高二数学下册课时调研检测试题12

课时作业(二十四)[第24讲平面向量的数量积及应用][时间：45分钟分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝________.2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝3．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．4．在△ABC中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c且a·b＝b·c＝c·a,则△ABC的形状是____________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．a＝(2,3)，b＝(－1，－1)，则a·b＝________.6．[2011·惠州三模]已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为________．7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．8．[2011·苏北四市一调]设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________．9．[2011·镇江统考]已知Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝________.10．平面向量a＝(x，y)，b＝(x2，y2)，c＝(1,1)，d＝(2,2)，若a·c＝b·d＝1，则这样的向量a有________个．11．在△ABC中，C＝eq\f(π,2)，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λeq\o(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))|的最小值是________．12．[2011·南通一模]在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，则点C的坐标是________．13．(8分)[2011·南通一模]已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2.(1)求a·b的值；(2)求|a＋b|的值．14．(8分)已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．15．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．16．(12分)已知向量m＝(eq\r(3)sineq\f(x,4)，1)，n＝coseq\f(x,4)，cos2eq\f(x,4).(1)若m·n＝1，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C成等差数列，求函数f(A)的取值范围．

课时作业(二十四)【基础热身】1．－1[解析]λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，因为λa＋b与a垂直，所以λ＋4＋9λ＋6＝0，故λ＝－1.2．7[解析]|5a－b|＝eq\r(5a－b2)＝eq\r(25a2－10a·b＋b2)＝eq\r(25＋10×1×3×\f(1,2)＋9)＝7.3．[0,1][解析]∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当b≠0时，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]．4．等边三角形[解析]由a·b＝b·c＝c·a，a＋b＋c＝0，得AB＝BC＝CA，所以△ABC为等边三角形．【能力提升】5．－5[解析]a·b＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.6．120°[解析]由a·b＝|a||b|cosθ＝－60⇒cosθ＝－eq\f(1,2)，故θ＝120°.7.eq\f(\r(65),5)[解析]∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2×－4＋3×7,\r(4＋9)·\r(16＋49))＝eq\f(\r(5),5)，∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝eq\r(22＋32)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(65),5).8.eq\f(π,3)[解析]由a，b，c是单位向量，模都为1，a＝b＋c⇒a－b＝c⇒(a－b)2＝c2⇒a2＋b2－2a·b＝c2⇒a·b＝eq\f(1,2)⇒|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)⇒cosθ＝eq\f(1,2)⇒θ＝eq\f(π,3).9．1[解析]由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))⇒eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))⇒eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))⇒|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))|＝eq\f(1,2)eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())\o(AB,\s\up6(→))2＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))2).eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))⇒eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\o(BC,\s\up6(→))2，BC＝2.故|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝1.10．1[解析]依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2＋y2＝\f(1,2)，))其中x2＋y2＝eq\f(1,2)表示以原点O为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x＋y＝1的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故直线与圆相切，只有一个交点，故满足条件的a只有一个解．11.eq\r(2)[解析]如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,0)，故2λeq\o(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2eq\r(2λ2－2λ＋1)＝2eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，故最小值为eq\r(2)，在λ＝eq\f(1,2)时取得．12．(－1，－3)[解析]法一：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，直线OB方程为y＝eq\f(4,3)x，因点C在∠AOB的平分线上，所以点C到直线OB与y轴的距离相等，从而eq\f(|4x－3y|,5)＝|x|.又x2＋y2＝10，解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－3，))所以点C的坐标是(－1，－3)．法二：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，则因点C在∠AOB的平分线上，所以由cos〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＝cos〈eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉得eq\f(－y,1·\r(10))＝eq\f(－3x－4y,5\r(10)).又x2＋y2＝10，解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－3，))所以点C的坐标是(－1，－3)．13．[解答](1)由|a－b|＝2，得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4＋1－2a·b＝∴a·b＝eq\f(1,2).(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×eq\f(1,2)＋1＝6，∴|a＋b|＝eq\r(6).14．[解答]由条件知，cos45°＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，∴a·b＝3，设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝eq\f(a＋λb·λa＋b,|a＋λb|·|λa＋b|)<0，∴(a＋λb)·(λa＋b)<0.λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴eq\f(－11－\r(85),6)<λ<eq\f(－11＋\r(85),6).若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kλ＝1，,λ＝k.))∴k＝λ＝－1，∴eq\f(－11－\r(85),6)<λ<eq\f(－11＋\r(85),6)且λ≠－1.15．[解答](1)方法一：由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4)．所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).故所求的两条对角线的长分别为4eq\r(2)、2eq\r(10).方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，则E(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．故所求的两条对角线的长分别为|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(10)；(2)由题设知：eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)．由(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).16．[解答](1)m·n＝eq\r(3)sineq\f(x,4)·coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2)coseq\f(x,2)＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).∵m·n＝1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).(2)∵角A，B，C成等差数列，∴B＝eq\f(π,3).∴0<A<eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)<eq\f(A,2)＋eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，s