苏科版八年级数学上册讲练第1章全等三角形章末复习培优卷(原卷版+解析)

第1章全等三角形章末复习培优卷注意事项：本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．下列命题中，假命题是（）A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等2．如图所示，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，BD＝BD，由以上三个条件可以证明BAD≌BCD的理由是（

）．A．SAS B．ASA C．AAS D．HL3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（

）A．75° B．65°C．40° D．30°4．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（

）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，则△BCF的面积为（

）A．9 B．6 C．4.5 D．36．如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是（

）A． B． C． D．7．如图，，，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．8．如图，△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，AD=BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP全等时，v=（

）A．3 B．4 C．2或4 D．2或39．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（）A．2 B．1 C．1.4 D．1.610．如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，若△ABC≌△DFE，则需添加的条件是________．（填一个即可）12．如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则A，B两点间的距离为_______．13．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则的度数为_____°．14．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为_________．15．如图，、两点分别位于一座假山的两端，小明想用绳子测量、两点间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使．连接并测量出它的长度为8米，则、两点间的距离为______米．16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝_____．17．如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为___________．18．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）三、解答题（9小题，共70分）19．如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．20．沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．21．如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．(1)求证：ΔCDF≌ΔDEG；(2)求∠EHF的大小．22．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．(1)求证：≌；(2)若，，试求DE的长．23．如图，△ABC中，点D在BC边上．(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．24．如图1，为了测河两岸AD两点的距离，小明绘制了如图1的草图．因操作不当，他不小心打翻了墨水瓶．请你利用尺规，重新在图2画该草图，在△ABD的下方作∠BDC=∠DBA，在射线DC上截取DC=BA，连接BC．已知BC=5，求河岸距离．25．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由．解：因为AE∥CF（已知），所以∠AED＝（两直线平行，内错角相等）．因为BE＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（），即BF＝DE．在△ADE与△CBF中，所以△ADE≌△CBF（）．得∠ADE＝∠CBF（）．所以AD∥BC（）．26．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE的度数为_______；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，时，请你探究写出α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．（不需证明）27．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．28．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．第1章全等三角形章末复习培优卷注意事项：本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．下列命题中，假命题是（）A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等【答案】B【解析】【详解】根据全等三角形的判定定理对各选项分析论证得出正确选项．【解答】解：A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题．B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题．C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题．D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题．故选：B．【点评】此题考查的是全等三角形的判定，关键是每个选项是否符合全等三角形的判定定理．2．如图所示，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，BD＝BD，由以上三个条件可以证明BAD≌BCD的理由是（

）．A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】D【解析】【分析】由于∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，题中还有公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，BD＝BD，∴△BAD≌△BCD(HL)．故选：D【点睛】本题需注意：当两个三角形有公共边时，公共边是常用的条件之一．3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（

）A．75° B．65°C．40° D．30°【答案】B【解析】【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．【详解】解：∵△ABC≌△DCB，∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．4．“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知的周长为，．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据BF=EC以及边与边的关系即可得出BC=EF，再结合∠B=∠E、AB=DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF=C△ABC=24cm，结合图形以及CF=3cm即可得出制成整个风筝框架所需这种材料的总长度．【详解】解：∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴C△DEF=C△ABC=24cm．∵CF=3cm，∴制成整个风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45cm．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理.5．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，则△BCF的面积为（

）A．9 B．6 C．4.5 D．3【答案】B【解析】【分析】由题意，先求出，然后证明，即可求出△BCF的面积．【详解】解：根据题意，∵△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，∴，∵CD为AB边上的中线，∴，AD=BD，∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△ADE≌△BDF，∴，∴；故选：B【点睛】本题考查了三角形的中线问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出三角形的面积．6．如图，△ABC的面积为1，AP垂直于∠ACB的平分线CP于点P，则△BPC的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】延长AP交BC于E，先证△ACP≌△ECP（ASA），得S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，证出S△APB＝S△PBE，再得出S△BPC＝S△ABC，进而得出结论．【详解】解：延长AP交BC于点E，如图所示：∵AP垂直∠ACB的平分线CP于P，∴∠ACP＝∠ECP，∠APC＝∠EPC＝90°，在△ACP和△ECP中，∴△ACP≌△ECP（ASA），∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，∴△APB和△BPE等底同高，∴S△APB＝S△PBE，∴S△BPC＝S△PBE＋S△PCE＝（S△ABE+S△ACE）＝S△ABC＝，故答案选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积及等积变换等知识；证出△BPC的面积和△ABC面积之间的数量关系是解题的关键．7．如图，，，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由可证得，继而证明，由全等三角形对应角相等得到，最后由三角形的外角性质解答即可．【详解】解：，，，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8．如图，△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，AD=BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP全等时，v=（

