考点13三角形及其全等-2022年中考数学与题型全归纳（原卷版）

考点13三角形及其全等

命题趋势

该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10-15分，预计

2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知

识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现三角形全等的判定和性

质,这部分知识主要考查基础。

1、三角形的基础知识

1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.

2）三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.

推论：三角形的两边之差小于第三边.

（2-）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形：②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系.

3）三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。.

推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的•一

个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4）三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.

（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半.

2、全等三角形

1）三角形全等的判定定理：

（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；

（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角

边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

2）全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等；

（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.

3、线段垂直平分线与角平分线

1）线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.

2）定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

3）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来.

4）、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

5）、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

如图，已知0C平分/AOB,CD10A,CE1OB,则8=CE.

EB

重点考向

考向1三角形的三边关系

在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来

判断.

典例引领

1.（2021•广西柳州市•中考真题）若长度分别为3,4,。的三条线段能组成一个三角形，则整数“的值可以

是.（写出一个即可）

2.（2021•江苏淮安•中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，则第三边的长是

变式拓展

1.（2021•湖南娄底市•中考真题）2,5,根是某三角形三边的长，则3）2+｛（/〃_7＞等于（）

A.2/n-lOB.10-2/77C.10D.4

2.（2021•黑龙江大庆•中考真题）三个数3,1-。,1-2.在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能

构成三角形，则。的取值范围为

考向2三角形的内角和外角

在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.

典例引领

1.（2021•河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

已知：如图，NACD是5c的外角.求证：ZACD^ZA+ZB.

A

BCD

（A

证法i：如图，

•••Z^+Z5+Z^C5=180°（三角形内角和定理），

又•••44。。+乙4。？=180°（平角定义），

：.ZACD+ZACB^ZA+ZB+AACB（等量代换）.

:ZCD=ZA+NB（等式性质）.

\7

证法2：如图，

•••4=76。，4=59。，

且409=135。（量角器测量所得），

又•.•135°=76°+59°（计算所得），

；ZCD=ZA+NB（等量代换）.

\）

下列说法正确的是（）

A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整

B.证法I用严谨的推理证明了该定理

C.证法2用特殊到一般法证明了该定理

D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

2.（2021•河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与6。的交点为C,且NA，DB,NE

保持不变.为了舒适，需调整NO的大小，使/砂0=110。，则图中NO应___________（填“增加”或“减

少“）度.

1.（2021•陕西中考真题）如图，点。、E分别在线段BC、AC上，连接A。、BE.若NA=35°,NB=25°,

NC=50°,则N1的大小为（）

2.（2021•江苏宿迁市•中考真题）如图，在AABC中，NA=70。，ZC=30°,8。平分/ABC交AC于点

DE//AB,交BC于点E,则NBDE的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.（2021•浙江绍兴市♦中考真题）如图，在AABC中，NA=40°,点D,E分别在边A8,AC上，

BD=BC=CE,连结CD,BE.（1）若乙4BC=8O。，求/BDC，NABE的度数.（2）写出NBEC与NBDC

之间的关系，并说明理由.

考向3三角形中的重要线段

三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的

关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系.另外，要注意区分三角形的中线和中位线.中线：连接三

角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.

典例引领

1.（2021•山东聊城市•中考真题）如图，在AABC中，ADLBC,CELAB,垂足分别为点。和点E,AO与

CE交于点O,连接BO并延长交力C于点尸，若AB=5,BC=4,AC=6,则CE：AD：8尸值为.

2.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，8E是△ABC的中线，点F在上，延长A尸交3c于点。.若

BF=3FE,则处=.

DC

变式拓展

1.（2021•江苏泰州市•中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、3、C、。、E、/、

G在小正方形的顶点上，则AA8C的重心是（）

A.点。B.点EC.点FD.点G

2.（2021•湖南怀化市•中考真题）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC

于点M、N；再分别以M、N为圆心,大于‘MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结A尸并延长交BC

2

于点D.则下列说法正确的是（)

A

B.A£>一定经过AAbC的重心

C.ZBAD=ZCADD.A。一定经过△ABC的外心

考向4垂直平分线与角平分线的性质

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来.

