2015届中考数学基础过关检测题27

第27讲图形的相似及位似基础过关一、精心选一选1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为(D)A．1∶25B．1∶5C．1∶2.5D．1∶eq\r(5)2．(2014·玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(D)A．3B．6C．9D3．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对4．(2014·武汉)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的eq\f(1,2)后得到线段CD，则端点C的坐标为(A)A．(3，3)B．(4，3)C．(3，1)D．(4，1)5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为(C)A．2∶3B．2∶5C．4∶9D.eq\r(2)∶eq\r(3)6．(2013·上海)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．27．(2014·南通)如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(D)A．1B．2C．12eq\r(2)－6D．6eq\r(2)－68．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则eq\f(BF,EF)的值是(C)A.eq\r(2)－1B．2＋eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)二、细心填一填9．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP∽△AED__．,第9题图),第10题图)10．(2014·娄底)如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为__11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为__eq\f(6,5)__．,第11题图),第12题图)12．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则eq\f(BE,EC)的值是__eq\f(\r(3),3)__．13．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽为PB的矩形的面积，则S1__＝__S2.(填“＞”“＜”或“＝”),第13题图),第14题图)14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于A的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__(eq\f(5,3)，－4)__．15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__1.05__里．三、用心做一做16．(2013·南宁)如图，△ABC三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B解：(1)图略(2)图略，S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝eq\f(1,4)17．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m．已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高度CD的长解：设CD长为xm，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴eq\f(BN,CD)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1.75,x)＝eq\f(1.25,x－1.75)，解得x＝6.125≈6.1，∴路灯高CD约为6.1m18．(2013·广东)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3,则S1__＝__S2＋S3；(用“>”“<”或“＝”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；选△BCF∽△CDE，证明：在矩形ABCD中，∠BCD＝90°且点C在边EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE19．(2013·莆田)定义：如图①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴eq\f(BD,AB)＝eq\f(CD,BC)，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(CD,AD)，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝eq\f(\r(5)－1,2)AC＝eq\f(\r(5)－1,2)20．(2013·泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求eq\f(AC,AF)的值．解：(1)由△ABC∽△ACD得AC2＝AB·AD(2)∵E点为Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝eq\f(1,2)AB＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，可得∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD(3)由CE∥AD得△ECF∽△DAF，∴eq\f(EC,AD)＝eq\f(CF,AF)，EC＝eq\f(1,2)AB＝3，∴eq\f(CF,AF)＝eq\f(3,4)，即eq\f(AC－AF,AF)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AC,AF)＝eq\f(7,4)21．(2014·自贡)阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点(2)如图，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折叠可知△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，∴∠BCE＝eq\f(1,3)∠BCD＝30°，BE＝eq\f(1,2)CE＝eq\f(1,2)AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(2\r(3),3)挑战技能22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值(B)A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个23．(2014·泰州)如图，A，B，C，D依次为一条直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°.设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为__y＝eq\f(4,x)(x＞0)__．24．(2014·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝eq\f(4,5).下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或eq\f(25,2)；④0＜CE≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，由SAS可证△ABM≌△BCP，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴BP＝MN，∴四边形BMNP是平行四边形(2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴eq\f(AB,MC)＝eq\f(AM,MQ)，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴eq\f(AB,BM)＝eq\f(AM,MQ)，∴eq\f(AB,MC)＝eq\f(AB,BM)，∴BM＝MC26．(2014·黄石)AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM＝xAB，AN＝yAC(x，y≠0)．(1)如图①，当△ABC为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN∽△DMA；(2)如图②，证明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2.解：(1)在△AMD中，∠MAD＝30°，∠ADM＝60°，∴∠AMD＝90°，在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝60°，∴△AMN∽△DMA(2)作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN，∴eq\f(NC,NA)＝eq\f(CF,AM)，又可证△CFD≌△BMD，∴BM＝CF，∴eq\f(AN－AC,AN)＝eq\f(BM,AM)＝eq\f(AB－AM,AM)，∴eq\f(yAC－AC,yAC)＝eq\f(AB－xAB,xAB)，∴x＋y＝2xy，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝227．(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．解：(1)①当△BPQ∽△BAC时，∵eq\f(BP,BA)＝eq\f(BQ,BC)，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴eq\f(5t,10)＝eq\f(8－4t,8)，∴t＝1；②当△BPQ∽△BCA时，∵eq\f(BP,BC)＝eq\f(BQ,BA)，∴eq\f(5t,8)＝eq\f(8－4t,10)，∴