第五章　培优点7　极化恒等式-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

培优点7极化恒等式1．极化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，两式相减可得极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．2．几何解释(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的eq\f(1,4)，即a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2](如图)．(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2(M为BC的中点)(如图)．极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．题型一利用极化恒等式求值例1(1)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b等于()A．1B．2C．3D．5答案A解析因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝1.(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值是________．答案eq\f(7,8)解析方法一(极化恒等式法)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.由向量的极化恒等式，知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝|eq\o(FD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8)，因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|2－|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝4n2－m2＝eq\f(7,8)，即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设A(3a,3b)，B(－c,0)，C(c,0)，则E(2a,2b)，F(a，b)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3a＋c,3b)·(3a－c,3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝eq\f(5,8)，c2＝eq\f(13,8)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(2a＋c,2b)·(2a－c,2b)＝4a2－c2＋4b2＝eq\f(7,8).方法三(基向量法)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝eq\f(36|\o(FD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4|\o(FD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝－1，因此|eq\o(FD,\s\up6(→))|2＝eq\f(5,8)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(13,2)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4|\o(ED,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝eq\f(16|\o(FD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝eq\f(7,8).思维升华利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决．跟踪训练1(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.答案27解析BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝12，∴AO＝6，OE＝3，∴由极化恒等式知eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\o(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(3,2)解析连接HF，EG，交于点O，则O为HF，GE的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OF,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).题型二利用极化恒等式求最值(范围)例2(1)已知△OAB的面积为1，AB＝2，动点P，Q在线段AB上滑动，且PQ＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))的最小值为________．答案eq\f(3,4)解析记线段PQ的中点为H(图略)，点O到直线AB的距离为d，则有S△OAB＝eq\f(1,2)AB·d＝1，解得d＝1，由极化恒等式可得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→)))2－(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→)))2]＝eq\f(1,4)(4OH2－QP2)＝OH2－PH2＝OH2－eq\f(1,4)≥d2－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝16相交于M，N两点，若c2＝a2＋b2，P为圆O上的任意一点，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为________．答案[－6,10]解析方法一(基底法)圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，如图②，设MN的中点为A，连接OA，则OA⊥MN，cos∠MOA＝eq\f(d,OM)＝eq\f(1,4)，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＋|eq\o(OP,\s\up6(→))|2＝4×4×cos2∠MOA－2eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＋16＝16×(2cos2∠MOA－1)－2×4×1×cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＋16＝2－8cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉∈[－6,10]，故eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为[－6,10]．方法二(极化恒等式法)圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，如图③，设MN的中点为A，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－15.因为|eq\o(OP,\s\up6(→))|－|eq\o(OA,\s\up6(→))|≤|eq\o(PA,\s\up6(→))|≤|eq\o(OP,\s\up6(→))|＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|，所以3≤|eq\o(PA,\s\up6(→))|≤5，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－15∈[－6,10]，故eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为[－6,10]．思维升华(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式．(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解．跟踪训练2(1)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是()A．[0,1] B．[0，eq\r(2)]C．[1,2] D．[－1,1]答案A解析如图所示，设P是线段AB上的任意一点，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，圆O的半径长为1，由于P是线段AB上的任意一点，则|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈[1，eq\r(2)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1∈[0,1]．(2)在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________．答案2eq\r(3)解析如图所示，取BC的中点O，过点O作OH⊥BC交AD于点H，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\o(HO,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\r(3)|eq\o(HO,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).当点P运动到点H且使HO⊥BC，|eq\o(HO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|时，等号成立，故eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是2eq\r(3).1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(8,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(4,9)答案B解析∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圆O的半径为1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3).由极化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(DE,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3)D．－1答案B解析如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(3,2)≥－eq\f(3,2)，当且仅当M与P重合时取等号．3．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))C．[－3,5] D．[1－2eq\r(3)，1＋2eq\r(3)]答案C解析如图所示，在Rt△ABC上，不妨取AB的中点M，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－4.设圆C的半径为r，则r＝1，而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，则(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max＝32－4＝5；(PM)min＝CM－r＝2－1＝1，(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))min＝12－4＝－3.因此eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是[－3,5]．4．已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最小值为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)答案A解析如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标为(a,1－a)，则点C在直线l：x＋y－1＝0上，由极化恒等式知eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，而|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝4，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－1.因为点C是直线l：x＋y－1＝0上的动点，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值即为点O到直线l的距离d＝OE＝eq\f(|－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以(eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))min＝d2－1＝－eq\f(1,2).5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析由极化恒等式得(a－c)·(b－c)＝eq\f(1,4)[(a＋b－2c)2－(a－b)2]，∵(a－c)·(b－c)＝0，∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，又|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝eq\r(2)，于是|c|2≤|a＋b||c|＝eq\r(2)|c|，∴|c|≤eq\r(2).6．已知半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，点P是圆O内一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范围是()A．[－4,14) B．(－4,14]C．[－4,4) D．(－4,4]答案A解析如图，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→)).在平行四边形ABOC中，因为OB＝OC，所以平行四边形ABOC是菱形，且BC＝2eq\r(3).设菱形ABOC对角线的交点为E，则由极化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(AO,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－1，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－3，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－4.因为P是圆O内一点，所以0≤|eq\o(PE,\s\up6(→))|<3，所以－4≤2|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－4<14，即－4≤eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))<14.7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值为________．答案1解析取AE的中点O(图略)，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))2－eq\o(AO,\s\up6(→))2＝1.8.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－7，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝________.答案9解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2＝9－eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2＝－7，得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝8，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2＝25－eq\f(1,4)×64＝9.9．在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是