沪教版九年级数学考试满分全攻略第24章相似三角形(单元提升卷)(原卷版+解析)

第24章相似三角形（单元提升卷）（满分150分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题(本大题共6题，每题4分，满分24分)1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是(

)A． B． C． D．2．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是(

)A．， B．，C．, D．，3．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长(

)A． B． C． D．或4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是(

)A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC5．已知小丽同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（

）．A．20米 B．30米 C．40米 D．50米6．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（

）．A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么．9．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm，则另一个三角形的周长为___________cm．10．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_____cm．11．在比例尺为的地图上，上海与香港之间的距离为厘米，则上海与香港之间的实际距离为______千米．12．如果，那么______．13．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.14．在中，,那么这个三角形的重心到BC的距离是________，15．如图，在中，，，为上的一点，四边形为菱形，则菱形的边长为______．16．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．17．如图，在中，，，，则的值为______．18．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为___________．三、解答题（19、20、21、22题每题满分10分，23、24题每题满分12分，25题满分14分）19．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．20．如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）求证：△DCP∽△QBP．（2）若，求的值．

21．已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB=MD；（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．22．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；（1）求（用向量的式子表示）（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）23．已知：，设，，，求、、的值，并且比较它们大小．24．在中，，，，平分，交于于．试说明点是线段的黄金分割点．25．已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．第24章相似三角形（单元提升卷）（满分150分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题(本大题共6题，每题4分，满分24分)1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、由得，ac=bd，故本选项错误；B、由得，ac=bd，故本选项错误；C、由得，ad=bc，故本选项正确；D、由得，ac=bd，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键．2．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是(

)A．， B．，C．, D．，【答案】C【分析】根据各个选项的条件只要能推出或，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：A、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；B、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C、∵，∴，∵，∴=∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；D、根据=和=,不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC∽△ADE．3．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长(

)A． B． C． D．或【答案】D【分析】分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．【详解】解：分两种情况：①∵△ABC∽△CDB，∴，即，∴BD=；②由勾股定理得：AB==4，∵△ABC∽△BDC，∴，即，解得：BD=；综上可知：BD的长为；或故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是(

)A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC【答案】C【详解】：∵∠BAC=90°，D是BC中点，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵AE⊥AD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB=∠C，而∠E是公共角，∴△BAE∽△ACE故选C．5．已知小丽同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（

）．A．20米 B．30米 C．40米 D．50米【答案】B【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设建筑物的高度为xm，则可列比例为：,解得：x=30，故选B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．6．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量与均为单位向量，可得向量与的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量与均为单位向量，∴向量与的模相等，∴.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．【答案】【详解】∵AB∥CD∥EF，∴，故答案为．8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么．【答案】15【分析】因为平分，，可证DE=EC,【详解】解：根据，即BC=15.考点：三角形一边平行线的性质．9．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm，则另一个三角形的周长为___________cm．【答案】12【详解】试题分析：设另一个三角形的周长是xcm，根据相似三角形的性质得：=，解得：x=12．故答案为12．考点：相似三角形的性质．点评：本题考查了对相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，主要培养了学生运用性质进行计算的能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．10．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_____cm．【答案】5(3-)【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比.【详解】由题意知,则较短线段==.故答案为:.【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键.11．在比例尺为的地图上，上海与香港之间的距离为厘米，则上海与香港之间的实际距离为______千米．【答案】1230【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的实际距离．【详解】解：设上海与香港之间的实际距离为x厘米，根据比例尺为1：10000000，列出比例式得：1：10000000=12.3：x，解得x=123000000，则123000000厘米=1230千米，答：上海与香港之间的实际距离为1230千米．故答案为1230．【点睛】本题主要考查了比例线段，掌握比例尺=图上距离：实际距离是本题的关键，注意单位的统一．12．如果，那么______．【答案】1【分析】根据等式的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：解：由3x=2y，得∴故答案为1．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键，又利用了分式的性质．13．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.【答案】1:9【分析】由已知可证△ADE∽△ABC，可求相似比为1：3，所以△ADE与△ABC的面积比为1：9．【详解】解：∵在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC．∴△ADE∽△ABC．∵AD=1，DB=2∴AD：AB=1：3∴△ADE与△ABC的面积比为1：9．14．在中，,那么这个三角形的重心到BC的距离是________，【答案】1【详解】∵AB=AC=5cm∴△ABC是等腰三角形∴三角形的重心G在BC边的高根据勾股定理设该高为a，∴a2+42=52则a=3cm，根据三角形的重心性质∴G到BC的距离是1cm.15．如图，在中，，，为上的一点，四边形为菱形，则菱形的边长为______．【答案】【分析】由DF∥AB，推出△CFD∽△CAB，于是得到，设菱形的边长为x，列出方程，求解即可．【详解】解：∵四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，∴△CFD∽△CAB，∴设菱形的边长为x，∴解得故答案为.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，能根据比例线段正确列出方程是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．【答案】【详解】∵，∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，∴AC=a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC∴a2=CE•a，2a2=AE•a，∴CE=，AE=，∴，∵△CEF∽△AEB，∴故答案为17．如图，在中，，，，则的值为______．【答案】【分析】根据条件证得：∠ADC=∠CDB，∠ACD=∠B，得到△BCD∽△CAD，再由相似三角形面积的比等于相似的平方，即可求解．【详解】解：∵S△BCD=3S△CAD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∠C=90°，∴∠ACD=∠B=90°-∠A，∴△BCD∽△CAD，故答案为.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的性质：相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方，熟记定理是解决问题的关键．18．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为___________．【答案】3【分析】要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BE，∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，∴△ADP∽△BEP，∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，∴PB=PA，又∵PA+PB=AB=5，∴PB=AB=3．三、解答题（19、20、21、22题每题满分10分，23、24题每题满分12分，25题满分14分）19．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．【答案】FN：ND=2：3．【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．【详解】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴，∵AF：BF=1：2，∴=，∴，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴．即FN：ND=2：3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．20．如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）求证：△DCP∽△QBP．（2）若，求的值．

