2023年上海交通大学某中学高三年级下册高考三模数学试卷含答案

上海交通大学附属中学2023届高三年级三模数学试卷2023.05.29

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7~12题每题5分)

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合4={刈乂41},8={-1,1,3,5},则AB=.

2.复数z=T的模为

3+i

3.不等式辽220的解集为________.

x-1

4.已知塞函数、=/(N)的图像过点(3,8),则/(-2)=.

5.已知f(x)=sin2x+2A/3COS2X,则函数y=/(x)的最小正周期是.

6.由函数的观点，方程2、+log#=17的解为—.

7.二项式的展开式中含X项的系数为一.

X

8.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一

周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间(小时)7891011

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是

9.若存在实数4,使得x=l是方程(x+a)2=3x+b的解，但不是方程

(x+a)=j3x+b的解,则实数b的取值范围是.

10.若随机变量X~A^(105,192),Y~/V(100,92)，若尸(XKA)=P(Y<A),那么实数

A的值为.

11.已知曲线G：lyl=x+2与曲线。2：(工一。)2+:/=4恰有两个公共

点，则实数。的取值范围为--~一—一

12.函数y=/(x)是最小正周期为4的偶函数，且在xw[-2,0]时，/(x)=2x+l,

若存在％,%，，%满足04%＜毛＜＜Z，

且-/优)|+|〃/)-〃%3)|++|/(V1)-/U，)|=2023,

则n+xn的最小值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13,14题每题4分，第15,16题每题5

分）

13.设;LwR,则“彳=1”是“直线3x+a-l）y=L与直线4x+（l-㈤y=2平行”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.函数y=/（x）的导函数），=（。）的图像如右图所示，则函数y=f（x）的图像可能

15.已知函数/3=加+忖+4+1|为偶函数，则不等式/（x）＞0的解集为（）

A.0B.(-1,0)U(0,1)C.(-1,1)D.(-8,T)U(l,+8)

16.已知〃为正整数，集合A=,n（—）MeN,04%4〃1,若集合A恰有8个子集，则

〃的可能值有几个（）A.1B.2C.3D.4.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

已知｛4｝为等差数列，也｝为等比数列，

4="=1吗=5（%-%），々=4伍4-4）•

（1）求｛“和｛4｝的通项公式；

（2）记｛%｝的前n项和为S„,求证：SnSll+2<S*（〃eN*）.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

如图：尸。，平面4BC。，四边形A3C。为直角梯形，AB//CD,ZADC=90,

PD=CD=2AD=2AB=2.

（1）求异面直线A3与PC所成角的大小:

（2）求二面角8-PC-O的余弦值.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传

播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流

感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经

过2分钟菌落的覆盖面积为48机机2,经过3分钟覆盖面积为64〃?机2,后期其蔓延速度越

来越快；菌落的覆盖面积y（单位：/7W?）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个

函数模型：

@y=kax（Z:>0,«>1）.②y=log%>1）,③y=〃4+q（p>0）可供选择.

（1）选出你认为符合实际的函数模型，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过3（）0/57??

（结果保留到整数）

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.)

22

在平面直角坐标系X。)，中，已知椭圆E:土+乙=1的左、右焦点分别为Q,F1,

43

点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2±FIF2,直线AQ与椭圆E相交于另一点B.

(1)求AAFiB的周长;

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与直线x=4相交于点Q,求。P.QP的最小值;

(3)设点M在椭圆E上，记AOAB与△M4B的面积分别为0,S,若$2=35”

求点M的坐标.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.)

记y=r(x),y=g<x)分别为函数y=/"),y=g(x)的导函数.若存在与£R,

满足/(Xo)=g(x0)且/'(%)=g'(%)，则称Xo为函数/(幻与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数y=x与y=f+2%一2不存在“S点”；

(2)若函数了=加-1与y=lnx存在“S点”，求实数〃的值；

、hex

(3)已知/*)=一九2+。，g(x)=——.若存在实数。>0,使函数y=/(x)与y=g(x)

x

在区间(0,y)内存在“S点”，求实数》的取值范围.

