沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第03讲平面向量的线性运算(考点讲与练)(原卷版+解析)

第03讲平面向量的线性运算（核心考点讲与练）【基础知识】一：实数与向量相乘1.平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．4.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．5.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．二：向量的线性运算1.向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．2.向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【考点剖析】【考点1】实数与向量相乘例题1（川中南2019期中8）__________例题2（闵行2020期末11）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么=_____.例题3（普陀2019期中19）如图，已知两个不平行的向量、.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）【考点2】向量的线性运算例题4（川中南2019期中20）如图，中，点为上的一点，，与相交于点，如果.(1)用向量分别表示下列向量:.(2)在图中求作分别在和方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果)【过关检测】一．选择题（共6小题）1．(2023•普陀区二模）已知|a→|＝1，|b→|＝2，且b→A．a→=2b→ B．a→=−2b→ C．b→2．(2023秋•徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）A．AC→=BC→ B．AC+BC=0 C．BC→3．(2023•青浦区二模）已知非零向量a→和单位向量eA．|a→|=|e→|a→ 4．(2023•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（）A．AB→=DC→ B．OA→+OC→=0 C．|5．(2023春•浦东新区校级期中）已知a→，b→非零向量，且|a→+bA．a→=b→ B．a→∥b→C．a→=b→ D．a→∥b6．(2023春•浦东新区校级期中）在▱ABCD中，AB→A．BD→ B．AC→ C．DB→二．填空题（共7小题）7．(2023春•松江区校级期中）已知向量e→为单位向量，则|﹣3e→|＝8．(2023春•黄浦区期中）已知AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设OB→=a→，OD→=b→，那么向量9．(2023•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且ADBD=23，点E是AC的中点，BA→=a→，AC→=10．(2023•浦东新区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果AC→=a→，AB→=b→，那么用11．(2023•嘉定区二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，AB→=a→，BC→=b→12．(2023春•静安区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知OD→=a→，CO→=b→13．(2023•青浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD上一点，ED＝2AE，联结BE交AC于F，若向量BA→=a→，向量BC三．解答题（共5小题）14．(2023秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设AB→=a→，AC→=b15．(2023秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设AB→=a→，AC→=b16．(2023秋•宝山区期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又AF→（1）设AB→=a→，AD→=b→，用向量a→（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．17．(2023秋•长宁区期末）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若AB→=m（1）用m→、n→表示AC→（2）求作BF在BA→、BC（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）18．(2023春•黄浦区期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上．（1）填空：DA→+DC→=（2）求作：AB→第03讲平面向量的线性运算（核心考点讲与练）【基础知识】一：实数与向量相乘1.平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．4.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．5.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．二：向量的线性运算1.向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．2.向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解【考点剖析】【考点1】实数与向量相乘例题1（川中南2019期中8）__________答案:；解析：解：原式=.例题2（闵行2020期末11）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么=_____.答案:-6；解析：解：根据题意，得，故答案为-6.例题3（普陀2019期中19）如图，已知两个不平行的向量、.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）答案:；解析：解：==.如图即为所求．【考点2】向量的线性运算例题4（川中南2019期中20）如图，中，点为上的一点，，与相交于点，如果.(1)用向量分别表示下列向量:.(2)在图中求作分别在和方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果)答案:解析：解：（1）；；；（2）如图所示，分别在和方向上的分向量分别是和.【过关检测】一．选择题（共6小题）1．(2023•普陀区二模）已知|a→|＝1，|b→|＝2，且b→A．a→=2b→ B．a→=−2b→ C．b→分析：根据平面向量的性质即可解决问题．【解答】解：∵|a→|＝1，|b→|＝2，且b→∴b→=−2故选：D．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．(2023秋•徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）A．AC→=BC→ B．AC+BC=0 C．BC→分析：根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴AC→=CB→；AC→+BC→=∴A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．3．(2023•青浦区二模）已知非零向量a→和单位向量eA．