高数上册知识点

高等数学上册知识点

一、函数与极限

(一)函数

1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；

2、反函数、复合函数、函数的运算；

3、初等函数：霹函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函

数、反双曲函数；

4、函数的连续性与间断点；

函数/(%)在*0连续^寺〉/(%o)

’第一类：左右极限均存在.

间断点I可去间断点、跳跃间断点

、第二类：左右极限、至少有一个不存在.

无穷间断点、振荡间断点

5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定

理及其推论.

(二)极限

1、定义

1)数列极限

limxn=a<=>Ve>0,3NeN,Vn>N,\xn-a\<£

8।।

2)函数极限

lim/(%)=AoV£>0,3J>0,V%,当时,|/(A:)-A|<£

左极限：/(%(；)=皿i/(%)右极限：/(君)=lim/(%)

limf(x)=A存在Of(Xo)=/(%o)

XfXo

2、极限存在准则

1)夹逼准则：

1)%(n>n0)]

2)limy”=limz“=alim£=a:

8n—>CO77—>00J

2)单调有界准则：单调有界数列必有极限.

3、无穷小(大)量

1)定义：若1血。=°则称为无穷小量；若Hma=co则称为无穷大量.

2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、人阶无穷小

Thia〜B=B=a+o(a)；

Th2a〜优,月〜,，血14存在，则lim幺

=hm,/(无穷小代换)

—aar

4、求极限的方法

1)单调有界准则；

2)夹逼准则；

3)极限运算准则及函数连续性；

4)两个重要极限：

si,n%-1..1

rx

a)lim----=1b)lim(l+x)=lim(1+—

x—>0%尤f0x—>+oo]

5)无穷小代换：(尤-0)

a)x-sinx~tanx-arcsinx-arctanx

b)1-COS%一］1"

c)e'—1~x(优-i〜］山a)

X

(log(l+x)~

d)ln(l+x)〜xaIna)

e)(1+x)a—1~otx

二、导数与微分

(-)导数

/(%)一/(%o)

1、定义：八%)=配

x-x0

/(乃一/(九0)

左导数：£(%)二,吧

x-x()

/(X)-/(%)

右导数：小。『吧

x-xQ

函数/(x)在玉)点可导=£(%)=咒(%0)

2、几何意义：尸(％0)为曲线丁=/(%)在点(%0，/(与))处的切线的斜率.

3、可导与连续的关系：/(%)在/点可导n/(x)在/点连续

4、求导的方法

1)导数定义；

2)基本公式；

3)四则运算；

4)复合函数求导(链式法则);

5)隐函数求导数；

6)参数方程求导；

7)对数求导法.

5、高阶导数

d2y_d(dy'

1)无义：dx1dx\dxy

n

2)Leibniz公式:

k=0

(二)微分

1)定义：△y=F(Xo+Ax)—/(x())=AAx+o(Ax),其中A与Ax无关.

2)可微与可导的关系：可微O可导，且4y=y'(%o)Ax=7'(%o)d%

三、微分中值定理与导数的应用

(一)中值定理

1、Rolle定理：若函数/(%)满足：

1)/(x)GC[a,b\；2)/(x)GD(a,b)；3)f(a)=f(b)；

贝期6(。,勿,使〃C)=0.

2、Lagrange中值定理：若函数/(%)满足：

1)/(x)GC[a,b]；2)/(x)eD(a,b)；

则玷£(a,b\恸S)-f(a)=fg)(b-a).

3、Cauchy中值定理：若函数/(x),方(%)满足：

1)/(x),F(x)eC[a,Z?]；2)/(x),F(x)eD(a,Z?)；3)F(x)w。,％£(〃C)

/3)-/(a)=,/''(4)

贝11mqem力),使

厂(加―尸⑷一F©

(二)洛必达法则

注意：

1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）

再用洛必达芦则！

1.J］一炉—cosX

如：lim-------------

x-otanx

2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，

然后用洛必达法则！

如：勒一；一

\J

3、洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的！

「x+cos（x2）

如：lim--------------

X—>4-00X

x2cos—1

如：lim——；---—

X-。sinx

（三）Taylor公式

孔阶Taylor公式：

⑺心）5+1)

nC)

(X-Xo)4（…。严

nl(72+1)!

