内蒙古大附中版高考数一轮复习 推理与证明单元能力提升训练

内蒙古大学附中版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199【答案】C2．设a、b是两个实数，给出的下列条件中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是()①a＋b＞1②a＋b＝2③a＋b＞2④a2＋b2＞2⑤ab＞1A．②③ B．③⑤ C．③④ D．③【答案】D3．已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为()A． B． C． D．【答案】A4．下列判断错误的是()A． “”是“”的充分不必要条件B． 命题“”的否定是“”C． 若为假命题,则p,q均为假命题D． 若则=1【答案】C5．，下面使用类比推理正确的是()A．由“，则”类推出“若，则”B．由“”类推出“”C．由“”类推出“”D．由“”类推出“”【答案】C6．已知函数的定义域为R,当时,,且对任意的实数R,等式成立.若数列满足,且(N*),则的值为()A．4016B．4017C．4018D．4019【答案】B7．设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2【答案】C8．已知数列的前n项和，则下列判断正确的是()A． B．C． D．【答案】C9．下面几种推理是合情推理的是()(1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；(2）由平行四边形、梯形内角和是，归纳出所有四边形的内角和都是；(3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；(4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）【答案】C10．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数”,正确的假设为()A．都是奇数B．都是偶数C．中至少有两个偶数D．中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D11．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是()A．61 B．62 C．63 D．64【答案】A12．由…若a>b>0,m>0,则与之间大小关系为()A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．阅读材料：某同学求解的值其过程为：设，则，从而，于是，即，展开得，，，化简，得，解得，，（舍去），即．试完成以下填空：设函数对任意都有成立，则实数的值为．【答案】414．六个不同大小的数按如图形式随机排列，设第一行这个数为,,分别表示第二、三行中最大数，则满足所有排列的个数____________【答案】24015．观察下列不等式:，，，……由以上不等式推测到一个一般的结论：对于，；【答案】16．观察下列等式： …… 由以上各式推测第4个等式为。【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，eq\b\bc\|(fn(0))≤2}．证明，M＝[－2，eq\f(1,4)]．【答案】⑴如果a＜－2，则eq\b\bc\|(f1(0))＝|a|＞2，aeq\o(∈,/)M．⑵如果－2≤a≤eq\f(1,4)，由题意，f1(0)＝a，fn(0)＝(fn－1(0))2＋a，n＝2，3，……．则①当0≤a≤eq\f(1,4)时，eq\b\bc\|(fn(0))≤eq\f(1,2)，(n≥1).事实上，当n＝1时，eq\b\bc\|(f1(0))＝|a|≤eq\f(1,2)，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数），则对n＝k，eq\b\bc\|(fk(0))≤eq\b\bc\|(fk－1(0))\s\up6(2)＋a≤(eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)．②当－2≤a＜0时，eq\b\bc\|(fn(0))≤|a|，(n≥1)．事实上，当n＝1时，eq\b\bc\|(f1(0))≤|a|，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数)，则对n＝k，有－|a|＝a≤eq\b\bc\((fk－1(0))\s\up6(2)＋a≤a2＋a注意到当－2≤a＜0时，总有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．从而有eq\b\bc\|(fk(0))≤|a|．由归纳法，推出[－2，eq\f(1,4)]M．⑶当a＞eq\f(1,4)时，记an＝fn(0)，则对于任意n≥1，an＞a＞eq\f(1,4)且an＋1＝fn＋1(0)＝f(fn(0))＝f(an)＝aeq\o(\s\do4(n),\s\up11(2))＋a．对于任意n≥1，an＋1－an＝aeq\o(\s\do4(n),\s\up11(2))－an＋a＝(an－eq\f(1,2))2＋a－eq\f(1,4)≥a－eq\f(1,4)．则an＋1－an≥a－eq\f(1,4)．所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a－eq\f(1,4))．当n＞eq\f(2－a,a－\f(1,4))时，an＋1＞n(a－eq\f(1,4))＋a＞2－a＋a＝2，即fn＋1(0)＞2．因此aeq\o(∈,/)M．综合⑴，⑵，⑶，我们有M＝[－2，eq\f(1,4)]18．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有可见可以表示为的三次多项式。一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式.(I）求证：；(II）请求出，即用一个的四次多项式来表示；(III)利用结论，求出的值.【答案（I）证法一：(II）(III），，19．已知四边形ABCD是圆内接四边形，直线AC,BD相交于P点，并且EQ\F(AB,AD)＝EQ\F(CB,CD)．设E为AC的中点.求证：EQ\F(EB,ED)＝EQ\F(PB,PD)．【答案】由托勒密定理，得AB×CD＋AD×BC＝AC×BD.因为AB×CD＝AD×BC，AE＝EC，所以有2AB×CD＝2AE×BD＝2EC×BD，即有AB×CD＝AE×BD＝EC×BD.在△CED与△BAD中，因为∠ABD＝∠ECD，AB×CD＝EC×BD，故△CED∽△BAD，从而有∠CED＝∠BAD.同理可得△ABE∽△DBC，∠AEB＝∠DCB.于是得到∠AEB＝∠DCB＝180°－∠BAD＝180°－∠CED＝∠AED，此即EP平分∠BED.因此由角平分线定理，得EQ\F(BP,PD)＝EQ\F(BE,ED)．EQ\F(AB,AD)EQ\F(CB,CD)20．求证：．【答案】由于，，故只需证明．只需证，即．只需证．因为显然成立，所以．21．已知，且，.求证：对于，有.【答案】，；，；在上为增函数，在上为减函数，，又，在R上为减函数，且，从而22