）A．3 B．4 C．2或4 D．2或3【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12cm，BP=CQ，得出，解出即可．【详解】解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD，∴BD=12cm，∠B=∠C，情况一：若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，∵点P的运动速度为2cm/s，∴点P的运动时间为：8÷2=4（s），∴v=CQ÷4=12÷4=3cm/s；情况二：②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，得出，解得：解出即可．因此v的值为：2或3，故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的性质．分类讨论是解题的关键．9．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（）A．2 B．1 C．1.4 D．1.6【答案】B【解析】【分析】过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF=AE，CF=BE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF=DE，最后根据线段的和差即可求解．【详解】解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，∴∠AFC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFC=∠AED=∠AEB=90°，在△AFC和△AEB中，，∴△AFC≌△AEB（AAS），∴AF=AE，CF=BE，在Rt△AFD和Rt△AED中，，∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），∴DF=DE，∵CF=CD+DF，BE=BD-DE，CF=BE，∴CD+DF=BD-DE，∴2DE=BD-CD，∵BD=6，CD=4，∴2DE=2，∴DE=1，故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据AAS证明△AFC≌△AEB及根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED是解题的关键．10．如图，在中，，D，E是BC上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确结论的字号是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】【分析】根据题意可证明，可判断①，根据全等三角形的性质得，，，从而可证，根据全等三角形的性质得，，可判断②，若，，等量代换即可求出，可判断③，在中，根据三角形三边关系得，等量代换即可判断④．【详解】解：∵，，，，，∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，即，，，在与中，，，故①正确；，，，，在与中，，，，故②正确；若，，，，故③正确；，，故④错误．故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，若△ABC≌△DFE，则需添加的条件是________．（填一个即可）【答案】∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC【解析】【分析】先根据已知条件推得∠B＝∠F，加上AB＝DF，要证△ABC≌△DFE，只需要根据全等三角形的判定方法添加适当的角和边即可．【详解】解：∵AB∥DF，∴，添加∠A＝∠D，在和中，∴；添加∠ACB＝∠DEF，在和中，∴；添加AC∥DE，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，在和中，∴；添加BC＝FE，在和中，∴；添加BE＝FC，∵BE＝FC，∴，∴，在和中，∴，综上可得，添加∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC都可得到△ABC≌△DFE．故答案为：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12．如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则A，B两点间的距离为_______．【答案】100【解析】【分析】由，，可得，从而可得，得出，根据，则，两点间的距离即可求解．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴在与中，，∴，∴，∵，∴，两点间的距离为100．故答案为：100．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是判定与全等．13．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则的度数为_____°．【答案】135【解析】【分析】首先利用SAS判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠2+∠3=90°．【详解】解：∵在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°，故答案为：135．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．14．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则△BCD的面积为_________．【答案】2【解析】【分析】如图，作垂直于的延长线，垂足为，可知，可证，有，进而可知．【详解】解：如图，作垂直于的延长线，垂足为∵，∴在和中∵∴∴∴故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质．解题的关键在于证明三角形全等．15．如图，、两点分别位于一座假山的两端，小明想用绳子测量、两点间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使．连接并测量出它的长度为8米，则、两点间的距离为______米．【答案】8【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：在△CDE和△CAB中，，∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE=AB=8m，故答案为：8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于点O，过点O作FO⊥BD交AB于点F，连FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），则∠AFD＝_____．【答案】45°＋α【解析】【分析】延长FO交BC于H，连接DH，证明△FBO≌△HBO（ASA），推出BD垂直平分FH，得到∠AFD=∠DHC，根据四边形内角和推出∠BFO=∠ADO=∠BHO，得到∠CDO=∠CHO，由此证明△OCD≌△OCH，得到CD=CH，利用三角形内角和求出∠CHD，即可得到∠AFD的度数．【详解】解：如图，延长FO交BC于H，连接DH，∵∠BAC−∠ACB＝α，∴∠ACB＝90°−α，∵FO⊥BD，∴∠BOF=∠BOH＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠FBO=∠HBO，∵OB=OB，∴△FBO≌△HBO（ASA），∴∠BFO=∠BHO，OF=OH，∴BD垂直平分FH，∴DF=DH，∴∠DFH=∠DHF，∴∠AFD=∠DHC，∵∠BAC＝90°，∠FOD＝90°，∴∠AFO+∠ADO＝180°，∴∠BFO=∠ADO=∠BHO，∴∠CDO=∠CHO，∵CO平分∠ACB，∴∠DCO＝∠HCO，∵OC=OC，∴△OCD≌△OCH（AAS），∴CD=CH，∴∠CDH=∠CHD=（180°-∠ACB）=45°+α，∴∠AFD＝∠CHD＝45°＋α，故答案为：45°＋α．【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理、四边形内角和定理、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理．