4在。与X之间.

当%二°时，成为〃阶麦克劳林公式:

3+四八…+3]〃+^^”

/(x)=/(0)

1!2!n\5+1)!

4在°与％之间.

常见函数的麦克劳林公式:

11节

ex=l+x+-x2+--+~xn+——V用

1)2!川(〃+1)!

J在。与工之间,—GO<X<+CO;

TT

3572"1sinJ+(2m+l)e

人

,,,_|2m+}

2)sinx=x——+————d-----F(-l)------------------F人

3!5!7!(2m-1)!(2/72+1)!

自在0与X之间，一OOVXV+8；

c°V+2"f

2462m-2

人

w2m

3)cosx=l-—+—-—+--.+(-l)-'人

2!4!6!(2*2)!(2m)!

J在。与X之间，-8VXV+8；

234n

XXXx(―1)”尸

4)ln(l+%)=%+…+(-1尸一十

234n(〃+1)(1+4严

J在。与X之间，-1〈龙<1

offer-1)2a(a-Y)(a-2)3a(a-l)…(a—〃+1)

5)(1+%厂=l+a%+-------x+-------------1+…+-----------------%

2!3!〃!

a(a—1)…(a—+zi+1

IX

5+1)!

J在0与X之间，-1<%<1.

(四)单调性及极值

1、单调性判别法：/(X)GC[a,b]tf(x)eD(a,b),则若/'(%)>0,则/(%)

单调增加；则若/'(%)<0,则/(%)单调减少.

2、极值及其判定定理：

a)必要条件：/(%)在与可导，若％。为了(%)的极值点，则/'(%)=0.

b)第一充分条件：/(%)在％o的邻域内可导，且八%。)=0,则①若当了

时，/'(%)>0,当%时，f\x)<0,则无。为极大值点；②若当x<x°

时，/'(%)<(),当—>玉)时，八九)>0,则％°为极小值点；③若在％o的

两侧/'(X)不变号，则％。不是极值点.

C)第二充分条件：/(%)在％0处二阶可导，且八%0)=0,/(％)。0,则

①若/〃(%0)<。，则％0为极大值点；②若/〃(%0)>0,则与为极小值点.

3、凹凸性及其判断，拐点

1)/(%)在区间/上连续，若\/0%2丘/,/(""I),则称/(为在

区间/上的图形是凹的；若WF，%2G/，〃三产)〉；"")，则称/⑴在

区间/上的图形是凸的.

2)判定定理：/(幻在口,句上连续，在(。,份上有一阶、二阶导数，则

a)若V%w(©/?),/〃(％)>0,则f(x)在加上的图形是凹的；

b)若V%c(。,。)J〃(劝<0,则/(%)在叱句上的图形是凸的.

3)拐点：设》=/(%)在区间/上连续，/是/(幻的内点，如果曲线y=/(x)经

过点(％0，F(x()))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(%0，/(%0))为曲线的拐点.

(五)不等式证明

1、利用微分中值定理；

2、利用函数单调性；

3、利用极值(最值).

(六)方程根的讨论

1、连续函数的介值定理；

2、Rolle定理;

3、函数的单调性；

4、极值、最值；

5、凹凸性.

(七)渐近线

1、铅直渐近线：lim/(x)=oo则尤=。为一条铅直渐近线；

x->a

2、水平渐近线：lim/(%)=/?则y=b为一条水平渐近线；

X->QO

3、斜渐近线：吧J二^二%吧"(％)一女加=匕存在，则丁=衣+〃为一条斜

渐近线.

