2017届高考理科数学知识点题组训练题17

题组层级快练(七)1．(2015·安徽文)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝lnx B．y＝x2＋1C．y＝sinx D．y＝cosx答案D解析y＝lnx为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，但不存在零点，y＝sinx为奇函数，故选D.2．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，均有()A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)>0 D．f(x)·f(－x)≤0答案D解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0.3．(2016·山东师大附中月考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为()A．y＝cos2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝x|x|，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R答案B解析由函数是偶函数可以排除C和D，又函数在区间(1，2)内为增函数，而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数，所以选择B.4．(2016·沧州七校联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.5．(2016·沧州七校联考)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1答案C解析函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．6.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f(2013)＋f(2014)＝()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析f(2013)＝f(3×671)＝f(0)＝0，f(2014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1，所以f(2013)＋f(2014)＝1.7．(2016·北京大兴期末)给出下列函数：①f(x)＝sinx；②f(x)＝tanx；③f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1；))④f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2－x，x<0.))则它们共同具有的性质是()A．周期性 B．偶函数C．奇函数 D．无最大值答案C解析f(x)＝sinx为奇函数，周期为2π且有最大值；f(x)＝tanx为奇函数且周期为π，但无最大值；作出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1))的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；作出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2－x，x<0))的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．所以这些函数共同具有的性质是奇函数．8．(2016·湖北黄冈调研)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，0)时，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，则f(log220)＝()A．1 B.eq\f(4,5)C．－1 D．－eq\f(4,5)答案C解析∵f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴定义在R上的函数f(x)是奇函数．∵4＝log216<log220<log232＝5，∴f(log220)＝f(log220－4)＝f(log2eq\f(5,4))＝－f(－log2eq\f(5,4))＝－f(log2eq\f(4,5))，∵－2<log2eq\f(4,5)<0，∴f(log2eq\f(4,5))＝2log2eq\f(4,5)＋eq\f(1,5)＝1，∴f(log220)＝－1，故选C.9．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数至少是()A．1 B．4C．3 D．2答案B解析由f(2)＝0，得f(5)＝0.∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0，6)内的解至少有1，2，4，5四个解．10．下列判断中正确的是________．①f(x)＝(eq\r(x))2是偶函数；②f(x)＝eq\r(x3)是奇函数；③y＝x0及y＝(x－1)0都是偶函数；④f(x)＝ln(eq\r(1－x2)－x)是非奇非偶函数；⑤f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\f(9,1－|x|)是偶函数．答案⑤11．若f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且x∈[0，1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集为________．答案{x|－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4)}解析∵f(x)为奇函数，且在[0，1)上为增函数，∴f(x)在(－1，0)上也是增函数．∴f(x)在(－1，1)上为增函数．f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0⇔f(x)＜－f(x－eq\f(1,2))＝f(eq\f(1,2)－x)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜1，,－1＜\f(1,2)－x＜1，,x＜\f(1,2)－x))⇔－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4).∴不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集为{x|－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4)}．12．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．答案(0，1)解析f(x)的图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．13．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5eq\f(1,2))的大小关系是__________．答案f(5eq\f(1,2))<f(－1)<f(4)解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称．又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，∴f(5eq\f(1,2))＜f(－1)＜f(4)．14．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．答案－1解析令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.15．(2016·湖北八校联考)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________．答案{x|－1<x<0或0<x<1}解析∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图像如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．16．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．答案－4解析由题意知，当x>0时，F(x)≤8.∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0.∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2013)＋f(－2014)的值．答案(1)f(0)＝0，f(2)＝0(2)f(3)＝－1(3)1解析(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2013)＋f(－2014)＝f(2013)＋f(2014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2013)＋f(－2014)＝1.1．函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图像关于()A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称答案C解析∵f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－(eq\f(1,x)－x)＝－f(x)，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)为奇函数，故f(x)的图像关于坐标原点对称．2．(2016·北京东城区段考)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，若f(2)>1，f(3)＝a，则()A．a<－3 B．a>3C．a<－1 D．a>1答案C解析∵f(x＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，又f(2)>1，∴a<－1，选择C.3．(2014·山东)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)答案D解析由题意可得准偶函数的图像关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图像存在不是y轴的对称轴．选项A，C中函数的图像不存在对称轴，选项B中函数的图像的对称轴为y轴，只有选项D中函数的图像存在不是y轴的对称轴．4．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数 B．偶函数C．增函数 D．周期函数答案D解析由题意f(1.1)＝1.1－[1.1]＝0.1，f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a，有f(a＋x)＝a＋x－[a＋x]＝x－[x]＝f(x)，故f(x)在R上为周期函数，故选D.5．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．答案06．(2016·浙江温州模拟)若函数f(x)＝eq\f(sinx,（x＋a）2)是奇函数，则a的值为________．答案0解析由f(－1)＝－f(1)，得eq\f(sin（－1）,（－1＋a）2)＝eq\f(－si