17．如图，已知，，，B、D、E三点在一条直线上．若，，则的度数为___________．【答案】25°【解析】【分析】先证明△ABD≌△ACE（SAS）；再利用全等三角形的性质：对应角相等，求得∠ABD＝∠2＝30°；最后根据三角形外角的性质求∠1即可．【详解】∵，∴∠1＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，∴∠1＝∠CAE；在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠2＝30°；∵∠1＝∠3－∠ABD＝55°－30°＝25°（三角形的外角性质）∴∠1＝25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质；将所求的角与已知角通过全等及内角、外角之间的关系联系起来是解答此题的关键．18．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.三、解答题（9小题，共70分）19．如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE．求证：FC//AB．【答案】见解析【解析】【分析】由DE=FE，AE=CE，易证得△ADE≌△CFE，即可得∠A=∠ECF，则可证得FCAB．【详解】证明：在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，∴FC//AB．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．【答案】见解析【解析】【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行求解即可．【详解】解：如图所示，即为所求；【点睛】本题主要考查了考查了全等图形的概念，熟知相关概念是解题的关键．21．如图，已知五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，点F、G分别在边BC、CD上，且FC=GD．(1)求证：ΔCDF≌ΔDEG；(2)求∠EHF的大小．【答案】(1)见解析(2)108°【解析】【分析】（1）由五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等知CD＝DE，∠FCD＝∠GDE，再结合FC＝GD，利用“SAS”即可证明△CDF≌△DEG；（2）由△CDF≌△DEG知∠FDC＝∠GED，据此得∠EHF＝∠GED+∠HDE＝∠FDC+∠HDE＝∠CDE，从而得出答案．(1)证明：在ΔCDF与ΔDEG中∵五边形ABCDE的各边都相等，各内角也都相等，∴CD=DE，∠FCD=∠GDE又∵FC=GD在△CDF和△DEG中，，∴ΔCDF≌ΔDEG（SAS）；(2)解：∵ΔCDF≌ΔDEG；∴∠FDC=∠GED∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE=∠CDE=【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正多边形的性质和全等三角形的判定与性质．22．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．(1)求证：≌；(2)若，，试求DE的长．【答案】(1)见解析；(2)；【解析】【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；(1)证明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD，∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；(2)解：由（1）结论可得DE=DF，∵EF=AE-AF=15-8=7，∴DE=；【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．23．如图，△ABC中，点D在BC边上．(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．（2）利用平行线的性质求解即可．(1)如图，点E即为所求．(2)∠A＝65°，由作图可知，DE//AB，【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键．24．如图1，为了测河两岸AD两点的距离，小明绘制了如图1的草图．因操作不当，他不小心打翻了墨水瓶．请你利用尺规，重新在图2画该草图，在△ABD的下方作∠BDC=∠DBA，在射线DC上截取DC=BA，连接BC．已知BC=5，求河岸距离．【答案】作图见解析；河岸距离为5．【解析】【分析】先利用尺规在的下方作，再在射线上截取，连接即可画出该草图，然后根据三角形全等的判定定理证出，最后根据全等三角形的性质即可得．【详解】解：由题意，画出该草图如下：在和中，，，，答：河岸距离为5．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．25．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由．解：因为AE∥CF（已知），所以∠AED＝（两直线平行，内错角相等）．因为BE＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（），即BF＝DE．在△ADE与△CBF中，所以△ADE≌△CBF（）．得∠ADE＝∠CBF（）．所以AD∥BC（）．【答案】∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠AED＝∠CFB，根据线段间的和差关系求出BF＝DE，利用SAS证明△ADE≌△CBF，得出∠ADE＝∠CBF，根据平行线的判定定理判断出AD∥BC即可得出结论．【详解】证明：因为AE∥CF（已知），所以∠AED＝∠CFB（两直线平行，内错角相等），因为BE＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（等式的性质），即BF＝DE．在△ADE与△CBF中，，所以△ADE≌△CBF（SAS），得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故答案为：∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．26．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE的度数为_______；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，时，请你探究写出α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．（不需证明）【答案】(1)90°(2)①，过程见解析②【解析】【分析】对于（1），先说明∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可得答案；对于（2），都是根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，得出角之间的关系，进而得出结论．(1)∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE．∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90°．故答案为：90°；(2)①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠B+∠ACB=∠DCE=．∵+∠B+∠ACB=180°，∴；②．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠DCE+∠ACB，∴∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB，∴∠BAC=∠DCE，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活的选择判定定理是解题的关键．27．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接