沪教版九年级上册数学专题训练专题20旋转相似解题方法专练(原卷版+解析)

专题20旋转相似解题方法专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．个 B．个 C．个 D．个第II卷（非选择题）二、解答题2．在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．

（观察猜想）（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．3．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．4．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．（1）如图1摆放，当点在上，点在上，得知，，求的长．（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的面积．（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点旋转，连结、，当时，求的值．（4）不变，当的三边长扩大一倍后，绕点旋转一周，直线与交于点，请你直接写出点所经过的运动路径．5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时，的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H.若CD＝2＋，求BD的长．6．如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．7．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．8．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．9．如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，如果，且，求的值；（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．10．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．绕点C顺时针旋转，设旋转角为（，记直线与直线的交点为点P．（1）如图1，当时，与的数量关系为_________，与的位置关系为_______；（2）当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线距离的最大值．11．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．12．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．（1）①求证：；②若，求的长；（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）13．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．14．（1）观察猜想：如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．（2）类比探究：如图3，当，时，请求出的值及的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．15．在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且．（1）求的值．（2）求证：．（3）作射线与射线交于点，若，，求的长．16．如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）17．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．18．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．①的值为_________；②直线与直线的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．19．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E．（1）如图1，求证：CO⊥AB；（2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE；（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．20．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：①________；②与的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．21．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）22．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．23．如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过作交于，连接．（1）求证：；（2）如图2，，为中点，，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积．24．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．（1）如图1，若∠B＝45°，则＝；（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝；（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是，数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．27．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．（1）问题发现在图（1）中，_________；（2）拓展探究将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．28．如图1，若点P是△ABC内一点，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，则称点P是△ABC的“等角点”（1）如图1，∠ABC=70°，则∠APB=（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC的“等角点”，若∠BAC=45°①求的值；②求tan∠PBC的值；29．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．30．发现规律：（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值31．在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由．32．问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．33．如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．34．将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，如图1，当时，的形状为，连接，可求出的值为；

当且时，①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

35．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；(2)求当点E在线段AF上时CD的长；(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．36．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．（1）当点E与点C重合时．①如图1，若AD＝BD，求BF的长．②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．37．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；（3）若，，求DN的长．38．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长39．几何探究：（问题发现）（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；（拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．40．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1．(n≥2，且n为正整数)．（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．41．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．42．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；②若BD=7，AE=，求DF的长；（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．43．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．(1)求证：△AED∽△DGB；(2)求证：EF是⊙O的切线；(3)若，OA＝4，求劣弧的长度(结果保留π)．45．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．（1）若△ACD的面积为16．①求抛物线解析式；②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．三、填空题46．如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．

47．如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．48．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．49．已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________．50．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为______．专题20旋转相似解题方法专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（）A．个 B．个 C．个 D．个第II卷（非选择题）二、解答题2．在和中，，，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且．

