沪教版九年级数学考试满分全攻略第25章锐角的三角比(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)

第25章锐角的三角比（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海市青浦区教育局二模）在中，，的余弦是（

）A． B． C． D．2．（2021·上海·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（

）A． B． C． D．3．（2021·上海金山·九年级期末）在中，，那么锐角的正弦等于（

）A． B． C． D．．4．（2021··九年级专题练习）已知中，，CD是AB上的高，则=（

）A． B． C． D．5．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．6．（2021·上海市文来中学九年级期中）在中，，，，那么边的长为（

）A． B． C． D．7．（2022·上海嘉定·九年级期末）在中，，，那么的长是（

）A． B． C． D．8．（2021·上海杨浦·一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形9．（2019·上海·九年级期中）在中，，下列等式中正确的是(

)A． B． C． D．10．（2019·上海浦东新·九年级期中）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA等于(

)A． B． C． D．11．（2022·上海虹口·九年级期末）在Rt中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．二、填空题12．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为___________13．（2022·上海青浦·九年级期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．14．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）的________值等于．15．（2021··九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．三、解答题16．（2022·上海·模拟预测）计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°；（2）．17．（2022·上海虹口·九年级期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）18．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．（1）求AC和AB的长；（2）求的值．【常考】一．选择题（共4小题）1．（2021•上海模拟）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于（）A． B． C． D．2．（2021秋•徐汇区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（）A． B． C． D．3．（2020秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A． B．2sinα C． D．2cosα4．（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里二．填空题（共9小题）5．（2022春•嘉定区校级期中）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为．6．（2020秋•松江区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，那么AB的长为．7．（2020秋•宝山区期末）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．8．（2022春•青浦区校级期中）如图，当小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC＝米．（结果可以用根号表示）．9．（2020秋•黄浦区期末）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3，则这个锐角的正切值为．10．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝．11．（2020秋•虹口区校级期末）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为km．12．（2022春•杨浦区校级月考）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i＝1：．13．（2020秋•杨浦区期末）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为．三．解答题（共6小题）14．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．15．（2022春•金山区月考）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）16．（2021秋•长宁区校级期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）17．（2020秋•松江区期末）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）18．（2022•徐汇区校级模拟）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）19．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•闵行区校级期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列关系式错误的是（）A．a＝btanA B．b＝ccosA C．a＝csinA D．c＝2．（2020•南岗区校级开学）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosα B． C．5sinα D．二．解答题（共1小题）3．（2022春•普陀区校级期中）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【压轴】一、填空题1．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图，已知在Rt中，，将绕点逆时针旋转后得，点落在点处，点落在点处，联结，作的平分线，交线段于点，交线段于点，那么的值为____________．2．（2022·上海崇明·九年级期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在中，，点A在边BP上，点D在边CP上，如果，，，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为_____________．3．（2022·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．4．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．二、解答题5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的长；（3）当是等腰三角形时，求的长．6．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．(1)求证：△ACF∽△BCE；(2)如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；(3)在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．7．（2022·上海·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若AC⊥AE，求AF的长．8．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．(1)当点E在线段AB上时，求证：；(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．9．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．(1)求证：；(2)联结，如果，求的正切值；(3)联结，如果，求的值．10．（2022·上海青浦·九年级期末）在四边形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．(1)求线段BC的长；(2)当FB=FE时，求线段BF的长；(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．第25章锐角的三角比（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海市青浦区教育局二模）在中，，的余弦是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角的余弦可进行求解．【详解】解：在中，，则；故选C．【点睛】本题主要考查角的余弦，熟练掌握求一个角的余弦是解题的关键．2．（2021·上海·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】解：∵∠C=90°，∴=，故选：A．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．3．（2021·上海金山·九年级期末）在中，，那么锐角的正弦等于（