角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

典例引领

1.（2021•青海中考真题）如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分/ABC,

则4BCD的面积为（）

A.7.5B.8C.15D.无法确定

2.（2021•四川遂宁市•中考真题）如图，在△48C中，AB=5,AC=7,直线OE垂直平分8C,垂足为E,

交4c于点。，则△ABO的周长是.

变式拓展

1.（2021•内蒙古通辽市•中考真题）如图，在RhABC中，NACB=90°,根据尺规作图的痕迹，判断以

下结论错误的是（）

A./BDE=/BACB.NBAD=NBC.DE=DCD.AE^AC

2.（2021•湖北黄石市•中考真题）如图，在R/AABC中，ZACB=9Q°,按以下步骤作图：①以3为圆心，

任意长为半径作弧，分别交84、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于‘MN的长为半

2

径作弧，两弧相交于点尸；③作射线BP，交边AC于。点.若/W=10,=6,则线段CO的长为（）

816

C.—D.—

5

考向6全等三角形的性质与判定（选填题）

典例引领

1.（2021•黑龙江中考真题）如图，△ABCgADEC,点A和点。是对应顶点，点3和点E是对应顶点,

过点A作AELC。，垂足为点/，若NBCE=65°,则NC4尸的度数为（）

A.30°B.25°C.35°D.65°

2.（2021•重庆中考真题）如图，点B,F,C,E共线，NB=NE,BF=EC,添加一个条件，不等判断^ABC

出△£>£：/的是（）

A.AB=DEB.ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

3.（2020•湖北省直辖县级行政单位•中考真题）如图，已知AA5c和都是等腰三角形，

ABAC=ZDAE=90°,BD,CE交于点、F,连接AF，下列结论：①BD=CE；®BF±CF；③A/平

分NCW；④NAFE=45°.其中正确结论的个数有（）

C.3个D.4个

变式拓展

1.（2021•黑龙江齐齐哈尔市•中考真题）如图，AC=AD,N1=N2,要使△ABCg△血>,应添加的条件

是.（只需写出一个条件即可）

2.（2021•山东日照•中考真题）如图，在矩形ABC。中，A8=8cm,A£>=12cm,点尸从点8出发，以2cm/s

的速度沿8c边向点C运动，到达点C停止，同时，点。从点C出发，以vcm/s的速度沿边向点。运动,

到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当v为时，AABP与

△尸CQ全等.

考向7全等三角形的判定

1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其

中至少有一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地确定要补充的边(角)，

有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：

找夹角fSAS

(1)已知两边〈找直角HL

找第三边一SSS

'一边为角的对边找另一角fAAS

‘找夹角的另一边fSAS

(2)己知—•i力—,隹iv

一边为角的邻边找夹角的另一角一ASA

找边的对角fAAS

'找夹边一ASA

(3)已知两角0

［找其中一角的对边一AAS

2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补

短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目.

典例引领

1.(2021•浙江台州市•中考真题)如图，在四边形A8CZ)中，AB=AD=20,BC=DC=l。亚

(1)求证：AABC四△ADC；(2)当N8CA=45。时，求NBAO的度数.

B

2.（2021•陕西中考真题）如图，BD//AC，3Z）=3C，点£在8c上，且B£=AC.求证：ZD=ZABC.

3.（2021•湖南衡阳市•中考真题）如图，点4、B、I）、E在同一条直线上，AB=DE,ACHDF,BC//EF.求

证：AABC咨ADEF.

4.（2021•广东广州•中考真题）如图，点及F在线段8c上，AB//CD,ZA=ZD,8E=b，证明：AE=DF.

5.（2021•江苏淮安•中考真题）（知识再现）

学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”

是判定直角三角形全等的特有方法.

（简单应用）如图（1）,在AABC中，N8AC=90。，AB=AC,点。、E分别在边AC、AB±..若CE=BD,

则线段AE和线段AO的数量关系是.

（拓展延伸）在AASC中，ZBAC=a（90°<a<180°）,AB=AC=，/，点。在边AC上.

（1）若点E在边AB上，且CE=BO,如图（2）所示，则线段AE与线段AO相等吗？如果相等，请给出

证明；如果不相等，请说明理由.（2）若点E在BA的延长线上，且CE=B。.试探究线段4E与线段A。

的数量关系（用含有。、机的式子表示），并说明理由.

