北师大版七年级数学下册常考题专练专题14全等三角形模型(一)(原卷版+解析)

专题14全等三角形模型（一）题型一三垂直模型1．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．2．如图1，点是线段上一点，，，，，（1）求证：．（2）如果是如图2这个图形，、、有什么数量关系？并证明．3．如图所示，在中，，且，点为上一点，连接，过点作于点，交于点，点是上任意一点．（1）如图1，连接，若，且，求的长；（2）如图2，连接，交于点，若点恰为中点，求证，．

4．如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．（1）求证：；（2）求证：．5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．（1）求证：；（2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积．6．如图，在中，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点．（1）求证：；（2）请找出线段、、之间的数量关系，并说明理由．7．已知：中，，，过点作，且．（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；（2）如图2，当点在延长线上时，连接交的延长线于点．求证：．8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是A． B． C． D．9．如图，已知于，于，，，且为上一点，，，则A．13 B．8 C．6 D．510．如图，，，，，，，则等于A． B． C． D．11．如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放在本子上，点、、恰好都在横线上，则斜边的长度为A．10 B． C． D．12．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是A． B． C． D．7

题型二一线三等角模型13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．14．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．（1）求证：；（2）若，，求的长．15．如图，等边三角形中，放置等边三角形，且点，分别落在，上，，连结，若平分，则的长度为．

16．如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．（1）当时，，，当点从点向点运动时，逐渐变（填“大”或“小”；（2）当的值是多少时，．并说明理由；（3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由．17．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请直接写出线段、和之间的数量关系．（3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明．

18．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是度．（用含的代数式表示）19．已知：在中，，直线过点．（1）如图1，，分别过点，作直线的垂线段，，垂足分别为，．①依题意补全图1；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当时，设，作，点，在直线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系为．题型三对角互补模型20．如图，已知四边形，，，，则四边形的面积为．21．如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为．22．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④23．如图，四边形中，已知，，，若四边形的面积为，则．

24．综合与实践如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，交于点，交于点．知识初探．求证：；探究计算如图1，若，求四边形的面积；拓展探究如图2，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积是（直接写出答案，不写过程）．25．如图，，将一块足够大的三角尺的直角顶点落在的平分线上的任意一点上，使三角形的两条直角边与的两边分别相交于点，．（1）求证：；（2）若点在的反向延长线上，其他条件不变，问还成立吗？请说明理由．