）A． B． C． D．．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【详解】在中，，那么锐角的正弦=，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．4．（2021··九年级专题练习）已知中，，CD是AB上的高，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义解答．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD，∴.故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．5．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义分析即可；【详解】解：A．，故A错；Ｂ．，故Ｂ错；Ｃ．，故Ｃ错；Ｄ=BC，故D正确;故答案为:D【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键6．（2021·上海市文来中学九年级期中）在中，，，，那么边的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先画好直角三角形，再利用从而可得答案.【详解】解：如图，，，，故选A【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数求解三角形的边长，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键7．（2022·上海嘉定·九年级期末）在中，，，那么的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作底边上的高，根据锐角三角函数的概念和等腰三角形的三线合一的性质求解．【详解】解：作AD⊥BC于D．∵，，∴BD＝AB•cosB＝10×＝4，∴BC＝2BD＝8．故选：B【点睛】考查了锐角三角函数的概念以及等腰三角形的三线合一性质，解题关键是作高构建直角三角形．8．（2021·上海杨浦·一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＋∠B＝90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．9．（2019·上海·九年级期中）在中，，下列等式中正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理可以将直角三角形的第三边求出来，然后再根据三角函数的求法根据每个选项进行一一验证即可得出答案.【详解】如图，根据中，，，可得：，A.,故A错误；B.，故B错误；C.，故C正确；D.，故D错误.故答案选C.【点睛】本题考查利用勾股定理以及三角函数解直角三角形，熟记各个三角函数的求值方法，并区分是解题关键，在做题时最好画一个直角三角形进行辅助.10．（2019·上海浦东新·九年级期中）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA等于(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据锐角三角函数的定义，结合勾股定理，用同一个未知数表示直角三角形的三边；再根据锐角三角函数的定义求解．【详解】解：由sinB=，可设∠B的对边是3k，斜边是5k．则∠B的邻边是4k．∴tanA=．故选D．【点睛】理解锐角三角函数的概念．11．（2022·上海虹口·九年级期末）在Rt中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出直角三角形，结合余切函数的定义（邻边比对边）可直接得出．【详解】解：直角三角形中，，，则，故选：C．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，理解余切函数的定义是解题关键．二、填空题12．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为___________【答案】##【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可．【详解】解：如图，取点，连接，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求余切，掌握直角三角形三角函数的定义是解题的关键．13．（2022·上海青浦·九年级期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．【答案】【分析】利用正切的定义求解．【详解】解：∵∠C=90°，∴tan∠A==2，∴BC=2AC=2×3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．14．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）的________值等于．【答案】正切【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：因为，所以的正切值等于，故答案为：正切【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．15．（2021··九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．【答案】直角三角形【分析】根据特殊的三角函数值，求得∠A，∠B的度数，再进行判断．【详解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，故△ABC是直角三角形，故填：直角三角形．【点睛】本题考查特殊的三角函数值，熟练记忆是关键．三、解答题16．（2022·上海·模拟预测）计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根据特殊的锐角三角函数值以及基本的四则运算法则可直接求解最后结果．【详解】解：（1）原式==