变式拓展

1.（2021•湖南长沙市•中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已

（1）画B'C=BC；

（2）分别以点"，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；

（3）连接线段4",AC,则VABC'即为所求作的三角形.

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：

证明：由作图可知，在VA'8'C'和△ABC中，

B'C'=BC,

<A'B'=,

A'C'=,

VA'B'C丝.

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.（填序号）

①AAS；②4S4；③SAS；④SSS

2.（2021•广西百色•中考真题）如图，点。、E分别是AB、AC的中点，BE、CO相交于点O,NB=NC,

BD=CE.求证：(1)OD=OE；(2)AABE妾AACD.

A

3.（2021•浙江中考真题）已知在八48中，P是CO的中点，B是延长线上的一点，连结BC,AP.

图1图3

(1)如图1,若NAC5=90°,NC40=60°,80=AC,AP=6，求BC的长.

（2）过点。作。石〃AC,交延长线于点E,如图2所示.若ZCAZ>=60°,BO=AC,求证：6C=2AP.

（3）如图3,若NC4O=45°,是否存在实数加，当6£>=加4C时，BC=2AP?若存在，请直接写出加

的值；若不存在，请说明理由.

4.（2020•山东烟台市•中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC

上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.

（问题解决）（1）如图1,若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD：

（类比探究）（2）如图2,若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关

系？并说明理由.

C

B

B

图1图2

考点冲关

1.（2021•四川宜宾•中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）

A.1B.2C.4D.8

2.（2021•广西河池•中考真题）如图，ZA=40°,NC8O是的外角，NCBZA120。，则NC的大小是（）

A.90°B.80°C.60°D.40°

3.（2020•黑龙江齐齐哈尔市•中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45。角，另一个含30。角，如图①所

示叠放，先将含30。角的纸板固定不动，再将含45。角的纸板绕顶点4顺时针旋转，使BC〃OE,如图②所

示，则旋转角的度数为（）

图①图②

A.15°B.30°C.45°D.60°

4.（2020•辽宁大连市•中考真题）如图，AABC中，ZACB=90°,ZABC=4（）°.将△ABC绕点B逆时

针旋转得到△ABC',使点C的对应点C’恰好落在边AB上，则NCAA'的度数是（）

A.50B.70°C.110°D.120°

5.（2021•广西梧州•中考真题）在AABC中，NA=20。，NB=4NC,则NC等于（)

A.32°B.36°C.40°D.128°

6.（2021•江苏淮安•中考真题）如图，在AABC中，AB的垂直平分线分别交A3、BC于点。、E,连接4E,

若AE=4,EC=2,则8c的长是（）

7.（2021•广西梧州•中考真题）如图，OE是AABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB,BC于点O,E,

且AB=9,AC=6,则△ACC的周长是（）

A.10.5B.12C.15D.18

8.（2021•江苏盐城市•中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在

NAOB的两边OA、上分别在取OC=O。，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合,

这时过角尺顶点M的射线O"就是NAO8的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

9.（2020•四川中考真题）如图所示，直线EF〃G”，射线AC分别交直线EF、G”于点8和点C,ADLEF

10.（2021•青海西宁•中考真题）如图，在矩形A3CZ）中，E为AD的中点，连接CE,过点E作CE的垂线交

AB于点F,交CQ的延长线于点G,连接CF.已知AF=1，CF=5,则砂=_________.

2

11.（2021•福建中考真题）如图，AD是AA6c的角平分线.若/3=90°,3。=6，则点。到AC的距

离是_________

12.（2021•山东济宁市•中考真题）如图，四边形ABCO中，ABAC=ADAC,请补充一个条件,使

/XABC^AADC.

B

13.（2020•江苏镇江市•中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，N1=NB,点E、F分别在A3、

BC上，BE=CD,BF=C4,连接EF.（1）求证：ND=N2；（2）EF//AC,/。=78。，求/B4C的度

数.

14.（2021•辽宁大连市•中考真题）如图，点4,D,B,E在一条直线上AT>=8E，AC=DF,AC//DF.

求证：BC=EF.

15.（2021•湖北黄石市•中考真题）如图，。是AABC的边A8上一点，CF//AB,。/交AC于E点,

DE=EF.(1)求证：AADE乌ACFE；(2)若AB=5,CF=4,求BD的长.

