北师大版八年级数学下册常考题专练专题02三角形证明之直角三角形(原卷版+解析)

专题02三角形证明之直角三角形题型一直角三角形的性质与判定1．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是A．三内角之比为 B．三边之比为 C．三边长分别为41，40，9 D．三边长分别为7，24，252．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．正确结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①，②，③，④始终为等腰直角三角形．其中正确的是A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③4．一个三角形三边长分别为3，4，，若此三角形是直角三角形，那么的值为．5．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为．6．如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的长．题型二直角三角形全等的判定7．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是A．斜边相等 B．面积相等 C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等8．如图，、，垂足分别为、，，，，点为边上一动点，当时，形成的与全等．9．下列说法正确的有个．（1）两条边对应相等的两个直角三角形全等．（2）有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．（3）一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等．（4）面积相等的两个直角三角形全等．10．如图，，，，，点和点从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当点运动到，与全等．11．已知：如图（1）四边形和四边形为正方形，、、在同一直线．（1）试判断、的位置关系，请直接写出结论：；（2）若正方形绕点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．（3）在图（2）中，若正方形的边长为6，正方形边长为3，连接，求的值．

12．这是一道我们曾经探究过的问题：如图1．等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“形图”．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：【模型应用】（1）直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连交轴于点，如图2，的面积是否确定？若确定，请求出具体的值；若不确定，请说明理由．（2）如图3，直线分别与、轴交于、两点，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，求经过点且平行于直线的直线的函数表达式．【拓展延伸】（3）已知直线与坐标轴交于点、．将直线绕点逆时针旋转至直线．如图4，直线在轴上方的图象上是否存在一点，使得的面积与的面积相等？若存在，求出的坐标；不存在，说明理由．题型三直角三角形中的特殊角度（30°，45°）的应用13．如图，，且平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．414．已知等腰中，，且，则等腰的顶角度数为．15．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则A．3 B．4 C．5 D．616．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么的面积是．17．如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为．18．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为．19．如图（将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，如图，则三角板的最大边的长为A． B． C． D．20．如图，，，，若，则的长为．21．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，．（1）求的长：（2）求四边形的面积．22．如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的点，且．（1）若设，，满足，求及的长．（2）求证：．（3）在（1）的条件下，求的面积．题型四斜边上的中线等于斜边一半的应用23．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：24．在中，边上的中线，，，则的面积为．25．已知锐角中，，分别是，边上的高，是线段的中点，连接，．（1）若，，求的周长；（2）若，求证：；（3）若，求的度数．26．在中，，，点是的中点，，垂足为点，连接．（1）如图1，与的数量关系是；（2）如图2，若是线段上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请猜想、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点是线段延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出、、三者之间的数量关系．专题02三角形证明之直角三角形题型一直角三角形的性质与判定1．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是A．三内角之比为 B．三边之比为 C．三边长分别为41，40，9 D．三边长分别为7，24，25【解答】解：、根据三角形内角和公式，求得各角分别为，，，所以此三角形不是直角三角形；、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；、，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；、，三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形．故选：．2．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．正确结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，，，，，故①正确；是的平分线，，，，，又（对顶角相等），，故②正确；，只有时，故③错误；，，平分，，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：．3．在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①，②，③，④始终为等腰直角三角形．其中正确的是A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③【解答】解：连接，如图，，点为中点．，，，，，即，而，，在和中，，，，，，故①正确；，始终为等腰直角三角形，故④正确；，，，故③正确；，，，，，故②正确．故选：．4．一个三角形三边长分别为3，4，，若此三角形是直角三角形，那么的值为5或．【解答】解：（1）若4是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理，得，所以；（2）若4是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理，得，所以；所以第三边的长为5或．故答案为：5或．5．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为或3．