北师大版七年级数学下册常考题专练专题15全等三角形模型(二)(原卷版+解析)

专题15全等三角形模型（二）题型一手拉手模型1．如图所示，，，，，，则A． B． C． D．2．如图，，都是等边三角形，则的度数是A． B． C． D．3．已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④

4．如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问：（1）求证：．（2）与的关系？并说明理由．（3）求证：平分．5．如图两个等腰直角与，，连接，交于点．证明：（1）；（2）．

6．如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点．（1）求证：．（2）求的度数．（3）求证：平分．（4）求证：．7．如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于，求证：．8．如图，，，，、交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：平分．

9．（1）问题发现如图1，已知和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数．（2）拓展探究如图2，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接；求：①的度数；②线段，，之间的数量关系，并说明理由．10．已知中，；中，；，点、、在同一直线上，与相交于点，连接．（1）如图1，当时，①请直接写出和的形状；②求证：；③请求出的度数；（2）如图2，当时，请直接写出：①的度数；②若，，线段的长．

11．以的、为边作和，且，，与相交于，．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）；（3）如图3，连接，直接写出与的数量关系是．12．已知：在和中，，．（1）如图①，若．①求证：．②求证：．（2）如图②，若，的大小为（直接写出结果，不证明）．

13．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；（2）拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为；线段与之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．

14．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有．（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系．

15．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若，，，则．（1）在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图2，，，求证：；（3）如图3，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数（用含有的式子表示）．题型二半角模型16．如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是．17．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为．18．已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点．（1）若，求证：；（2）若得周长为2，求的度数．

19．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于、．（1）当绕点旋转到时（如图，求证：．（2）当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：．（3）当绕点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20．如图，中，，，于交于点，连接．（1）如图1所示，当在内部时，求证：．（2）如图2所示，当的边、分别在外部、内部时，求证：．

21．（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：．（2）如图2：在四边形中，，，．点、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是．请你帮小王同学写出完整的证明过程．22．【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为．

23．问题背景：“半角问题”（1）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“，”换为．其它条件不变．如图1，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、、它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、、具有怎样的数量关系，并证明．

