高三数学 一轮复习 第4知识块第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示随堂训练 文 新人教A版

第2讲平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a解析：设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝4，,λ＋μ＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝－1，))∴c＝3a－b.答案：B2．(·广东)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．答案：C3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：依题知d＝a－b＝(1，－1)，又c＝ka＋b＝(k,1)．∵c∥d，∴1×1－(－1)·k＝0，∴k＝－1.又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．答案：D4．(·山东淄博调研)①点P在△ABC所在的平面内，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))；②点P是△ABC所在平面内的一点，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.上述两个点P中，是△ABC的重心的为()A．都不是 B．① C．② D．①②解析：①eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))说明点P在BC边上的中线所在的直线上，同理eq\o(BP,\s\up6(→))＝μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))说明点P在AC边上的中线所在的直线上，所以点P是△ABC的重心；②设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0可以得到x＝eq\f(x1＋x2＋x3,3)，y＝eq\f(y1＋y2＋y3,3)，所以点P是△ABC的重心．答案：D二、填空题5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，那么2a＋3b答案：(－4，－8)6．(·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析：设D(x，y)，因为AB∥DC，AD∥BC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，而eq\o(AB,\s\up6(→))＝(8,8)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－8，y－6)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8(x－8)－8(y－6)＝0，,－2(x＋2)－2y＝0.))解之得x＝0，y＝－2，故D(0，－2)．答案：(0，－2)7．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2－m，－7－m)，又点A、B、C能构成三角形．所以点A、B、C不共线，即eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线．所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－eq\f(7,10)，故实数m应满足m≠－eq\f(7,10).答案：m≠－eq\f(7,10)三、解答题8．向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？解：解法一：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－k＝6λ，,－7＝λ(k－5).))解得k＝11或－2.解法二：接方法一，∵A、B、C三点共线，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11或－2.9．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在第二、四象限角平分线上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在第二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－eq\f(1,2)；若P在第二象限，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0,2＋3t>0))，－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1,3－3t＝2))，无解．四边形OABP不能成为平行四边形．10．(·浙江金华调研)已知点A(1,0)、B(0,2)、C(－1，－2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．解：(1)设D点坐标为(x，y)，若是▱ABCD，则由eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))得(－1,2)=(－1-x，－2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x=1,－2－y=2))∴x=0，y=－4.∴D点的坐标为(0，－4)(如图中的D1)．(2)若是▱ADBC，则由eq\o(→,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))得(x－1，y)＝(1,4)．解得x＝2，y＝4.∴D点坐标为(2,4)(如图中的D2)．(3)若是▱ABDC，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))得(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.∴D点的坐标为(－2,0)(如图中的D3)．综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．1．(·创新题)设a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)cosx))，且a∥b，则锐角x为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(5,12)π解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,4)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)cosx))，且a∥b，∴eq\f(1,2)sinxcosx－eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝0，即eq\f(1,4)sin2x－eq\f(1,4)＝0，∴sin2x＝1.又∵x为锐角，∴2x＝eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,4).答案：B2.(★★★★)如右图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))=meq\o(AM,\s\up6(→))，AC=neq\o(AN,\s\up6(→))，则m+n的值为.解析：设eq\o(AB,\s\up6(→))=a，eq\o(AC,\s\up6(→))=b，eq\o(MO,\s\up6(→))=eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(１,2)(a+b)－eq\f(１,m)a=(eq\f(１,2)－eq\f(１,m))a+eq\f(１,2)b，同理eq\o(NO,\s\up6(→))=eq\f(１,2)a+(eq\f(１,2)－eq\f(１,n)