初中数学图形相似解答题训练含答案

初中数学图形相似解答题专题训练含答案

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一、解答题(共15题)

1、如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点。重合，在其绕

y=—x2

原点。旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线2相交于点A.6(点/在

点B的左侧).

4

(1)如图1,若点/、B的横坐标分别为-3、3,求线段AB中点P的坐标；

(2)如图2,若点8的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；

(3)如图3,若线段AB中点P的坐标为(无用，求y关于x的函数解析式;

(4)若线段AB中点P的纵坐标为6,求线段AB的长.

图1图2图3

BD=-BC

2、在“比中，NMC=90。，须=公，点Z)在边BC上,3,将线段DB绕点

。顺时针旋转至DE,记旋转角为连接BE,CE,以庭为斜边在其一侧制作等腰直

角三角形CSF.连接AF.

(1)如图1,当&=180。时，请直接写出线段融与线段物的数量关系;

(2)当0°<a<180。时,

①如图2,(1)中线段〃'与线段班的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,当5,E,尸三点共线时，连接AE,判断四边形丝理的形状，并说明理

由.

3、如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AC,BD交于点E,过点E作MN〃AD,

分别交AB,CD于点M,N.

(1)求证：△AME-AABC；

1_11

=+

(2)求证：MEADBC;

(3)若AD=5,BC=7,求MN的长.

些-坐-三坐迫

4、如图，通=的=1,试求而和记的值.

5、已知2x+y2,求r的值.

6、已知x：y=3：5,y：z=2：3,求助一卢》的值.

7、如图，AC是正方形ABCD的对角线,BE,±AC,EE_LAB,FIE2±AC,E2F2±AB,F2E3±AC.

(1)求AE：,：AB的值.

⑵作ESF3_LAB,F3E4±AC,…,Fn-iE„±AC,

求A&：AB的值.

abc

8、已知a+b+c=60,且345,求a、b、c的值.

9、已知：如图，1,//12//13,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的

长.

10、如图，ZXABC中,DE//BC,EF//AB.求证:AADE^AEFC.

11、如图，,dir,CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点麻.从建筑物/张

的顶点*测得,点的俯角为45°,从建筑物8的顶点C测得,点的俯角为75°,测得建

筑物/哥的顶点d的俯角为30°.若已知建筑物上哥的高度为20米，求两建筑物顶点/、C之

间的距离（结果精确到工跄，参考数据：W，=L414,君阳1加）

12、我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,使AP>PB,点P把线段AB分

AP_BPPA

成两条线段AP和BP,且而一品，点P就是线段AB的黄金分割点，此时AB的值为

（填一个实数）：

如图，RtaABC中，ZB=90°,AB=2BC,现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D,再

以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E.

求证:点E是线段AB的黄金分割点

13、如图F为平行四边形ABCD的AD延长线上一点,BF分别交CD、AC于G、E,若“32.GE8,

求BE。

14、如图，四边形48⑦和四边形瓯火相似，求N。、/£的大小和阴的长度.

15、北京国际数学家大会的会标如图2716所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小

正方形拼成的一个大正方形.

(1)试说明大正方形与小正方形是否相似？

(2)若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和是5,求大正方形与小正方形的相

似比.

=======■——二二二^^二=========二=

一、解答题

_597317

1、(1)(-6,36)；(2)(2,7)；(3)y=—+2；(4)4而

【分析】

4

(1)根据点A、5的横坐标分别为-3、3,可以先求的点A和5的坐标，平行线分

线段成比例定理可以得到SC=ED,然后即可得到点F的坐标；

(2)根据点5的横坐标为4，可以求得点5的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，

可以求得点A的坐标，再根据(1)求中点坐标的方法可以求得点尸的坐标；

(3)根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点5的坐标与点P坐标的关系，从

而可以得到》与x的关系；

(4)将夕=6代入(3)中的函数关系式，可以求得点P的横坐标的平方，然后根据勾

股定理可以得到。尸的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段

4的长.