=．（2）原式===-=-【点睛】本题考查了锐角三角函数函数值，熟记特殊的锐角三角函数值是解决本题的关键．17．（2022·上海虹口·九年级期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为．【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键．18．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．（1）求AC和AB的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【详解】试题分析：（1）在Rt△ACD中，利用，CD=6求出AD的长，再求出AC的长.再在Rt△ABC中，利用==求出BC的长，再求出AB的长；（2）过点D作DH⊥AB于点H，利用S△ABD=AB·DH=BD·AC，其中AB、BD、AC都可知，则可求出DH，再在Rt△ADH中利用正弦三角形函数定义求解.解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠ADC==，CD=6，∴AD=10，∴在Rt△ACD中，AC==8.又∵在Rt△ABC中，==，∴BC=12，∴AB==4.（2）过点D作DH⊥AB于点H，∴S△ABD=AB·DH=BD·AC，其中AB=4，BD=BC-CD=6,AC=8,∴DH==,∴在Rt△ADH中，sin∠BAD==.【常考】一．选择题（共4小题）1．（2021•上海模拟）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于（）A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA＝即可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴cotA＝＝，故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键，本题是道基础题，比较简单．2．（2021秋•徐汇区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10，∴cosA＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的前提．3．（2020秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A． B．2sinα C． D．2cosα【分析】根据锐角三角函数的意义即可得出答案．【解答】解：∵sinB＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提．4．（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形并求解．二．填空题（共9小题）5．（2022春•嘉定区校级期中）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为30tanα．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：如图；在Rt△ABC中，AB＝30米，∠A＝α；∴BC＝AB•tanA＝30tanα．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角解直角三角形．6．（2020秋•松江区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，那么AB的长为8．【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cosA＝＝，AC＝6，∴AB＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．7．（2020秋•宝山区期末）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为15米．【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度．【解答】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．8．（2022春•青浦区校级期中）如图，当小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC＝30米．（结果可以用根号表示）．【分析】直接利用坡度的定义得出设BC＝x，则AC＝3x，进而利用勾股定理得出即可．【解答】解：∵小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，∴设BC＝x，则AC＝3x，故x2+（3x）2＝1002，解得：x＝10，那么小明行走的水平距离AC＝30（m）．故答案为：30．【点评】此题主要考查了坡度和坡角问题以及勾股定理，得出BC的长是解题关键．9．（2020秋•黄浦区期末）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3，则这个锐角的正切值为3．【分析】设这个锐角的正切值为t，根据余切的定义得到这个锐角的余切值为，则t+＝3，解分式方程得到t1＝3，t2＝，然后利用锐角的正切值比余切值大确定t的值．【解答】解：设这个锐角的正切值为t，则这个锐角的余切值为，根据题意得t+＝3，整理得3t2﹣10t+3＝0，解得t1＝3，t2＝，经检验t1＝3，t2＝都为原方程的解，因为一个锐角的正切值比余切值大，所以t＝3．即这个锐角的正切值为3．故答案为3．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．锐角A的邻边b与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．10．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，再根据＝，进而得出若＝，设辅助未知数，求出BC，即可求出tanA的值．【解答】解：连接EB，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵＝＝，设EC＝3k，则AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，在Rt△BCE中，BC＝＝4k，在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的意义，利用辅助未知数和勾股定理求出BC是解决问题的关键．11．（2020秋•虹口区校级期末）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为（2+2）km．【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD+BD＝2+2（km），故答案为：（2+2）．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．12．（2022春•杨浦区校级月考）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i＝1：2.4．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定理，求出水平距离，然后根据定义解答．【解答】解：由题意得，水平距离＝＝12，∴坡比i＝5：12＝1：2.4．故答案为2.4【点评】本题考查的知识点为：坡度＝垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，属于基础题．13．（2020秋•杨浦区期末）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为9．【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解决问题【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tanB＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共6小题）14．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．（1）求∠D的正弦值；（2）求点C到直线DE的距离．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH＝BC＝2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH＝＝，根据三角形内角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，则sin∠D＝sin∠BAH＝；（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD＝＝9，则CD＝BD﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即点C到DE的距离为．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝BC＝2．∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，∴sin∠BAH＝＝＝，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BED＝90°，BE＝3，∴∠BED＝∠BHA，又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D，∴sin∠D＝sin∠BAH＝，即∠D的正弦值为；（2）过点C作CM⊥DE于点M．∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，∴BD＝＝9，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，∴CM＝CD＝，即点C到DE的距离为．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线是解题的关键．15．（2022春•金山区月考）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）【分析】作BF⊥CD于点F，设DF＝x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF﹣CE＝AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【解答】解：作BF⊥CD于点F，根据题意可得ABFC是矩形，∴CF＝AB，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，∴AB＝2，∴CF＝2，设DF＝x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，则BF＝＝x（米），在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC＝，∴EC＝（x+2）米．∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．解得：x＝4+1，则CD＝4+1+2＝（4+3）米．答：CD的高度是（4+3）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2021秋•长宁区校级期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1）根据中点定义即可求出AB的长；（2）过点B作BE⊥AD于点E,根据等腰三角形的性质可得AD＝2AE,然后利用锐角三角函数可得AE的长，所以AD＝2AE＝13.6cm，进而可得伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．【解答】解：（1）∵B为AD′中点，∴AB＝AD′,∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,∴∠BAE＝BAC＝70°,在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm),∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.4(cm)．∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．17．（2020秋•松江区期末）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EH＝x，则DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；（2）结合（1）得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解答】解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，∴设EH＝x，则DH＝2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，解得，x＝25（米）（负值舍去），∴EH＝25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；（2）∵DH＝2.4x＝60（米），∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°，∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．答：信号塔AB的高度约为23米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（2022•徐汇区校级模拟）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）【分析】根据原楼梯的倾斜角为40°，可先求出AD的长，继而在Rt△ACD中求出CD的长．【解答】解：在Rt△ABD中，sin40°＝＝，∴AD＝5sin40°＝5×0.64＝3.2，在Rt△ACD中，tan35°＝，CD＝＝4.6，答：调整后的楼梯所占地面CD约为4.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．19．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE：EA＝12：5，设BE＝12x，则EA＝5x，由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，解得，x＝2，则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠FAH＝，∴AH＝≈18，∴BF＝18﹣10＝8，答：BF至少是8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．【易错】一．选择题（共2小题）1．（2021秋•闵行区校级期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列关系式错误的是（）A．a＝btanA B．b＝ccosA C．a＝csinA D．c＝【分析】先画出图形，根据锐角三角函数的定义，判断各选项即可．【解答】解：A、tanA＝，则a＝btanA，选项表示正确；B、cosA＝，则b＝ccosA，选项表示正确；C、sinA＝，则a＝csinA，选项表示正确；D、cosA＝，则c＝，选项表示错误．因本题选错误的，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形．2．（2020•南岗区校级开学）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosα B． C．5sinα D．【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故选：B．【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．二．解答题（共1小题）3．（2022春•普陀区校级期中）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平台DE的长度约为1.8米；（2）由题意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【压轴】一、填空题1．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图，已知在Rt中，，将绕点逆时针旋转后得，点落在点处，点落在点处，联结，作的平分线，交线段于点，交线段于点，那么的值为____________．【答案】【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，由可设，，，由旋转可得，，，则，，写出点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得，故可推出，求出点P坐标，由得，推出，故得，由相似三角形的性质即可得解．【详解】如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，∵，∴设，，，由旋转可得：，，，∴，，∴，，，∵AN是平分线，∴，∴，即可得，∴，设直线BE的解析式为，把，代入得：，解得：，∴，当时，，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键．2．（2022·上海崇明·九年级期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在中，，点A在边BP上，点D在边CP上，如果，，，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为_____________．【答案】13或12-或12+【分析】根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．【详解】解：如图，点D的位置如图所示：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE=x，∵，∴AE=x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即x2+(x)2=132，解得：x1=5，x2=-5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC-BE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，FD2=，∴CD2=CF-FD2=12-，CD3=CF+FD2=12+，综上所述，CD的长度为13、12-或12+．