苏科版八年级数学上册讲练专题3.3勾股定理的简单应用(原卷版+解析)

专题3.3勾股定理的简单应用【教学目标】1、能应用勾股定理解决一些简单的实际问题；2、学会选择适当的数学模型解决实际问题。【教学重难点】1、应用勾股定理解决实际问题；2、把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）；【知识亮解】勾股定理的应用勾股定理的作用1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2、用于解决带有平方关系的证明问题；3、与勾股定理有关的面积计算；4、勾股定理在实际生活中的应用．亮题一：勾股定理的证明【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例1】★下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是图，写出你的验证过程．【例2】★如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A.B.C.D.【例3】★★勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a。S四边形ADCB=，S四边形ADCB=，∴，化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2亮题二：利用勾股定理解折叠问题【例1】★如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．【例5】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．亮题三：利用勾股定理求最短路径【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理求解.【例1】★如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【例2】★如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．12m B．14m C．13m D．15m【例3】★如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米。A．4 B．8 C．9 D．7【例4】★如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A3 B.+2 C. D.4【例5】★如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）A.（3+8）cm B.10cm C.8cm D.无法确定【例6】★★如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________

cm．

亮题四：勾股定理的实际应用【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例1】★数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【例2】★如图，大小两猴在树上的点A处戏耍，在距离树的底部B20米的C处有一水池，它们准备到水池里喝水，大猴从树上滑下走到池边，小猴则爬高5米到树的顶端D处后直接跃入池中，如果两猴经过的路程相同，求其树高BD.【例3】★如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的莲花，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，莲花被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道莲花移动的水平距离为60cm，则水深是()A．35cm B．40cm C．50cm D．45cm【例4】★如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【例5】★★如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为________．【亮点训练】1．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．2．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米3．一架米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯子底部在水平方向上滑动（

）A．0.4米 B．米 C．米 D．米4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（

）A．4＜h＜5 B．5＜h＜6 C．5≤h≤6 D．4≤h≤56．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为___________m.7．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为______．8．如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于______．9．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．10．如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为______．11．一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了吗？12．抽油机是石油工业中最常见的设备，如图是一架抽油机机械臂的抽象图，当机械臂自然下垂时，底端距离地面1m（即：）；当机械臂底端提升至距地面3m是（即：），与OA的水平距离为6m（即：），求该抽油机的机械臂长．13．轮船甲从码头出发，沿着西南方向航行，与此同时，轮船乙也从码头出发沿着固定方向航行，已知轮船甲、乙的速度分别是20海里/时、15海里/时，他们离开码头2小时后分别行驶到处和处，此时两船相距50海里，且乙船在甲船的东部，画出示意图，并求轮船乙是沿着哪个方向航行？14．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索，（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？15．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．【培优检测】1．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（

）A． B． C． D．2．如图，有一块长为的长方形绿地，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小颖想在处立一个标牌“少走（

）步，踏之何忍”，但小颖不知应填什么数字，请你帮助她填上．（假设两步为）A．步 B．步 C．步 D．步3．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm4．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（

）A．9尺 B．9尺 C．12尺 D．12尺5．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（

）米．A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.26．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．7．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________．8．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min到达点，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min到达点．则、两点的直线距离为______m．9．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________．10．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是____________．11．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径；(2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长．12．如图，笔直的公路上A、两点相距，、为两村庄，于点A，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离A点多远处？13．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．(1)若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．(2)在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最值（填“大”或“小”）为（两个空直接写出答案不需要解答过程）．14．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？15．如图1，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，设OB的长度为x米．(1)用含有x的式子表示AB的长．(2)求OB的长度；(3)如图2，若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．专题3.3勾股定理的简单应用【教学目标】1、能应用勾股定理解决一些简单的实际问题；2、学会选择适当的数学模型解决实际问题。【教学重难点】1、应用勾股定理解决实际问题；2、把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）；【知识亮解】勾股定理的应用勾股定理的作用1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2、用于解决带有平方关系的证明问题；3、与勾股定理有关的面积计算；4、勾股定理在实际生活中的应用．亮题一：勾股定理的证明【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例1】★下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案。【答案】选择的是图2，证明：，，，整理，得，．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【例2】★如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】利用图形的面积公式对各选项进行证明，即可求解。【解析】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故符合题意．故答案为：D．【例3】★★勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a。S四边形ADCB=，S四边形ADCB=，∴，化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2【分析】连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，根据割补法，由S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE及S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE分别表示出五边形ABCDE的面积，根据用两种方法表示同一个图形的面积这两个式子应该相等，得出等式，再整理即可得出答案.【解析】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b-a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b-a），∴a2+b2=c2。亮题二：利用勾股定理解折叠问题【例1】★如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．【分析】由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，，，设，则在中，，解得，即等于，的面积。答：的面积为【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【例2】★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．【解析】设BE的长为x，在Rt△ABC中，BC＝4，∴EC＝4－x，在Rt△EB′C中，B′C＝2，EC2＝B′E2＋B′C2，则有(4－x)2＝22＋x2，解得x＝eq\f(3,2)，所以BE的长为eq\f(3,2)。亮题三：利用勾股定理求最短路径【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理求解.【例1】★如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．【答案】如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，则，，，，，由勾股定理得：，即蚂蚁爬行的最短路线长是，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【例2】★如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．12m B．14m C．13m D．15m【解析】如图，过点A作AB⊥BC于点B，连接AC，∵一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m，∴AB=12m，BC=8﹣3=5m，∴AC==13m．故选C．【例3】★如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米。A．4 B．8 C．9 D．7【解析】由勾股定理得：楼梯的水平宽度==4，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米．【例4】★如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A3 B.+2 C. D.4【答案】C【解析】如图，AB==，故选C．【例5】★如图，在长、宽都为3cm，高为8cm的长方体纸盒的A处有一粒米粒，一只蚂蚁在B处去觅食，那么它所行的最短路线的长是（）A.（3+8）cm B.10cm C.8cm D.无法确定【答案】B【解析】将点A和点B所在的两个面展开，①矩形的长和宽分别为6cm和8cm，故矩形对角线长AB==10cm；②矩形的长和宽分别为3cm和11，故矩形对角线长AB==cm，即蚂蚁所行的最短路线长是10cm，故选B．【点睛】本题考查平面展开——最短路径问题，解题的关键是根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．【例6】★★如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________