（观察猜想）（1）如图①，当时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积．3．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．4．数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．（1）如图1摆放，当点在上，点在上，得知，，求的长．（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的面积．（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点旋转，连结、，当时，求的值．（4）不变，当的三边长扩大一倍后，绕点旋转一周，直线与交于点，请你直接写出点所经过的运动路径．5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时，的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H.若CD＝2＋，求BD的长．6．如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．7．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．8．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为；（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．9．如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，如果，且，求的值；（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．10．如图1，在中，，，，点D，E分别为，的中点．绕点C顺时针旋转，设旋转角为（，记直线与直线的交点为点P．（1）如图1，当时，与的数量关系为_________，与的位置关系为_______；（2）当时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线距离的最大值．11．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．（1）求证：；（2）求的度数及的长；（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．12．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．（1）①求证：；②若，求的长；（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）13．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．14．（1）观察猜想：如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．（2）类比探究：如图3，当，时，请求出的值及的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．15．在矩形中，，点为的中点，点为对角线的中点，点、分别在边、上，且．（1）求的值．（2）求证：．（3）作射线与射线交于点，若，，求的长．16．如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）17．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．18．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．①的值为_________；②直线与直线的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．19．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E．（1）如图1，求证：CO⊥AB；（2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE；（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．20．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：①________；②与的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．21．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）22．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．23．如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过作交于，连接．（1）求证：；（2）如图2，，为中点，，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积．24．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．（1）如图1，若∠B＝45°，则＝；（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝；（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是，数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．27．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．（1）问题发现在图（1）中，_________；（2）拓展探究将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．28．如图1，若点P是△ABC内一点，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，则称点P是△ABC的“等角点”（1）如图1，∠ABC=70°，则∠APB=（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC的“等角点”，若∠BAC=45°①求的值；②求tan∠PBC的值；29．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．30．发现规律：（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数应用结论：（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值31．在中，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．（1）如图1，当旋转角为时，连接与交于点，则．（2）如图2，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线所在直线交于点，那么的长有没有最大值?如果有，求出的最大值：如果没有，请说明理由．32．问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．33．如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．34．将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，如图1，当时，的形状为，连接，可求出的值为；

当且时，①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

35．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；(2)求当点E在线段AF上时CD的长；(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．36．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．（1）当点E与点C重合时．①如图1，若AD＝BD，求BF的长．②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．37．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；（3）若，，求DN的长．38．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长39．几何探究：（问题发现）（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；（拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1:2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．40．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1．(n≥2，且n为正整数)．（1）求证：∠CAE+∠CDE=90°；（2）①如图2，当CD过圆心O时，①将△ACD绕点A顺时针旋转得△AEF，连接DF，请补全图形，猜想CD、DE、DF之间的数量关系，并证明你的猜想；②若n=3，求AD的长．41．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．42．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；②若BD=7，AE=，求DF的长；（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．43．（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．44．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．(1)求证：△AED∽△DGB；(2)求证：EF是⊙O的切线；(3)若，OA＝4，求劣弧的长度(结果保留π)．45．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．（1）若△ACD的面积为16．①求抛物线解析式；②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．三、填空题46．如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．

47．如图，正方形的边长为8，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边的中点，当线段的长最小时，______．48．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．49．已知正方形的边长为12，、分别在边、上，将沿折叠，使得点落在正方形内部（不含边界）的点处，的延长线交于点．若点在正方形的对称轴上，且满足，则折痕的长为______________．50．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点，，，，，则DH的长为______．参考答案1．D分析：①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正确②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正确③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正确④由②知又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一条对角线上∴DG⊥AC∴④正确故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．2．（1），；（2）不成立，理由见解析；（3）2分析：（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题；【详解】（1）如图①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，

∴△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠EAC，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，

∵∠ACE+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE=90°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，

∵EA=DE，BD=EC，

∴EA2=BE2+EC2．

故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．

（2）结论：EA2=EC2+2BE2．

理由：如图②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，

∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠DAB=∠EAC，

∵=，=，

∴，

∴△DAB∽△EAC，

∴=，∠ACE=∠ABD，

∵∠ACE+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE=90°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，