上海交通大学附属中学2023届高三年级三模数学试卷(解析版)2023.05.29

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12

题每题5分)

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合4={刈可41},B={-1,1,3,5},则AB=

【答案】

【解析】A={x|W〈l},B={-1,1,3,5}=>4B={-1,1}

2.复数z=L2的模为

3+i

【答案】—

2

__1_2z।IA/5V2

【解析r】z=------=>z=-^==—

3+i11Vio2

3.不等式王220的解集为________.

x—1

【答案】{x\x<-3^x>\]

v_LQ

【解析1上520n{x|x4-3或x>l}

4.已知幕函数y=/(x)的图像过点(g,8),则/(-2)=

【答案】」

8

【解析】(：8)n(4)a=8=c=—3J(x)=x-3J(—2)=(—2尸=二

22o

5.已知f(x)=sin2x+2石cosT,则函数y=/(x)的最小正周期是

【答案】7t

(解析

f(x)=sin2x+26x史-)=sin2x+V5cos2x+6=2sin(2x+—)+G,T=7t

3

6.由函数的观点，方程2、+log4X=17的解为

2022-2023学年第二学期高考模拟考第5页

共7页

【答案】x=4

【解析】f(x)=2'+log4x,tf(3)=8+Iog43,f(4)=16+log44=17nx=4

7.二项式(』-五》的展开式中含x项的系数为一.

X

【答案】28

3£_83

2

［解析］Tr+i=CgX(―1)'8=1/=6,%=C；=C：=28

8.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分

党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间(小时)7891011

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是一.

【答案】8.5

【解析】党员人数一共有40A,40x40%=16,那么第40百分位数是第16

和17个数

8+9。「

的平均数,第16和17个数分别为8,9.三一=8.5所以第40百分位数是故

答案为：8.5.

9.若存在实数。，使得x=l是方程(x+a)2=3x+Z?的解，但不是方程

(x+a)=J3x+Z?的解,则实数b的取值范围是.

【答案】(-3,+电)

【解析】依题得。+1<0=。<-1,3+6=(1+。)2>0=>人>一3

10.若随机变量X-/V(105,192),/~/V(100,92),若

P(X<A)=P(y<A),那么实数A的值为.

191

【答案】V

【解析】

2022-2023学年第二学期高考模拟考第6页

共7页

甯N”,寄N。『普A-100斗=坦

92

11.已知曲线G：ly1=X+2与曲线C2:(x-。)2+丁=4恰有两个公共点,

则实数。的取值范围为.

【答案】ae(-4,0){272-2)

【解析】如图，首先画出曲线G(黑色的折线)，

c2这个圆与G有两个公共点有两种情况，

一是两个交点，二是两个切点，这样可以得到结果

as(-4,0){272-2)

12.函数y=/(x)是最小正周期为4的偶函数，且在xe[—2,0]时，

/(x)=2x+l,

若存在百,32,，当满足OK'＜工2＜＜xn,

且|〃石)-/(%2)|+|/(工2)-/(%3)|++|/(七1)-〃龙")|=2023,

则n+的最小值为.

【答案】〃而n=507,(王L=1011.5,(〃+怎)*=1518.5

t解析】函数y=/(x)是最小正周期为4的偶函数，且在xe[—2,0],函数

的值域

为若存在百,々，，天满足0＜芭＜々＜＜4

有|〃芭)-")|+|/(9)-"刈+...+火％)-〃玉)|=2023

要〃+x”使取得最小值，尽可能多让外。=1,2,3,…,m)取得最高点，

2023

且/(0)=1,/(2)=-3,号二+1=506,nmin的最小值为507,相应的最小

值为1011.5,

2022-2023学年第二学期高考模拟考第7页

共7页

则%的最小值为1518.5.故答案为：(n+x„)mjn=1518.5.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13,14题每题4分，第15,

16题每题5分)

13.设&R,则“2=1”是“直线3x+"-l)y=L与直线Ax+(l-2)y=2平行”的(

)

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非

必要条件

【答案】A

【解析】=:3x=l,Z2:x=2=>/)///,

“直线3x+("l)y=l,与直线〃+(1-团、=2平行”=>4=一30)=1,所以选人.

14.函数y=/(x)的导函数>=/'(X)的图像如右图所示，则函数y=f(x)的

图像可能

2022-2023学年第二学期高考模拟考第8页

共7页

【解析】当/(x)>0时，y=/(x)为增函数，当/(x)>0时，y=/(x)为减

函数，

根据/(X)图像可得，从左至右，f(x)分别为负、正、负、正，如图所示:

对应原函数图像为减、增、减、增，则排除A,C.令/(x)=0,可得极

值点分别为入|,犬2，%3，不妨令％%，根据/(x)图像可得刍>0,x3>0>

即/(x)有两个正的极值点，经检验，只有D符合题意，故选D

15.已知函数/(》)=办2+,+4+1|为偶函数，则不等式〃x)>0的解集

为()

A.0B.(-l,0)U(0,l)C.(-1,1)

D.

(-oo,-l)U(l,+℃)

【答案】B

【解析】函数/(%)=加+卜+。+1|为偶函数

=>a=-1,/(x)——x2+|乂〉0

nxe(-l,0)U(0,l)故选:B

16.已知〃为正整数，集合A={sin(B)|AeN,04Z<〃},若集合A恰

有8个子集，则”的可能值有几个()A.1B.2C.3

D.4.