cm．

【答案】8【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解析】连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，

∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．故答案为：8．

亮题四：勾股定理的实际应用【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例1】★数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【解析】设旗杆高，则绳子长为，旗杆垂直于地面，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为，解得，旗杆的高度为15米．【例2】★如图，大小两猴在树上的点A处戏耍，在距离树的底部B20米的C处有一水池，它们准备到水池里喝水，大猴从树上滑下走到池边，小猴则爬高5米到树的顶端D处后直接跃入池中，如果两猴经过的路程相同，求其树高BD.【解析】设BD＝x米，则x2＋202＝[(x－5)＋20－5]2，x＝15。【例3】★如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的莲花，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，莲花被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道莲花移动的水平距离为60cm，则水深是()A．35cm B．40cm C．50cm D．45cm【答案】D【解析】根据勾股定理即可求解。【例4】★如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【解析】设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝(9－x)cm，在Rt△OBC中，∵OB2＋OC2＝BC2，∴32＋(9－x)2＝x2，解得x＝5.答：机器人行走的路程BC是5cm.【例5】★★如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为________．【解析】如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，故答案为：150cm．【亮点训练】1．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，；②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，；③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，；∵，所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．故选：C．【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．2．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【分析】根据图像构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：米，米，，小鸟至少要飞米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理合理构造直角三角形是解本题的关键．3．一架米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯子底部在水平方向上滑动（

）A．0.4米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】依题意画出图形，先利用勾股定理求出AC，进而得出，再利用勾股定理求出即可解答．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7，∠ACB=90°，∴，∴=2.4-0.4=2，在Rt△中，，∴=1.5-0.7=0.8，即梯子底部在水平方向上滑动0.8米，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求出和是解答的关键．4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，，如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在中，，，，此时，所以的取值范围是．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．5．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（