16.（2021•四川宜宾市•中考真题）如图，已知Q4=OC,OB=OO,NAOC=NBOD.求证：aAOB丝△COO.

oB

17.（2021•山东蒲泽市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，点M、N分别在AB、CB上，且

ZADM=Z.CDN,求证：BM=BN.

18.（2021•江苏无锡市•中考真题）已知：如图，AC,相交于点。，AB=DC,ZABO^ZDCO.

求证：（1）AABO^ADCO；（2）ZOBC=ZOCB.

19.（2021•福建中考真题）如图，在△A6C中，力是边上的点，DEYAC,DF±AB,垂足分别为E,

F,且DE=DF,CE=BF.求证：ZB=ZC.

E

D

20.（2021•江西中考真题）（1）计算：（一一（7一2021）°+-g

(2)如图，在AABC中，NA=40°,ZABC=80°,3E平分NABC交4c于点E,及)_LA8于点。，

求证：AD=BD.

21.（2021•吉林•中考真题）如图，点。在AB上，点E在AC上，AB=AC,NB=NC.求证：AE=AD.

22.（2021•甘肃兰州•中考真题）如图，点E,C在线段上，ZA=ZD,AB//DE,3C=EF,求证：AC=DF.

23.（2021•四川南充市•中考真题）如图，NBAC=90°,AO是N1MC内部一条射线，若AB=AC，BE±AD

于点E,CF_LAO于点凡求证：AF=BE.

24.(2021•四川乐山市•中考真题)如图，已知AB=Z)C,ZA=/D,AC与DB相交于点O,求证:

ZOBC=ZOCB.

25.(2021•云南中考真题)如图，在四边形ABC0中，4。=8。,4。=8£>,47与3。相交于点日求证:

ZDAC=ZCBD.

26.(2020•四川宜宾市•中考真题)如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E,

使QE=AQ，连接CE.(1)求证：MBD^/^ECD(2)若AABr)的面积为5,求A4CE的面积.

27.(2020•江苏徐州市•中考真题)如图，AC1BC,DCLEC,AC=BC.DC=EC，AE与BD交

于点尸.(1)求证：AE=BD；(2)求NAED的度数.

直通中考

1.（2021•湖南岳阳市•中考真题）下列命题是真命题的是（)

A.五边形的内角和是720。B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

2.（2020•四川绵阳市•中考真题）在螳螂的示意图中，AB〃DE,aABC是等腰三角形，/ABC=124。，Z

CDE=72°,则/ACD=（）

3.（2021•湖北宜昌市•中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放,点尸在AC上，其中NAC8=9（）°,

NABC=60°，NEFD=90°,NDEF=45°,ABI/DE,则NAFD的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

4.（2021•重庆中考真题）如图，在AABC和AOCB中，ZACB^ZDBC，添加一个条件，下熊证明AABC

和△OG5全等的是（）

A.ZABC=NDCBB.AB=DCC.AC=DBD.ZA=ZD

5.（2021•四川绵阳•中考真题）如图，在边长为3的正方形ABC。中，ZC£>£=30°,DELCF,则BP的长

C.D.2

6.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图,△ABC中，ZACB=90°,AC=S,BC=6,将A/WE沿

OE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（）

7.（2021•安徽中考真题）在中，NACB=90°,分别过点B,C作ZBAC平分线的垂线，垂足分别

为点。，E,BC的中点是M,连接CC,MD,ME.则下列结论错误的是（）

A.CD=2MEB.MEIIABC.BD=CDD.ME=MD

8.（2020•四川绵阳市•中考真题）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90°,DF〃BC,NABC的平分线

BE交DF于点G,GHLDF,点E恰好为DH的中点，若AE=3,CD=2,则GH=（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2020•江苏南通市•中考真题）如图，在“BC中，AB=2,NABC=60。，ZACB=45°,。是8c的中点,

直线/经过点。，AELl,BF_U,垂足分别为E,F,则AE+8F的最大值为（）

A

'E

A.76B.272C.273D.3a

10.（2020•贵州毕节市•中考真题）如图，在一个宽度为A6长的小巷内，一个梯子的长为“，梯子的底端位

于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离8。为力，梯子的倾斜

角NBPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点。处，点。到AB的距离AO为c,且此时梯子的

倾斜角ZAPD为75。,则AB的长等于（）

15-\X45"

11.（2020•湖北中考真题）如图，D是等边三角形ABC外一点.若5。=8,。=6,连接AD,则AO的

最大值与最小值的差为____.