【详解】

y=-x2—4

解：（1）・・•点A、B在抛物线,2上，点A、B的横坐标分别为-3、3,

1/q、21n9

、［/2u-+J=不x(-3)=-x9=—

:当五二一3时，222,

当3时，,2'3，299,

（-3—）,48、

即点A的坐标为'50点B的坐标为k3,9?,

作/C_Lx轴于点C,作m_Lx轴于点D,作用_Lx轴于点E,如图1所示,

■:点尸为线段期的中点，

PA=PB,

由平行线分线段成比例，可得SC=ED,

设点P的坐标为（P）,

4

…r-(-3)=--x

则3

“4)5

X=--------=

26,

98

2+9_97

同理可得，7厂-拓，

点尸的坐标为(-石，N；

y=—X2

(2)•••点5在抛物线2上，点5的横坐标为4,

y==8

.1点E的纵坐标为：2,

・・•点B的坐标为《,8),

•.8=4,DB=8,

作A7_Lx轴于点C,作此〃轴于点D,如图2所示,

图2

QZAOB=90°,ZACO=90°,Z.ODB=90°,

..ZAOC+ZBOD=90°,ZBOD+^OBD=90Q,^ACO^ZODB,

ZAOC=ZOBD9

MOOyy/^OBD,

AC_CO

：.OD=^B,

设点A的坐标为©*),

AC=-a2

2

-1a2

2___<£

48,

解得生=°（舍去），的=-1

:点A的坐标为('-1'21),

8+1

-1+4_3

_2=£

■中卢F的横坐标为：丁二5,纵坐标为

I/、、、24,

初中点尸的坐标为G,彳）；

二.线段

(3)作』CJ_x轴于点C,作轴于点D,如图所示,

由(2)知，LAOC^hJDBD,

AC_CO

：.OD=~DB,

1

设点A的坐标为5（a-2a，}，点5的坐标为（‘b’2'

1/

——5

2,

解得，ab=-49

・・•点F(XJ)是线段力8的中点，

x-"+&=/+亍'=〃=(。+匕)，-2曲

2,y24~

..以+3=2工，

皿_2上)=八2

4,

即V关于x的函数解析式是W/+2；

(4)当丫=6时，6=/+2,

：.x2=4,

•・・缈=历了=疝7=2撷，刈。8是直角三角形，点P时斜边4S的中点，

.-.J1B=2OF=4.y/lO,

即线段43的长是4而.

【点睛】

本题是一道二次函数综合题目.主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性

质、直角三角形的性质、中点坐标公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件，利用数形结合的思想解答.

2、(1)BE=42AF.(2)①BE:&F成立,理由见解析；②平行四边形，理由

见解析；

【分析】

FC_AF

(1)如图1,证明ABHEF,由平行线分线段成比例可得EC=~BE,由45。的余弦值可

得BE=42AF.

里=吟=短

(2)①根据两边成比例，夹角相等，证明"83WEC,即可得AF~AC~^；

②如图3,过A作AM1.BC,连接MF,犯，防交于点N,根据已知条件证明EDIIFM,

根据平行线分线段成比例可得=根据锐角三角函数以及①的结论可得AF=EC,

根据三角形内角和以及“灰SAFEC可得&FE—FEC,进而可得AFIIEC,即可证明四边

形是平行四边形.

【详解】

(1)如图1,

图1

ABAC=90°,AB=AC,

ZB=ZC=45°,

仍是以EC为斜边等腰直角三角形,

..ZF£C=45°,Z£FC=90°,

ZB=ZFEC,

AB//EF,

.FC_AF

"~EC~'BE,

cFC反应

*.*cosC=—=cos45=—

EC2,

.拓一-T,

即BE=^2AF；

(2)①=仍然成立，理由如下:

如图2,

图2

ABAC=90°,AB=AC,

Z4BC=4CB=45。，

•；AC即是以EC为斜边等腰直角三角形,

\?FCE45?,Z.EFC=90°,

ZFCE=ZACB,

:.cos乙FCE=cos乙4c8,

FCAC〃。应

----=-----=cos450二—

即ECBC2,

・・・乙FCE=&CB,

ZUZACE=Z2+ZACE,

/1=/2,

：.AFC^ASCS,

AF_AC_^2.

即BE=^2.AF.

②四边形々CF是平行四边形，理由如下：

如图3,过A作AMLBC,连接MF,AC班交于点N,

图3

ABAC=90°,AB=AC,

BM=MC=-BC

2,

•：DB=DE,

AEBD=ADEB,

^EDC=2^EBD,

仍是以EC为斜边等腰直角三角形,

Z£FC=90°,

-：B,E,尸三点共线，

•：BM=MC,

MF=-BC=BM

2,

..乙FBC=4BFM,

ZFMC=2ZFBC,

4FMC=4EDC,

..EDUFM,

.BE_BD

"~EF~'DM9

BD=^BC

V3,

/.DM=BM-BD=^BC-^BC=-

236,

8口_2

BB-BD-2

~EF~~DM~1,

BE=2EF,

由①可知BE=42AF,

AF=&EF,

・.・AC斯是以EC为斜边等腰直角三角形,

EF=FC,EC=&EF,

..AF=EC,

・・・^FCA^ECB,

ZEBC=ZFAC,

•：ABNC=AANF,

AAFN=180°-2FAC-乙ANF/NCB=180°-AFBC-Z5M7

ZAFN=/LNCB,

即4F£=N/CB=45。，

•;N斤EC=45。，

乙iFE="EC,

AF//EC,

四边形功理是平行四边形.