【解答】解：当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或3．故答案为：或3．6．如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的长．【解答】（1）证明：，，是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）解：，，在中，，，，，．题型二直角三角形全等的判定7．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是A．斜边相等 B．面积相等 C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等【解答】解：、斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；、一直角边及斜边分别相等，可利用定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：．8．如图，、，垂足分别为、，，，，点为边上一动点，当2时，形成的与全等．【解答】解：当时，，，，，、，，在和中，，故答案为：2．9．下列说法正确的有3个．（1）两条边对应相等的两个直角三角形全等．（2）有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．（3）一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等．（4）面积相等的两个直角三角形全等．【解答】解：（1）当这两条边都是直角边时，结合直角相等，则可用可判定两个三角形全等，当这两条边一条是斜边一条是直角边时，可用判定这两个直角三角形全等，故（1）正确；（2）有一锐角和斜边对应相等时，结合直角，可用来判定这两个直角三角形全等，故（2）正确；（3）当一条直角边和一个锐角对应相等时，结合直角，可用或来证明这两个直角三角形全等，故（3）正确；（4）当两个三角形面积相等时，这两个直角三角形不一定会等，故（4）不正确；综上可知正确的有3个，故答案为：3．10．如图，，，，，点和点从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当点运动到5或10，与全等．【解答】解：，，，分两种情况：①当时，在和中，，；②当时，在和中，，；综上所述：当点运动到或10时，与全等；故答案为：5或10．11．已知：如图（1）四边形和四边形为正方形，、、在同一直线．（1）试判断、的位置关系，请直接写出结论：；（2）若正方形绕点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．（3）在图（2）中，若正方形的边长为6，正方形边长为3，连接，求的值．【解答】（1）解：延长与交于点，四边形、四边形都是正方形，，，，，在与中，，，，，，，，，故答案为：．（2）仍成立．证明：四边形、四边形都是正方形，，，，在与中，，，，又，，，，．（3），，又，，，，，．12．这是一道我们曾经探究过的问题：如图1．等腰直角三角形中，，．直线经过点，过作于点，过作于点．易证得．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“形图”．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：【模型应用】（1）直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．分别以、为边，点为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角和等腰直角，连交轴于点，如图2，的面积是否确定？若确定，请求出具体的值；若不确定，请说明理由．（2）如图3，直线分别与、轴交于、两点，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长交轴于点，当点运动时，求经过点且平行于直线的直线的函数表达式．【拓展延伸】（3）已知直线与坐标轴交于点、．将直线绕点逆时针旋转至直线．如图4，直线在轴上方的图象上是否存在一点，使得的面积与的面积相等？若存在，求出的坐标；不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．，，过点作轴，由“形图”可得，，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，故，的面积是确定的，值为．（2）由直线分别与、轴交于、两点，可得，，过点作轴，设点，由“形图”，可得；，，，即，即过点且平行于直线的直线的函数表达式为．（3）过点作交于点，过点作轴，直线与坐标轴交于点、．由“形图”，得，，，的坐标为故过两点的直线的解析式为：，设点坐标为，的面积为，的面积为，依题意得：解得，点为故直线在轴上方的图象上存在一点点为，使得的面积与的面积相等题型三直角三角形中的特殊角度（30°，45°）的应用13．如图，，且平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当时，的值最小，平分，，，，故选：．14．已知等腰中，，且，则等腰的顶角度数为或或．【解答】解：如图1中，当时，，，，，如图2中，当，，，，，，如图3中，当，，，，，，综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为或或．故答案为：或或．15．如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：过作，交于点，在中，，，，，，，，．故选：．16．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果，那么的面积是1．【解答】解：，，，，，沿直线翻折后，点落在点处，，，，，，，在中，，，，在中，，，．故答案为：1．17．如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为6或．【解答】解：如图1中，当时，在中，，，，，，，，，，，垂直平分线段，，，，，，，，．如图2中，当时，连接，交于点，过点作于．设，则，．，，垂直平分线段，，，，，，，，，，，，，解得，，，解法二：过点作交的延长线于．设，则，，在中，则有，解得，，综上所述，满足条件的的值为6或．故答案为6或．18．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为3．【解答】解：作，过作交于，在中，，，，当、、三点共线时，最小，在中，，，，，在中，，，最小值为，的最小值为3．故答案为：3．19．如图（将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，如图，则三角板的最大边的长为A． B． C． D．【解答】解：给各点标上字母，过点作于点，如图所示．在中，，，，．为等腰直角三角形，．故选：．20．如图，，，，若，则的长为2．【解答】解：过作，交与点，，，，，，，又，，又为的外角，，在直角三角形中，，，，则．故答案为：2．21．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，．（1）求的长：（2）求四边形的面积．【解答】解：（1）过点作，，，，，，，，，又，，；（2）在中，，，，，，，，，．22．如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的点，且．（1）若设，，满足，求及的长．（2）求证：．（3）在（1）的条件下，求的面积．【解答】（1）解：由题意得，解得，则，所以，，，，即，；（2）证明：延长到，使，连接，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，，即，在中，根据勾股定理得：，，，；（3）解：连接，为等腰直角三角形，为的中点，，，，，，，，在和中，，，，，即为等腰直角三角形，，，在中，根据勾股定理得：，设，根据勾股定理得：，解得