|a→|=|e→|a→ 分析：根据向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、|aB、e→=1|aC、a→D、a→=|a→|故选：C．【点评】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．4．(2023•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（）A．AB→=DC→ B．OA→+OC→=0 C．|分析：利用平行四边形的性质和三角形法则进行判断．【解答】解：A、在▱ABCD中，AB＝DC，且AB∥DC，则AB→B、在▱ABCD中，OA＝OC，则OA→C、在▱ABCD中，OB＝OD，则|OB→|＝|ODD、在▱ABCD中，AC＝2AO，则AC→=2故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意：平面向量既有大小又有方向．5．(2023春•浦东新区校级期中）已知a→，b→非零向量，且|a→+bA．a→=b→ B．a→∥b→C．a→=b→ D．a→∥b分析：根据向量数量积的应用，利用平方法进行判断即可．【解答】解：∵a→，b→非零向量，且|a→+b∴平方得|a→|2+|b→|2+2a→•b→=|a→|2+|b→即a→•b→=|a∴|a→|•|b→|cos＜a→，b→则cos＜a→，b→＞=1，即a→∥b故选：B．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，利用平方法是解决本题的关键．6．(2023春•浦东新区校级期中）在▱ABCD中，AB→A．BD→ B．AC→ C．DB→分析：利用平行四边形的对边平行且相等的性质和共线向量的性质得到AD→=BC【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴AD→∴AB→故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，利用“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD→二．填空题（共7小题）7．(2023春•松江区校级期中）已知向量e→为单位向量，则|﹣3e→|＝分析：根据平面向量的模的几何意义作答．【解答】解：∵向量e→∴|﹣3e→故答案是：3．【点评】本题主要考查了平面向量，平面向量的模即为某线段的长度．8．(2023春•黄浦区期中）已知AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设OB→=a→，OD→=b→，那么向量AB→分析：求出AO→，再根据AB【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中线，交于点O，∴AO＝2OD，∴AO→=2∵AB→∴AB→=2故答案为：2b→【点评】本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．(2023•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且ADBD=23，点E是AC的中点，BA→=a→，AC→=b→分析：求出DA→，AE【解答】解：∵ADBD∴AD=25∴DA→∵E是AC的中点，∴AE＝EC，∴AE→∴DE→故答案为：25【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．10．(2023•浦东新区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果AC→=a→，AB→=b→，那么用a→、b分析：首先证明OA＝OC，OB＝OD，求出BO→【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BO→∴BD→=2BO→故答案为：a→−2【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．11．(2023•嘉定区二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，AB→=a→，BC→=b→，用a分析：首先利用三角形法则求得AC→【解答】解：在△ABC中，AB→=a→，∵点D，E分别是△ABC边AB，BC上的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥AC，DE=12∴DE→故答案是：12【点评】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，掌握共线向量的定义和性质是解题的关键．12．(2023春•静安区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知OD→=a→，CO→=b→，那么BC分析：利用平行四边形的对边平行且相等的性质和共线向量的性质推知OA→=b【解答】解：在平行四边形ABCD中，AO＝CO，AD∥BC，AD＝BC，∵CO→∴OA→∵OD→∴AD→∴BC→故答案是：a→【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算和平行四边形的性质，解题时，需要掌握三角形法则和共线向量的性质．13．(2023•青浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD上一点，ED＝2AE，联结BE交AC于F，若向量BA→=a→，向量BC→=分析：利用三角形法则，可求得CA→，易证得△AEF∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF【解答】解：（1）∵向量BA→=a∴CA→∵▱ABCD中，ED＝2AE，∴AE=13AD=13BC，∴△AEF∽△CBF，∴AFFC∴FA→故答案是：14【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．三．解答题（共5小题）14．(2023秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设AB→=a→，AC→=b分析：（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE=23∴AEAC又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵AB→=a∴BC→又DE∥BC，DE=23∴DE→=2【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．15．(2023秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=23（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设AB→=a→，AC→=b分析：（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC∵DE=2∴AE＝4；（2）由（1）知，DEBC∴DE=2∵BC→∴DE→【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．16．(2023秋•宝山区期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又AF→（1）设AB→=a→，AD→=b→，用向量a→、b→表示向量（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．分析：（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF=2∵AD→∴AF→∴BF=2∵AF→∴BC→∴AC=8故答案为：23b→（2）∵AF→∴AF