）A．4＜h＜5 B．5＜h＜6 C．5≤h≤6 D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，最大，如图所示：故最大cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，最小，如图所示：在Rt中，，cm，cm，则cm，牙刷长为18cm，即cm，最小cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．6．如图，小李将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，此时绳子末端距离地面1m，则绳子的总长度为___________m.【答案】13【分析】设旗杆高为，则，过点E作，则四边形是矩形，得到，，在直角三角形中，根据勾股定理计算即可．【详解】如图，设旗杆高为，则，过点E作，则四边形是矩形，所以，，在直角三角形中，，解得，故绳子长为13m，故答案为：13．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定，勾股定理是解题的关键．7．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为______．【答案】20cm##20厘米【分析】将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，（cm）．故蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm．故答案为：20cm．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．8．如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于______．【答案】195cm##195厘米【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【详解】解：如图，由题意得：cm，cm，故cm．故答案为：195cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．9．如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距_______海里．【答案】10【分析】根据方位角分析可得，根据路程等于速度乘以时间求得，继而根据勾股定理即可求解．【详解】解：甲渔船离开港口向东北方向航行，乙渔船离开港口向西北方向航行，，出发一个小时后，（海里），（海里），（海里），故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理，方位角，掌握勾股定理是解题的关键．10．如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为______．【答案】4【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；【详解】解：，点为的中点，，是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；，，，，，；的最小值为；故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．11．一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了吗？【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面(2)梯子的底部在水平方向滑动了【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出的长度，此题得解；（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，用其减去的长度即可得出结论．（1）解：在中，，∴．答：这个梯子的顶端A距地面．（2）解：梯子的底部在水平方向滑动了不止．在中，∴，∴．答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．12．抽油机是石油工业中最常见的设备，如图是一架抽油机机械臂的抽象图，当机械臂自然下垂时，底端距离地面1m（即：）；当机械臂底端提升至距地面3m是（即：），与OA的水平距离为6m（即：），求该抽油机的机械臂长．【答案】10m【分析】根据题意，理由勾股定理列式解题即可．【详解】解：设机械臂长为m，则：由题意得：，由勾股定理得：，即：，解得：；答：该抽油机的机械臂长为10m．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．利用勾股定理，根据题意设出未知量，再用方程思想进行解题即可．13．轮船甲从码头出发，沿着西南方向航行，与此同时，轮船乙也从码头出发沿着固定方向航行，已知轮船甲、乙的速度分别是20海里/时、15海里/时，他们离开码头2小时后分别行驶到处和处，此时两船相距50海里，且乙船在甲船的东部，画出示意图，并求轮船乙是沿着哪个方向航行？【答案】作图见解析，轮船乙是沿着东南方向航行．【分析】由题意画出图形，再由勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：∠ACD＝45°，AC＝2×20＝40（海里），BC＝2×15＝30（海里），AB＝50（海里），∵，∴，∴是直角三角形，∠ACB＝90°，∵轮船甲从码头出发，沿着西南方向航行，∴，∴，∴轮船乙是沿着东南方向航行．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题以及勾股定理的逆定理，正确画出图形是解题的关键．14．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题进行了认真地探索，（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？【答案】0.8米【分析】在中根据勾股定理求得，进而求得，在中，求得，根据即可求解．【详解】解：在中，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴．答：梯子底部B外移0.8米．【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理进行解答．15．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．【答案】(1)学校能听到宣传，见解析(2)分钟【分析】（1）根据学校到公路的距离为480米米，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到米，求得米，于是得到结论．（1）解：学校能听到宣传，理由：学校到公路的距离为480米米，学校能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到点开始影响学校，行驶点结束对学校的影响，则米，米，（米），米，影响学校的时间为：（分钟），学校总共能听到分钟的宣传．【点睛】本题考查了点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．【培优检测】1．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度可求解．【详解】解：由题意，得：AD=60km，在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km，∴BD=(km)．∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．∴在Rt△ACD中，AC==75（km）．75÷25=3（h）．答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，属基础题目，比较简单．2．如图，有一块长为的长方形绿地，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小颖想在处立一个标牌“少走（

）步，踏之何忍”，但小颖不知应填什么数字，请你帮助她填上．（假设两步为）A．步 B．步 C．步 D．步【答案】C【分析】根据捷径恰好与、构成直角三角形，由勾股定理求出的长，再与比较，然后由步为，即可求解．【详解】解：如图，∵是一块长方形的绿地，，，∴，∴在中，，∵由点顺着、到点的路程是：，∴，又∵两步为，∴（步）．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．3．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，则AD=10×=5（cm）．又因为CD=AB=12cm，所以AC=＝13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．4．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（

）A．9尺 B．9尺 C．12尺 D．12尺【答案】D【分析】设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意利用勾股列方程即可求解．【详解】解：设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意可得：x2+82=（x+3）2，解得：x=．∴x+3=12，故绳索长度为12尺．故选：D．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．5．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（

）米．A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.2【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理得出CB'，进而得出B端将沿CB方向移动．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°∵AB=10，BC=6，∴AC=，当AC下移2m后，A'C=8-2=6，在Rt∆A'B'C中，∠A'CB'=90°B'C=，B'C-BC=8-6=2∴移动了2m故选：C.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．6．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．【答案】32【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．【详解】解：如图，过点作，米，米米，在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响，米，由勾股定理得米，米，即米，36千米/时10米/秒，处受噪音影响的时间为：秒，故答案为：32．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．7．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________．【答案】10【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ＝＝＝10．∴蚂蚁爬行的最短路程10．故答案为：10．【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键.8．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min到达点，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min到达点．则、两点的直线距离为______m．【答案】1000【分析】先画出草图，根据∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，得到∠AOB=90°，根据路程=速度×时间，得到OA=40×15=600，OB=40×20=800，利用勾股定理计算AB即可．【详解】画出草图如下，∵∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，∴∠AOB=90°，∵路程=速度×时间，∴OA=40×15=600，OB=40×20=800，∴=1000，故答案为：1000．【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角的意义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________．【答案】26【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为24dm，圆柱高为5dm，∴AB=5dm，BC=BC′=12dm，∴AC2=52+122=132，∴AC=5．∴这圈金属丝的周长最小为2AC=26（dm）．故答案为：26．【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．10．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是____________．【答案】130cm【分析】先画出图形平面展开图，然后根据两点之间线段最短确定最短路径，最后运用勾股定理进行解答即可．【详解】解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，∴(cm)即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm．【点睛】本题主要考查了平面展开图－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．11．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径；(2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长．【答案】(1)见解析(2)蚂蚁爬过的最短路径的长是5【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径；（2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长．（1）解：木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和，如图所示：（2）解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是：，蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是，∵，∴最短路径的长是5．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意画出长方体的展开图，找出蚂蚁可能爬行的最短路径，是解题的关键．12．如图，笔直的公路上A、两点相距，、为两村庄，于点A，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离A点多远处？【答案】收购站E应建在离A点10km处【分析】先根据“C，D两村到E站的距离相等”得出DE=CE，再根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