D

12.（2021•湖北十堰市•中考真题）如图，在中，ZACB=90°,AC=S,BC=6,点P是平面内

一个动点，且AP=3,Q为5P的中点，在尸点运动过程中，设线段CQ的长度为〃力则，"的取值范围是

13.（2020•辽宁铁岭市•中考真题）如图，在AMC中，AB=5,AC=8,BC=9,以A为圆心，以适当

的长为半径作弧，交于点M，交AC于点N,分别以为圆心，以大于的长为半径作弧,

2

两弧在N5AC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点。，点尸在AC边上，AF=AB，连接。尸，

则M2DF的周长为.

14.（202（）•辽宁营口市•中考真题）如图，4ABC为等边三角形，边长为6,ADLBC,垂足为点。，点E和

点尸分别是线段4。和AB上的两个动点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为.

15.（2021•辽宁锦州•中考真题）如图，在AABC中，AC=4,ZA=60°,NB=45。，边的垂直平分线OE

交AB于点。，连接C。，则AB的长为_________________.

16.（2021•湖北鄂州市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点。的坐标为（-1,0）,点A的坐标为（-3,3）,

将点A绕点。顺时针旋转90°得到点B,则点B的坐标为.

17.（2021•湖南湘西土家族苗族自治州•中考真题）如图，在AABC中，点。在AB边上，CB=CD,将

边C4绕点C旋转到CE的位置，使得N£C4=Nr>C8,连接£>£与AC交于点F，且NB=70°,

乙4=10°.（1）求证：AB=ED^（2）求Z4FE的度数.

18.（2021•广西柳州市•中考真题）如图，有一池塘，要测池塘两端4、8的距离，可先在平地上取一个点C,

从点C不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点。，使C£>=C4,连接并延长到点E,

使CE=CB,连接那么量出DE的长就是A、8的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题证明.

证明：在AOEC和AA6c中,

CD=________

V

CE=________

・・・ADE8AABC（SAS）

19.（2021•湖南长沙市•中考真题）如图，在AA5c中，AD1BC,垂足为。，BD=CD,延长3C至

使得CE=C4,连接（1）求证：NB=ZACB；（2）若A8=5,4）=4,求/MB石的周长和面积.

BDCE

20.（2021•湖南湘西•中考真题）如图，在AABC中，点。在48边上，CB=CD,将边C4绕点C旋转到CE

的位置，使得=连接。后与AC交于点F,且4=70。，ZA=10。.（1）求证：AB=EDx

（2）求NAT芯的度数.

21.（2021•贵州黔东南苗族侗族自治州•中考真题）在四边形A8C。中，对角线AC平分NBAD

（探究发现）（1）如图①，若N8M>=120°,ZABC=ZADC=90°.求证：A£）+AB=AC；

（拓展迁移）⑵如图②，若NBAD=120°,ZABC+ZADC^\80°.①猜想4B、AD.AC三条线段的数

量关系，并说明理由；②若AC=10,求四边形ABC。的面积.

图①图②

22.（2020•湖南中考真题）已知D是Rt^ABC斜边AB的中点，ZACB=90°,ZABC=30°,过点D作RIADEF

使NOEF=90。，NDFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设BC与。E交

于M,PB与EF交于N.（1）如图1,当。，B,尸共线时，求证：①EB=EP；②/EFP=30。；

（2）如图2,当D,B,尸不共线时，连接BF,求证：NBFD+NEFP=30°.

图1

23.(2020•辽宁锦州市•中考真题)已知AAQB和都是等腰直角三角形—OA<OM<ON

I2

ZAOB=AMON=90°.

(1)如图1：连AM,BN,求证：AAOMABON；(2)若将△MON绕点O顺时针旋转，

①如图2,当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=2ON2;

②当点AM,N在同一条直线上时，若OB=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.

24.(2021•贵州安顺市•中考模拟)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB〃CD,点E是BC的中点，若AE

是的平分线，试判断A3，AD，0c之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE交OC的延长线于点F，易证MEB会AFEC得到AB=FC，从

而把AB，AD，。。转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，