26．已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．【类比探究】（1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：；（2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为．专题14全等三角形模型（一）题型一三垂直模型1．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．【解答】解：，，，，，，，在和中，，，，，．2．如图1，点是线段上一点，，，，，（1）求证：．（2）如果是如图2这个图形，、、有什么数量关系？并证明．【解答】证明：（1），，，，，，，且，，，，，；（2），理由如下：，，，，，，，且，，，，，．3．如图所示，在中，，且，点为上一点，连接，过点作于点，交于点，点是上任意一点．（1）如图1，连接，若，且，求的长；（2）如图2，连接，交于点，若点恰为中点，求证，．【解答】解：（1），，，，在和中，，，；（2）如图2，过点作，交的延长线于，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，，，．4．如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1），，又，．．在和中，，，；（2），，．在和中，，，．．平分，，．．综上，．5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．（1）求证：；（2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积．【解答】（1）证明：由题意得：，，，，，，，在和中，，；（2）解：由题意得：，，，，，的面积；答：的面积为．6．如图，在中，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点．（1）求证：；（2）请找出线段、、之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：由（1）证得，，，，，．7．已知：中，，，过点作，且．（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；（2）如图2，当点在延长线上时，连接交的延长线于点．求证：．【解答】解：（1）证明：，，，，，，在和中，，，；（2）如图2，过点作，交的延长线于，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，．8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是A． B． C． D．【解答】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，点的坐标为，点的坐标为，，，，，，，且，，，，，点，故选：．9．如图，已知于，于，，，且为上一点，，，则A．13 B．8 C．6 D．5【解答】解：，，，，在和中．．．故选：．10．如图，，，，，，，则等于A． B． C． D．【解答】解：，，，，又，且，故选：．11．如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放在本子上，点、、恰好都在横线上，则斜边的长度为A．10 B． C． D．【解答】解：过点作点所在横线于点，过点作点所在横线于点，如图所示．为等腰直角三角形，，．，，．在和中，，，，．在中，，，，，．故选：．12．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是A． B． C． D．7【解答】解：作于，作于，，又，，在中，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得；故选：．题型二一线三等角模型13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．答案:7【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA＋∠CAE＝180°－α，∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠BDA＝∠AEC,∠BAD＝∠ACE,AB＝AC))，∴△BAD≌△ACE(AAS)，∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD＋AE＝10，∴AD＝DE－AE＝DE－BD＝10－3＝7．∴CE＝7．14．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：，，在与中，，；（2）解：，，，，，．15．如图，等边三角形中，放置等边三角形，且点，分别落在，上，，连结，若平分，则的长度为2.5．【解答】解：如图，在上截取，连接，和是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，平分，，，，，，，，，．故答案为：2.5．16．如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．（1）当时，25，，当点从点向点运动时，逐渐变（填“大”或“小”；（2）当的值是多少时，．并说明理由；（3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，，，，由图形可知，逐渐变小，故答案为：；；小；（2）当时，，理由：，，，，，在和中，，；（3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形，当时，，；当时，，，此时，点与点重合，不合题意；当时，，，，综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形．17．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请直接写出线段、和之间的数量关系．（3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明．【解答】证明：（1），，，，，，在和中，，，，，；（2）结论：成立．理由：，，．在和中，，，；（3）和均为等边三角形，，，，．在和中，，，，．，，．在和中，．18．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是度．（用含的代数式表示）【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案为：．19．已知：在中，，直线过点．（1）如图1，，分别过点，作直线的垂线段，，垂足分别为，．①依题意补全图1；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当时，设，作，点，在直线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系为．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示，，之间的数量关系为．证明：，，．．，直线过点，．．又，，，．．（2）用等式表示，，之间的数量关系为，理由如下：是的一个外角，，，，在和中，，，，，．故答案为：．题型三对角互补模型20．如图，已知四边形，，，，则四边形的面积为8．【解答】解：如图，作、，交的延长线于点，，四边形为矩形，，，，在与中，，，，与的面积相等，四边形的面积正方形的面积，正方形的面积，四边形的面积，故答案为：8．21．如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为32．【解答】解：过作，交的延长线于，如图所示：，，，，，，，，，在和中，，，，的面积的面积，四边形的面积的面积，故答案为：32．22．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④【解答】解：，，，故①正确；点为的中点，，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，四边形的面积为，故④正确，⑤不正确；，和互补，故③正确；不是定长，故②不正确．正确的有：①③④，故选：．23．如图，四边形中，已知，，，若四边形的面积为，则4．【解答】将绕点顺时针旋转，得到．四边形内角和，．，、、三点共线．根据旋转性质可知度，，是等边三角形．四边形面积等于面积，等边面积，解得．故答案为4．24．综合与实践如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，交于点，交于点．知识初探．求证：；探究计算如图1，若，求四边形的面积；拓展探究如图2，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积是8（直接写出答案，不写过程）．【解答】解：知识初探证明：在正方形和正方形中，，，，，，，在和中，，，；探究计算解：在正方形中，，在中，，，由上题可知，，．拓展探究解：四边形中，，，，四边形的面积是：．故答案为：8．25．如图，，将一块足够大的三角尺的直角顶点落在的平分线上的任意一点上，使三角形的两条直角边与的两边分别相交于点，．（1）求证：；（2）若点在的反向延长线上，其他条件不变，问还成立吗？请说明理由．【解答】证明：（1）过作，交于，则，，平分，，是等腰直角三角形，，，，，，，，（2）成立，理由是：如图2，作，交于，则，同理得：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，．26．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材