"々+(〃+2)〃2+…+(〃+2)+(〃+2)°]

/i\1一(〃+2)"1z\〃+i

=(n+\)----4——i―=(〃+2)-1

构造函数：〃x)=手，求导得：

r(加审

■,■xe(O,e),r(x)>0,〃x)单调递增；

xe(e,+e),r(x)<0,/(尤)单调递减;

vneN\n>2.-.e<H+l<n+2

/("+1)>〃“+2)代入得：】n(w+l)>ln(〃+2)

n+\n+2

即是：("+1)*2>(〃+2)向，，(〃+l)-2-l>(〃+2)"“-l

,M(〃+2,〃+l)>M(〃+l,〃+2),D正确.

故选：ABD

【点睛】

本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一

定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中

的应用，

运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题.

13.g##0.5

【解析】

【分析】

根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出再利用数量积的运算律计算作答.

【详解】

）rr1

a.b是两个单位向量，守=2万+方，且坂则石々=反（2万+氏=2M石+坂=0，解得〃％=--,

所以1,（M+q=M2+汗•/?=：.

故答案为：y

14.士-至=1（答案不唯一，写出一个即可）

14436

【解析】

【分析】

根据①设出双曲线方程，根据②求出“与匕的关系式，根据③对c进行赋值，进而联立解方

程求出双曲线方程，答案不唯一.

【详解】

22

由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：J-£-=i（a>0,/,>0）

由②一条渐近线方程为y=2x知，：=2,即4=力

b

由③知，2c>10,即c>5,

则可取c=6（此处也可取大于5的其他数）

22

又•・・/+/=c2,.♦.（28y+b=36,b=£

2必144

/.a=4b=——

5

则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：=1

14436

故答案为：至-至=1（答案不唯一，写出一个即可）.

14436

15.9

【解析】

【分析】

根据给定条件，构造函数〉=如心，y=ln|2x-3|,作出这两个函数的部分图象，确定两个

图象的交点个数，再结合性质计算作答.

【详解】

由/（x）=0<=>sin^x=ln|2x-3|,令）=sin7Lr,y=\n\2x-^,

3

显然y=sin"与y=ln|2x-3|的图象都关于直线x=：对称，

在同一坐标系内作出函数y=sin»,y=ki|2x-3|的图象，如图，

观察图象知，函数)，=sin7tx,y=ln|2x-3|的图象有6个公共点，其横坐标依次为

x,,x2,x3,x4,x5,x6,

3

这6个点两两关于直线x=5对称，有%+/=工2+毛=工3+%=3,则

F+42+工3+工4+%5+工6=9,

所以函数/(x)=sin/x-ln|2x-3|的所有零点之和为9.

故答案为：9

16.立##5万

1212

【解析】

【分析】

注意到三棱锥Q-A8C体积最大时，平面ACQL平面ABC,可知以B为顶点时，BC为三

棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、AACD

外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.

【详解】

过点C作垂足为E,

•.•ABC。为等腰梯形，AB=2,CD=\

:.BE=L,:.B=上

23

由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2ABBCCOS^3,即AC=6

AB1=BC2+AC2

BC±AC

易知，当平面ACD_L平面4BC时，三棱锥O-ABC体积最大,

此时，8C_L平面AC。

易知，ND=

;.S△A.。r。„=-2ADCDsin—3=—i

.V_1>/3.73

•M-A8C=§'彳'1=五

记。为外接球球心，半径为R

•.•BCJ•平面4CD,OB=OC

..0到平面AC£>的距离

AC

又△AC。的外接圆半径

2sin——

3

7?2=r2+rf2=-

4

/.S=4TTR2=5万

故答案为：—,5兀

12

【解析】

【分析】

选①：利用4,与S”的关系得到关于S“的递推公式，再由递推公式求S“，然后可得通项明；

选②：利用。,与S,的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公

式构造等比数列可解.

【详解】

选①：4/2(卮+后)=s„+l-s„=(卮+底)(瓦一区)

<Si=<7]=1,«„+|-«„>1

''>>/S"+i+>°

.•.卮-S=2,即｛底｝是以2为公差，1为首项的等差数列

:.厄=2n-T,即.(2〃一1尸

当“22时，a„=S“-S“T=(2〃-1)?一(2"-3>=8"-8

、f1,/I=1

显然，”=1时，上式不成立，所以可。

[8/z-8,n>2

选②：当“22时，a“=S“T+〃，即

所以4=S,-S“T=%-("+1)-(%-〃)

整理得％+1=2(%+1)

又4=S[+2=3,«2+1=4

所以｛。,,+1｝从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列

2

，当“22时，«„+|+1=4-2"=2",即%+1=2"-1

显然，”=1时，上式成立，所以",用=2"-1

选③：；4+1=26+1

:.an+l+n+l=2(an+n)

又4+1=2

•・•｛4“+〃｝是以2为公比和首项的等比数列

an+n=2",即an=2"-n

电（嗤;

(2)90.