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相

似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形

的性质与判定是解题的关键.

35

3、(1)见详解；(2)见详解；(3)不

【分析】

(1)利用相似三角形的判定定理直接证明即可

(2)利用平行线分线段成比例定理，再证明△AMEsa/8C>ADENsaz^C,

△CENSCAD,△&磔saHBC,根据三角形相似的性质即可解答.

(3)结合(2)的结论将AD=5,BC=7,代入即可求得MN的长

【详解】

(1)vMNHBC

△AMESXABC,

(2)vAf^//AD,AD/fBC

.DE_AE

"'BD~AC

•・•MN/IBC

..AAMECOAA?CADENGOADBC

AE_MEDE_NE

MENE

■■*

BCBC

:.ME=NE

-MN

E是MN的中点，ME=NE=2

•:ADMBOfMN

..△CgsCAD,△AMES匕ABC

NE__CEME_AE

~AD~~AC,~BC~'AC

NEMECEAEAC.

--+-------卜--=---=1

ADBCACACAC

NEME

7B+lc1

111

■।―

MEADBC

(3)结合(2)的结论,

•：AD=5fBC=l

111

-----------卜一

A/y57

•:ME=NE

MN=ME+NE=—=—

126

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握相似

三角形的判定定理，利用比例的等量关系解题.

4,25

9

5、4

31

6、17

7、(1)&：8(2)④：2n

8、【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

abc

【分析】设345=k，根据比例性质得a=3k,b=4k,z=5k,再把a=3k,b=4k,z=5k代入a+b+c=60

中得到k的方程，然后解此方程求出k的值，从而可得到a、b、c的值.

abc

【解答】解：设3一4-5=1<,则a=3k,b=4k,z=5k,

a+b+c=60,

，3k+4k+5k=60,解得k=5,

.*.3=15,b=20,c=25.

【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性

质；合分比性质；等比性质.

9、【考点】平行线分线段成比例.

【分析】根据行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：(12-DE),先解出DE的长，就可以

得到EF的长.

【解答】解：

AAB：BC=DE：EF,

VAB=3,BC=5,DF=12,

A3：5=DE：(12-DE)，

/.DE=4.5,

.\EF=12-4.5=7.5.

【点评】主要考查了平行线分线段成比例的性质，要掌握该定理：两条直线被平行线所截，

对应线段成比例.

10、证明见解析

【解析】

试题分析：根据平行线的性质得到NADE=NC,ZDFC=ZB,ZAED=ZB,等量代换得到

ZAED=ZDFC,于是得到结论.

试题解析：：ED〃BC,DF〃AB,

/.ZADE=ZC,ZDFC=ZB,

ZAED=ZB,

/.ZAED=ZDFC

/.△ADE^ADCF

Ik两建筑物顶点乂、C之间的距离为35米.

【解析】

如图（见解析），先根据俯角的定义得出“"Of=75。，ZC4£=30°,

CFHAEHSD,再根据平行线的性质、角的和差可得尸，4m=45",然后根据

等腰直角三角形的判定与性质可得4酸=20、5，又在乂曲中，解直角三角形可得

/甜=1队后，最后根据等腰直角三角形的判定与性质即可得.

【详解】

如图，过点A作肺于点N

由题意得：G3=廿,^.CAE=3V°,CElfAElfBD

s.ZBMC=lWPZFCM=1Q50,ZAMlf=ZSMCZAMB=W3

ZACF=ZJCAE^(T,Z^CW=ZfC3fZ4OFT5。

VZS=9QP,ZAMB=450；，f=20米

:.也国f是等腰直角三角形

二AM==2CK/5（米）

jwAN.&

,«3fi/A^fii=---------=jan60*=-—■

在中，JM,即如&2

解得./»=1%后（米）

•.•在山“6中，445=45。

二或皿1B是等腰直角三角形

:AC=.^AN=6xlO#=加6阳20x1加=3464附35（米）

答：两建筑物顶点*、C之间的距离为35米.

a.«a

【点睛】

本