∵EA=DE，BD=EC，

∴EA2=EC2+BE2，

∴EA2=EC2+2BE2．

（3）如图③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共线，

∴∠AEC=135°，

∵△ADB∽△AEC，

∴∠ADB=∠AEC=135°，

∵∠ADE=∠DBE=90°，

∴∠BDE=∠BED=45°，

∴BD=BE，

∴DE=BD，

∵EC=BD，

∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，

在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，

∴AC=2，

在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，

∴x2+4x2=40，

∴x=2（负根已经舍弃），

∴AD=DE=2，

∴BD=BE=2，

∴S△BDE=×2×2=2．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）见解析；（2）当时，，理由见解析；（3）．分析：（1）由正方形的性质得出，，，，得出，则可证明，从而可得出结论；（2）由菱形的性质得出，，则可证明，由全等三角形的性质可得出结论；（3）设与交于Q，与交于点P，证明，得出，得出，连接，，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）∵四边形为正方形，∴，，又∵四边形为正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）当时，，理由如下：∵，∴∴，又∵四边形和四边形均为菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）设与交于Q，与交于点P，由题意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，连接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．4．（1）；（2）；（3）或；（4）．分析：（1）根据题意算出的长，利用直角三角形心中对应的边等于斜边的一半求出，同理求出，再作差即可；（2）过点作于点，求出、AC即可求出；（3）延长AM，BC交于点D，作延长BN使得，利用旋转相似证明，得，再三角形中通过角之间的关系来证明，得四边形是矩形，再根据条件及勾股定理求解；（4）确定的轨迹是以为直径的圆弧，，求出最大值为，由此得出路径所对圆心角为120°，从而求解．【详解】解：（1）∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）过点作于点，∵，，，∴，.，即的面积．（3）I．若点M在外，延长BN交AM于点H，交AC于点G，由（1）得中，，，，在中，，，，∵，，∴，∴，又∵，，∴∴，又∵，，，又∵，，∴四边形是矩形，∴，，，∴在中，，∴∴；II．若点M在内部，则如图3-2：同理可求：∴，，∴∴；（4）不变，当的三边长扩大一倍后，∴在中，，，，同（3）理可证明，∴直线与交点所经过的运动路径是以为直径的圆弧，当M点在AC右侧时，如图4-1：当CM⊥AM时最大，此时，∴当CM⊥AM时，此时AM与AB重合，B点与H点重合；当M点在AC左侧时，如图4-2：当CM⊥AM时，最大，此时，∴当CM⊥AM时，此时；故如图所示：直线与交点所经过的运动路径为，弧长．【点睛】本题考查了含的直角三角形性质、旋转相似、点的远动路径等知识点，综合性强，题目较难，解题的关键是：能利用勾股定理及锐角三角函数知识解直角三角形；针对旋转问题，要添加适当地辅助线．5．（1）1，60；（2），直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝．分析：（1）根据α＝60°时，△ABC是等边三角形，再证明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直线CD与AP所成的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA∽△DBC，再得到=，再根据相似三角形的性质求出直线CD与AP所成的度数；（3）延长CA，BD相交于点K，根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD＝∠KCD，由（2）的结论求出AP的长，再利用在Rt△PBD中，设PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的长．【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=CB∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，∴△BDP是等边三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案为：1，60；（2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.即＝，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°.(3)延长CA，BD相交于点K，如图.∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵点E，F为AB，AC的中点，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，

∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法．6．（1）；（2）证明见解析；（3）．分析：（1）由旋转性质易证，从而可得，，再求的CE边高即可；（2）通过倍长中线构造，得，由即可证明；（3）利用费马点模型构造图形，过点G作，且，过点G作，且，可得，，将问题由转化为两点之间距离最短即可解答．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∵若三点共线，∴，如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，∴，∴，即：点B到直线的距离为；（2）延长CF到N，使FN=CF，连接BN，∵FD=FB，，∴（SAS）∴，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，又∵，∴，∴，即，（3）的最小值为；过程如下：如解图3，过点G作，且，过点G作，且，连接OC、、，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，仅当C、O、、在同一条直线上等号成立；如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形旋转全等和旋转相似的综合、解三角形等知识点，解（2）关键是倍长中线构造三角形全等证明；解（3）关键是掌握费马点求最值模型，利用旋转转化线段关系．7．（1）；（2）；理由见解析；（3）4．分析：（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，∴A，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案为：；（2）变式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解决问题：连接、，如图所示:∵四边形是正方形，∴，，∵是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的边长为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．8．（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．分析：（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中点，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BM-HM=HB，∴BM−DN=BC．故答案为：BM−DN=BC；（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四边形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，

∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，设EF=a，则FM=7a，∴，∴．∴EF的长为．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．9．（1）证明见解析；（2）；（3），或，．分析：（1）由题意：，根据三角形外内角性质和三角形内角和可得，由此即可解决问题．（2）延长交于点．证明，可得，，由，可得．（3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，，，，平分，平分的，，，，，，．（2）解：延长交于点．，，又∵，，，，，，．（3）与相似，，中必有一个内角为是锐角，．①当时，，，，，，如图，过B点作BH⊥AE，∵，AD平分∠BAC，∴∠BAH=45°，∴AH=BH，，∵，∴，∴，∵，∴．②当时，即时，，，，如解图（3）-2；过B点作BH⊥AE，，分别是的内角的平分线，∴，∴BD=AD，又∵，∴，，∴，∴，∴，∴在中，∴综上所述，，或，．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．（1）；（2）依然成立，证明见解析；（3）．分析：（1）分别求出AD，BE的长，即可求解；

（2）通过证明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得结论；

（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值．【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，

∵点D，E分别为AC，BC的中点，

∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，

∴AD=BE，

故答案为：AD=BE，AD⊥BE；

（2）结论仍然成立，

理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，

∴，，

∴，

∵△CDE绕点C顺时针旋转，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴，∠CBO=∠CAD，

∴AD=BE，

∵∠CBO+∠BOC=90°，

∴∠CAD+∠AOP=90°，

∴∠APO=90°，

∴BE⊥AD；

（3）∵∠APB=90°，

∴点P在以AB为直径的圆上，

如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，

∵BE是⊙C切线，

∴CE⊥BE，

∵sin∠EBC=，

∴∠EBC=30°，

∴∠GBP=30°，

∵GB=GP，

∴∠GBP=∠GPB=30°，

∴∠BGP=120°，

∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，

∴P点运动轨迹的长度=，

∵∠ABP=30°，BP⊥AP，

∴AP=AB=1，BP=AP=，

∵∠CBP=30°，PH⊥BH，

∴PH=BP=．

∴P点到直线BC距离的最大值．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．11．（1）见解析；（2）60°，12；（3）分析：（1）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可证明△ADC≌△ABE；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADP=∠ABP，设AB，PD交于O，根据三角形的内角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取点F，使∠PCF=60°，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；（3）过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，根据等边三角形的性质得到AQ=2x，AG=x，AB=x，证明△ABE∽△AQR，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC与△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，设AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．（1）①见解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．分析：（1）①先利用平行线分线段成比例定理得，进而得出结论；②利用①得出的比例式求出CE，再判断出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出结论；【详解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋转知，∠EAC=∠DAB，

∴△ABD∽△ACE，

②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=2，

在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，

∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，

∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，

在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，

∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解本题的关键是得出∠DCE=90°和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法应用．13．（1）BE＝DF；（2）不成立，结论：DF＝nBE；理由见解析（3）或分析：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：（1）结论：BE=DF，BE⊥DF，理由：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，AE=AB，AF=AD，∴AE=AF，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，故答案为：BE=DF；（2）结论不成立，结论：DF=nBE，∵AE=AB，AF=AD，AD=nAB，∴AF=nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE=AD∶AB，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，∴DF=nBE；（3）如图4-1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=AB=4，∴BE==，∵△ABE∽△ADF，∴=，∴=，∴DF=，∵四边形AEPF是矩形，∴AE=PF=4，∴PD=DF-PF=；如图4-2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF=，PF=AE=4，∴PD=DF＋PF=，综上所述，满足条件的PD的值为或．【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题，是一道较难的几何综合题．14．（1），45°；（2），30°；（3）2分析：（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°；

（2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°；

（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD=DM=2．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，∴，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴∆BAD~∆CAE，∴，∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=45°，故答案是：，45°；（2）∵∠ACB=∠AED=90