【答案】B

【解析】如图可知，〃=4或5.故选：B.

三、解答题(本大题共有5题，满

分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

2022-2023学年第二学期高考模拟考第9页

共7页

17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.)

已知忖｝为等差数列，也｝为等比数列,

q=4=1,%=5(%—“3)，&=494-4)・

(1)求｛%｝和也｝的通项公式；

(2)记｛4｝的前〃项和为S“，求证：S“S“+2<S,3(〃eN)

【解析】

⑴设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列｛以｝的公比为/由q=1,

%=5(«4-a,),可得4=1.从而｛q｝的通项公式为由

a=1,々=4(仇心),

又存0,可得/_曲+4=0,解得尸2,从而｛〃｝的通项公式为〃=2"T.

(2)证明：由(1)可得0=D,

故S“S,+2=：〃(〃+D5+2)("+3),=：(〃+1y(〃+2)2,

从而s“s”+2-=-如+1)(〃+2)<0'所以S“S“+2<S>

18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.)

如图：PD1,平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，

AB//CD,^ADC=90,PD=CD=2AD=2AB=2.

(1)求异面直线A6与尸。所成角的大小；

(2)求二面角8—PC-O的余弦值.

【解析】

(1)NPCD为异面直线A8与PC所成角或其补角，所以其大

小为二，

4

(2)因为~D_L平面A6CO,所以

2022-2023学年第二学期高考模拟考第10页

共7页

又AOLOC，以。为原点，“1,。。,。尸分别为毛丁衣轴建立空间直角坐

标系：

则£＞（0,0,0）,A（l,0,0）,8（1,1,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,

则PC=（0,2,—2）,BC=（-1,1,0）,OP=（0,0,2）,9=（1,0,-2）,

设平面P3C的法向量为）=（x,y,z）,

则｛，取X=1,得y=l,z=l,得K=

n-BC=-x+y=0

取平面PDC的法向量为D4=（1,0,0）,设二面角B-PC—O的大小为

\n-DAi.

e,由图形知，。为锐角，所以cose='~\==所以二

网网V3X13

面角jg_pc_/）的余弦值为.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题8分.）

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种

传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条

件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培

养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为

48加机2,经过3分钟覆盖面积为64〃?加2,后期其蔓延速度越来越快；菌

落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：加〃）的关系现有三

个函数模型：

①丁=,②y=log〃x（b＞。，③＞=p«+q（p〉0）可

供选择.

（1）选出你认为符合实际的函数模型，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过

3（X）/7?7?72?

2022-2023学年第二学期高考模拟考第11页

共7页

（结果保留到整数）

【解析】

（1）由于细菌增长是指数增长，所以选①，令48=%/且64=%/,解

得a=g和a=g,左=27所以y=27（［）（x>0）

41（¥）

⑵令27-（一）v2300,解得xZ10g4——，所以至少经过9分钟（按四舍

339

五入得8分钟的扣2分）

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆£:?+女=1的左、右焦点分

别为Q,凡，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2_LQF2,直线4B与

椭圆E相交于另一点B.

（1）求的周长；

（2）在x轴上任取一点P,直线AP与直线x=4相交于点Q,求。P-QP的

最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记AOAB与△的面积分别为S,52,若

$2=30,

求点M的坐标.

【解析】

22

（1）：椭圆6的方程为亍+三~=1,，耳（—1,（））,石。,（））

由椭圆定义可得：46+46=4.，入4百鸟的周长为

4+2=6

（2）设P（x0,0）,根据题意可得点A在椭圆£上，且在第一象

限,

AF2VFXF2

2022-2023学年第二学期高考模拟考第12页

共7页

.•・小,|卜殳

Q(4,%),••・

OP•QP=(%,0)•(天一4,-几)=(七一4)x0=(%-2)2-42-4,

当且仅当天=2时取等号.二OP-QP的最小值为-4.

⑶设M(Xi，X),点M到直线AB的距离为小：耳(一1,0)

33

・・・直线AK的方程为y=—(x+1),・・,点。到直线AB的距离为一，

45

S2=3sl

S2=3S,=3xix|AB|x|=l|AB|-J,.-.^=|,.\-4^+3|=9

①

,_2

22/X=2%=一亍

•••工+2_=1②,.♦.联立①②解得广,

43%=012

1x=3

M(2,0)或(―5，—3).

21.(本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题8分.)

记y=/'(x)，y=g'(x)分别为函数y=/(x),y=g(x)的导函数•若

存在XOGR,

满足/(Xo)=g(Xo)且/(x0)=g'(x()),则称/为函数f(x)与g(