24．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．专题15全等三角形模型（二）题型一手拉手模型1．如图所示，，，，，，则A． B． C． D．【解答】解：，，，在和中，，，，，，故选：．2．如图，，都是等边三角形，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：，都是等边三角形，，，，，，，，，，的度数是，故选：．3．已知，如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④【解答】解：和均是等边三角形，，，，，，，，，故①正确；，，，，，又，是等边三角形，故②正确；过作于，于，，，，，，，，，平分，故④正确；当时，平分，则，此时，则，故③不正确；故选：．4．如图，两个正方形和，连接与，二者相交于．问：（1）求证：．（2）与的关系？并说明理由．（3）求证：平分．【解答】（1）证明：四边形和四边形是正方形，，，且，，在与中，，，（2）解：，，理由如下：由（1）得：，，，，，；（3）证明：过点作于，于，如图：，，，，，，平分．5．如图两个等腰直角与，，连接，交于点．证明：（1）；（2）．【解答】解：（1）证明：与是等腰直角三角形，，，且，，即，在与中，，，；（2）证明：设与相交于点，由（1）知，，，，，，，，．6．如图，以的边，为边，向外作等边和等边，连接，相交于点．（1）求证：．（2）求的度数．（3）求证：平分．（4）求证：．【解答】证明：（1）和是等边三角形，，，，，即，在与中，，，；（2），，，，；（3）过点作于，于，，，，，，，平分；（4）在上截取，连接，在与中，，，，，，，，即，是等边三角形，，．7．如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于，求证：．【解答】证明：，，在和中，，，，，，，．8．如图，，，，、交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：平分．【解答】解：（1），，在和中，，；（2）过点作于，于，，（全等三角形的对应高相等），平分．9．（1）问题发现如图1，已知和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数．（2）拓展探究如图2，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接；求：①的度数；②线段，，之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）和是等边三角形，，，，，，在和中，，△，，是等边三角形，，，，；（2）①同（1）的方法得，，，是等腰直角三角形，，，，；②同（1）的方法得，，，，，，在中，，，，，，．10．已知中，；中，；，点、、在同一直线上，与相交于点，连接．（1）如图1，当时，①请直接写出和的形状；②求证：；③请求出的度数；（2）如图2，当时，请直接写出：①的度数；②若，，线段的长．【解答】解：（1）①，，，和是等边三角形；②和均为等边三角形，，，，，在和中，，，，③，，又，；（2）①和均为等腰直角三角形，，，，，即，，，在和中，，，，，②，，，，，，，，，，．11．以的、为边作和，且，，与相交于，．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若、分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）；（3）如图3，连接，直接写出与的数量关系是．【解答】解：（1），，在和中，，，，，；（2）连接，由（1）可得：，，、分别是、的中点，，在和中，，，，，，，，，，，；（3）如图3，连接，过点作于，于，，，，，，又，，，，故答案为：．12．已知：在和中，，．（1）如图①，若．①求证：．②求证：．（2）如图②，若，的大小为（直接写出结果，不证明）．【解答】解：（1）①证明：，，．在和中，，，；②证明：，，，，；（2）由（1）可知：，，，，，．故答案为：．13．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；（2）拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为；线段与之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段、、之间的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）和均是顶角为的等腰三角形，，，，，，，；（2）和均是等边三角形，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（3），理由：同（1）（2）的方法得，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，．．14．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有①②③．（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系．【解答】（1）证明：，，，在和中，，；（2）如图2，和是等边三角形，，，，，在和中，，，，①正确，，记与的交点为，，，，，②正确，在上取一点，使，连接，是等边三角形，，，，，，，，③正确，连接，要使，则有，，，，，，，，而没办法判断大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长至，使，，是等边三角形，，，，，，，，，．15．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若，，，则．（1）在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图2，，，求证：；（3）如图3，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数（用含有的式子表示）．【解答】（1）证明：如图1中，，，在和中，，，．（2）证明：如图2中，延长到，使得．，，是等边三角形，，，，，，，．．（3）解：如图3中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．由（1）可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．题型二半角模型16．如图，是边长为6的等边三角形，，，以点为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连结，则的周长是12．【解答】解：是等腰三角形，且，，是边长为4的等边三角形，，，延长至，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，的周长是：．故答案为：12．17．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为6．【解答】解：是等腰三角形，且是边长为3的等边三角形延长至，使，连接，在和中，，，，，，为公共边，的周长是：．18．已知：边长为1的正方形中，、分别是、上的点．（1）若，求证：；（2）若得周长为2，求的度数．【解答】（1）证明：延长到，使，连接，，，，，．，，，，，．，，．（2）解：如图，延长到，使，连接，，，，，．，，，又，，．19．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于、．（1）当绕点旋转到时（如图，求证：．（2）当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：．（3）当绕点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：，，在与中，，，，，，，，，，，，为等边三角形，，，；（2）证明：如图，将顺时针旋转，得，，，，，，点与点重合，，，点、、三点共线，，，，，在与中，，，，；（3）解：不成立，，理由如下：如图，将顺时针旋转，得，，由（2）同理得，点、、三点共线，，，点与点重合，，，，，，，在与中，，，，．20．如图，中，，，于交于点，连接．（1）如图1所示，当在内部时，求证：．（2）如图2所示，当的边、分别在外部、内部时，求证：．【解答】证明：（1）如图，在上截取，连接，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）如图，在的延长线上截取，连接，，，，，，，，，，在和中，，，，．21．（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：．（2）如图2：在四边形中，，，．点、分别是、上的点，且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是．请你帮小王同学写出完整的证明过程．【解答】解：（1）结论：．理由如下：如图（1）中，在正方形中，，，把绕点逆时针旋转得到，，点、、共线，，在和中，，，．（2）结论：成立．理由如下：如图（2）中，因为，所以可以延长到，使得，则，，，，，，在和中，，，．22．【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为6.4．【解答】【应用】如图②中，过点作交延长线于点．四边形为正方形，，．，．，．．在和中，，．，．，，．在和中，，．．，．【拓展】如图③中，过点作交延长线于点．，，，，