【解析】

【分析】

（1）由题意根据古典概率公式可求得答案;

（2）由题得y可以取o,loo,200,300,分别求得y取每一个随机变量的概率得出丫的分

布列，由期望公式可求得答案.

⑴

cLc'126

解：由题意得尸（x=i）=-^d=

。60295

⑵

解：能完成活动的概率为普=。，不能完成活动的概率为会=—

60106UIU

由题得y可以取0,100，200,300,则

7Y343

p(y=o)=c；

10；1000

7丫441

p(y=ioo)=c；

ioj-lo66,

2

189

p(y=2oo)=c；

1000

7丫27

尸（y=3（x））=c；

10；1000

所以y的分布列为:

Y0100200300

34344118927

P

1000100010001000

34344118927

则丫的数学期望为双丫）=0乂二^+100x——+200x+300x=90.

1000100010001000

27舟27手

8

(2)8.

【解析】

【分析】

(1)在△AC。中，由余弦定理求得得A。，再根据三角形的面积公式可求得答案；

(2)在△AC。中，由正弦定理求得sin/DAC,再由正弦和角公式求得sin8,在AABC中,

根据正弦定理求得4?，BC,由此可求得答案.

(1)

解：在△ACO中，ZD=60°,AC=6,CD=3>/3,所以

CD2+AD2-AC227+3-36_i

COS。=

2ADCD2.A»3百~2

3月+3",36-3近冬+、

解得AD=----------------1-------------------百去),

22

所以「8」皿asin〃」36+35*3岛巫J7舟27"；

△Ai222"28

解:在中，〃=6。。”=6,336,所以利=旧/,即有二嬴赤,

3

)WWsinZDAC=-,

4

又ZA=90°,所以cosNCA5=cos］、一NZMC=sinADAC=,所以sinNC4B=也

44

又cosZACB=&,所以sin4CB=迫，

1616

所以sin8=sin［不一(ZAC8+NC48)］=sin(ZAC8+NC48)

=sinZACBcosZC4B+cosZACBsinZC4B

=葭迎+山上=也

4164168

ABBC6

ABBCAC

在△ABC中,即5币一行一3址，

sinZ.ACBsinZ.CABsin316-T丁

所以AB=x6x-标=5,BC=^-x6x—=4,

163s43V7

所以A8+，C=5+2X4=8.

44

20.(1)证明见解析：

⑵迎

19

【解析】

【分析】

(1)根据面面垂直的性质和判定可得证；

(2)设AC与8。相交于点O,连接FO,以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面

面角的空间向量求解方法可得答案.

(1)

证明:菱形ABCD中，8£>_LAC,又平面_L平面ABCD,平面AEFCc平面ABCD=AC,

所以平面AE/C,

又8。在平面BE。内，所以平面BED_L平面的C；

(2)

解：因为平面AE/7c，平面A8CD,AE_LAC.平面AEFCc平面4?C£>=AC,所以4£，平

面ABCD.

设4c与8。相交于点O,连接FO,

因为EF//4C,4C=2",所以防〃4O,AO=E尸，所以四边形AOE尸为平行四边形，所以

OF//EA,所以OFL平面ABC。，

菱形48CD中，ZABC=60°，所以AABC是正三角形，则OC=\,OF=AE=AB=2,OB=0。=6，

以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，

则A(0,-l,0),C(0,l,0),*0,0,2),味石,0,0),

则行^(。，-⑶，C4=(O,-2,O),而=隔0,2),

设平面ACF的法向量为n=(1,0,0),

一,、\ih-CF---y+2z=0广

设平面OCT7的法向量为机=(x,y,z),则｛一厂，令z=G，贝!I

'm-DF=yl3x+2z=0

^=(-2,273,73),

所以…上,。:片。双呼,

所以二面角A-的余弦值为噜.

84

(2)1.

【解析】

【分析】

(1)由题可得2b=4,e=£=\即得;

a

（2）由题可设4的方程为x=（y-3,利用韦达定理法可得|PQ|=g/，进而可得

|p/?|=37177,然后利用面积公式及基本不等式即求.

（1）

由题可得2b=4,e=£=J1—（2）=2^,

**•a-2yfl^b—2,

22

•••椭圆C的方程为J+2=1；

84

(2)

由题可知直线4的斜率存在且不为0,设直线人的方程为x=）-3,

4&，乂），8（%，%），。5，％），

x=ty-3

由V2，可得（产+2）/—6"+1=0,

---1--1—=1

84

由A=36/-4（产+2）=32/一8>0,可得f>g,或f<-g,

.,6r1

•・y+M=77Pxy2=77r

由博=嚣及P'A'Q'B四点共线，知止2L="L，

\QB\归身y2-J0%

2

・_2y%1

..v%%+必-&一犷

r+2

则iPQi=a^M>i=Y^『，

•1和4相互垂直，则4的方程为x=-；y-3,令x=o,得y=-3r,

-，•夫（0,-3/）,|PR|=Jl+卜