(八)图形描绘

步骤：

1.确定函数y=/(x)的定义域，并考察其对称性及周期性；

2.求((尤)"〃(%)并求出广(％)及—(％)为零和不存在的点；

3.列表判别函数的增减及曲线的凹向，求出极值和拐点；

4.求渐近线；

5,确定某些特殊点，描绘函数图形.

四、不定积分

(一)概念和性质

1、原函数：在区间/上，若函数尸(％)可导，且/'(％)=/(%),则/(%)称为

/(%)的一个原函数.

2、不定积分：在区间/上，函数/(%)的带有任意常数的原函数称为/(%)在

区间/上的不定积分.

3、基本积分表(P188,13个公式)；

4、性质（线性性）.

（二）换元积分法

1、第一类换元法（凑微分）：u=（p（x）

2、第二类换元法（变量代换）：］/（%）公=/〃9。）］”。）由］=一］⑴

（三）分部积分法：\udv=uv-^vdu

（四）有理函数积分

1、“拆”；

2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.

五、定积分

（­）概念与性质:

1、定义："（幻公=迎£/©）州

Z=1

2、性质：（7条）

性质7（积分中值定理）函数/（%）在区间口,切上连续，则使

a

Mf（x）dx

ff（x）dx=f（^）（b-a）（平均值：/0=七------）

Jab—a

（二）微积分基本公式（N—L公式）

1、变上限积分：设①（%）=［/«）力，则①'（'）=/（£）

推广：-7-r⑺山="初夕（%）-/[。（*）]优（九）

办:J“（x）

a

2、N—L公式：若厂（%）为/（%）的一个原函数，则Jaf（x）dx=F（b）—F（a）

（三）换元法和分部积分

rb*

1、换元法：\f{x}dx=\

JaJa

2、分部积分法：£adv=[uvlt-£vdu

（四）反常积分

1、无穷积分：

(•4-00”

f{x}dx—lim[f{x}dx

Jar—>+coJa

?b

|f(x)dx=lim[f(x)dx

I-8_OQ

r+oorOp+oo

Jf(x)dx=Jf{x}dx+^f(x)dx

2、瑕积分：

rb心

If(x)dx=limIf(x)dxQ为瑕点)

Jat-^aJt

]＞（xg=些£"%）公（〃为瑕点）

两个重要的反常积分:

+00,p<\

r+°°dx

1)L工二小

p>\

(b-a)i-q

q<1

2)J“(X-Q)g(b~X)q

4-00,qNi

六、定积分的应用

（一）平面图形的面积

A=fL人(%)—力(％)]2%

1、直角坐标:

2、极坐标：人二3口冠。）—。：。）］〃®

（二）体积

1、旋转体体积:

a）曲边梯形y=/（•¥）"=4,%=〃,X轴，绕了轴旋转而成的旋转体的体积:

匕=

b)曲边梯形y=fM,x=a,x=),入轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:

匕=[：2时(尤)公(柱壳法)

2、平行截面面积已知的立体：V=J)(x)dx

(三)弧长

1、直角坐标：s=f[+[r(x)]2"

2、参数方程：s=,+/Q)]，出

3、极坐标：S=/J[zX8)]2+[//(〃)]2打，

七、微分方程

(一)概念

1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.

阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.

2、解：使微分方程成为恒等式的函数.

通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.

特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.

(二)变量可分离的方程

g(y)dy=/(%)公，两边积分Jg(y)dy=J/(%)公

(三)齐次型方程

dyy.ydydu

7二夕（一z），设“=一,贝||7二〃+%丁；

axxxaxax

dx..x.xdxdv

或丁二旗一）,设u=_,则7=u+y?

dyyydydy

（四）一阶线性微分方程

罩+P（x）y=Q（x）

dx

用常数变易法或用公式：＞二JQ(x)C

（五）可降阶的高阶微分方程

1、、“"=/（%）,两边积分〃次；

2、y"=f（x,y）（不显含有y）,令y'=〃，则y"二p'；

〃dp

3、y=f（y,/）（