故答案为：13、12-或12+．【点睛】本题主要考查了新定义，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（2）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．3．（2022·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．【答案】【分析】旋转后如图示，过A作于过作于过作交的延长线于过作于证明四边形是矩形，再证明设则可得求解可得连接设则由建立方程求解，从而可得答案.【详解】解：旋转后如图示，过A作于过作于过作交的延长线于过作于为的中点，由旋转可得：四边形是矩形，同理可得：设则则所以而而连接设则由解得：则故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握各图形之间的联系，作出正确的辅助线是解题的关键，是难度大的压轴题.4．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．【答案】9【分析】连接AC，作交BC于E点，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作交AD于F点，可证，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC，作交BC于E点，，，，设AE=3x，BE=4x，，则，解得x=2，则AE=6，BE=8，又，CE=BC-BE=4，，作交AD于F点，，，，==，又，同理可得DF=3，CF=4，，AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．二、解答题5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的长；（3）当是等腰三角形时，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的长为11或或．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点在的延长线上、点在线段上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，又，∴，∴，即；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即解得，，∴，解得，；（3）解：作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∴，∴，设，则，由勾股定理得，，∵，∴，当点在的延长线上，时，，∴，解得，，∴，当时，，∴，解得：，∴；当时，，∴，解得，，∴；当点在线段上时，为钝角，∴只有，则，∴，解得，，不合题意，∴是等腰三角形时，的长为11或或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角函数、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．6．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．(1)求证：△ACF∽△BCE；(2)如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；(3)在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．【答案】(1)证明见解析(2)2(3)y＝【分析】（1）先推出△ABC∽△FEC，进而得出∠FCE＝∠ACB，，从而得到∠FCA＝∠ECB，即可证明结论；（2）根据三角形中位线性质可推出∠HGP+∠HPG＝∠HPE＝∠AFB，，进而完成解答；（3）作GQ⊥PH，交PH的延长线于Q，在（2）基础上得出PH和GH的长以及sin∠GHQ，进而完成解答．（1）（1）证明：∵CE⊥BF，∴∠BEC＝∠ABC＝90°，∵AB＝2BC，EF＝2EC，∴，∴△ABC∽△FEC，∴∠FCE＝∠ACB，，∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即：∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE．（2）（2）解：∵G是AB的中点，H是AE的中点，P是EF的中点，∴GH//BE，GH＝，HP//AF，PH＝，∠AEF＝∠GHE，∠HPE＝∠AFB，∠PHG＝∠GHE+∠PHE＝∠AEF+∠PHE，∵∠HPE＝180°﹣（∠AEF+∠PHE）＝180°﹣∠PHG，∠HGP+∠HPG＝180°﹣∠PHG，∴∠HGP+∠HPG＝∠HPE＝∠AFB，由（1）得：△ACF∽△BCE；∴∠AFC＝∠BEC＝90°，，∴∠ABC+∠AFC＝180°，，∴点A、B、C、F共圆，∴∠AFB＝∠ACB，∵tan∠ACB＝，∴tan（∠HGP+∠HPG）＝2．（3）（3）解：如图，作GQ⊥PH，交PH的延长线于Q，∴∠GHQ＝∠HGP+∠HPG，∴tan∠GHQ＝2，∴sin∠GHQ＝，由（2）得：，∴AF＝BE＝x，∴PH＝＝，GH＝，∴GQ＝GH•sin∠GHQ＝＝x，∴S△PGH＝＝＝，∴y＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点，解决问题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．7．（2022·上海·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若AC⊥AE，求AF的长．【答案】(1)(2)（0＜x＜5）；(3)或【分析】（1）作AH⊥BC于H，可证明四边形ABCD为平行四边形，得∠B=∠D，再利用△ADF∽△ABC，可得答案；（2）首先利用△BAC∽△BEA，得BE=，AC=AE，CE=BE-BC=，再根据△ADF∽△EFC，从而解决问题；（3）当点E在C右侧时，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，设CH=CG=x，则BC=3-x，在Rt△BCG中，由勾股定理得，12+x2=（3-x）2，解得x=，再利用三角函数求出AE的长，由△ADF∽△EFC，可得AF=AE，代入即可，当点E在C左侧时，同理进行解决问题．（1）解：作AH⊥BC于H，如图1，在Rt△ABH中，AB=5，，∴BH=，∵BC=4，∴CH=1，∴AH=，在Rt△ACH中，AC=，∵AD∥BC，AD=BC=4，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠DAF=∠BAC，∴△ADF∽△ABC，∴，∴，∴AF=；（2）解：如图2，∵AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB，∵∠DAE=∠BAC，∴∠AEB=∠BAC，∵∠ABC=∠EBA，∴△BAC∽△BEA，∴，∴，∴BE=，AC=AE，∴CE=BEBC=，∵AD∥CE，∴△ADF∽△EFC，∴，∴，∴AF=•AE∴，即（0＜x＜5）；（3）解：当点E在C右侧时，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，则∠DAE=∠AEB=∠BAC=∠CAE，设CH=CG=x，则BC=3-x，在Rt△BCG中，由勾股定理得，12+x2=（3-x）2，解得x=，∴CH=，∴AC=，∵tan∠AEC=tan∠CAH=，∴AE=3AC=，EH=2AE=12，∴CE=+12=，∵AD∥CE，∴△ADF∽△EFC，∴，∴AF=AE=，当点E在C左侧时，如图，同理可得AF=AE=×，综上：AF=或．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，角平分线的性质，勾股定理等知识，运用三角函数求出CE的长是解决问题（3）的关键．8．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．(1)当点E在线段AB上时，求证：；(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3)．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理可得，，由其性质：相似三角形的对应边成比例，进行等量代换即可证明；（2）根据正切函数设，，利用勾股定理确定三边长度，根据（1）中，代入可确定y与x的函数关系式，考虑当时，，当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值；当时，，不符合题意，不进行讨论；综合即可得出自变量的取值范围；（3）分两种情况进行讨论：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，根据相似三角形的性质及角之间的关系可得，再由等腰三角形三线合一的性质得出，根据三角形等面积法即可得出，由此确定CD；当点G在AC的延长线上时，根据相似三角形的性质及三角形外角的性质可得这种情况不存在，综合两种情况即可得出结果．(1)证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；(2)解：∵，，∴，设，，∵，∴，解得：，∴，，∴，由（1）得，∴，∴，当时，，符合题意，∴；当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，∴，