【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质得到CD∥BQ，于是得结论；（2）根据矩形的性质AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，推出△DCP∽△QBP，根据相似三角形的性质得到，于是得到，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴CD∥BQ，∴△DCP∽△QBP；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴△DCP∽△QBP，∴，∴，∴==．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．21．已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB=MD；（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．【分析】（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD；（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．【详解】证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，∵∠ABC=∠CDE=90°，∴AB∥DN，∴=，而点M为AE中点，∴AM=ME，∴BM=MN，∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，∴MB=MD；（2）∵AB∥NE，∴==1，即AB=NE，∵AB=BC，DC=DE，∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，∵AB=BC，DC=DE，∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CED=∠ACB=∠45°，∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，∴CE∥BN，AC∥DM，∴四边形MGCH为平行四边形，而∠GMH=90°，∴四边形MGCH为矩形．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．也考查了矩形的判定和等腰直角三角形的性质．22．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；（1）求（用向量的式子表示）（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）根据AD是边BC上的中线可得BD=BC,可得,根据可求出；（2）利用平行四边形法则，即可求得在方向上的分向量.【详解】（1）因为AD是边BC上的中线，所以BD=BC,所以,因为，所以；（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB，就是在方向上的分向量.【点睛】本题主要考查平面向量和平行四边形法则，解题的关键是掌握平行四边形法则画出分向量.23．已知：，设，，，求、、的值，并且比较它们大小．【答案】，理由见解析【分析】令，则，，，把x、y、z的值分别代入A、B、C中求值后，比较即可解答.【详解】解：令，则，，，故，，，故．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设出一个系数，用这个系数表示出x、y、z的值后代入即可求解．24．在中，，，，平分，交于于．试说明点是线段的黄金分割点．【分析】根据等腰三角形的两底角相等以及角平分线的定义求出∠DBC=36°，再证明△BCD∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据计算出AD的值，由此即可判定点D是线段AC的黄金分割点．【详解】证明：∵，，∴，∵平分，交于于，∴，∴，又∵，∴，∴∵，∴，∵，，∴，解得，∴：．∴点是线段的黄金分割点．【点睛】本题考查了黄金分割点的知识：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．25．已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．【答案】（1）B（8，0）；（2）直线AE的表达式为y=-2x+6；(3)△OFB为等腰三角形，S△OBF=8.【分析】（1）对于一次函数y=-x+6，令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出OA及OB的长，即可确定出B的坐标；（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB，由AE为角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，设OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE的长，得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx