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文档简介
培优点7极化恒等式1.极化恒等式在平面向量中:(a+b)2=a2+b2+2a·b,(a-b)2=a2+b2-2a·b,两式相减可得极化恒等式:a·b=eq\f(1,4)[(a+b)2-(a-b)2].2.几何解释(1)平行四边形模型:向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的eq\f(1,4),即a·b=eq\f(1,4)[(a+b)2-(a-b)2](如图).(2)三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差,即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AM,\s\up6(→))2-eq\o(MB,\s\up6(→))2(M为BC的中点)(如图).极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.题型一利用极化恒等式求值例1(1)设向量a,b满足|a+b|=eq\r(10),|a-b|=eq\r(6),则a·b等于()A.1B.2C.3D.5答案A解析因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=10,|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6,两式相减得a·b=eq\f(1,4)[(a+b)2-(a-b)2]=1.(2)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=4,eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))=-1,则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值是________.答案eq\f(7,8)解析方法一(极化恒等式法)设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.由向量的极化恒等式,知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=|eq\o(AD,\s\up6(→))|2-|eq\o(DB,\s\up6(→))|2=9n2-m2=4,eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))=|eq\o(FD,\s\up6(→))|2-|eq\o(DB,\s\up6(→))|2=n2-m2=-1,联立解得n2=eq\f(5,8),m2=eq\f(13,8),因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))=|eq\o(ED,\s\up6(→))|2-|eq\o(DB,\s\up6(→))|2=4n2-m2=eq\f(7,8),即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\f(7,8).方法二(坐标法)以直线BC为x轴,过点D且垂直于BC的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a,3b),B(-c,0),C(c,0),则E(2a,2b),F(a,b),所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=(3a+c,3b)·(3a-c,3b)=9a2-c2+9b2=4,eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))=(a+c,b)·(a-c,b)=a2-c2+b2=-1,则a2+b2=eq\f(5,8),c2=eq\f(13,8),所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))=(2a+c,2b)·(2a-c,2b)=4a2-c2+4b2=eq\f(7,8).方法三(基向量法)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=(eq\o(DA,\s\up6(→))-eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))-eq\o(DC,\s\up6(→)))=eq\f(4|\o(AD,\s\up6(→))|2-|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)=eq\f(36|\o(FD,\s\up6(→))|2-|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)=4,eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))=(eq\o(DF,\s\up6(→))-eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DF,\s\up6(→))-eq\o(DC,\s\up6(→)))=eq\f(4|\o(FD,\s\up6(→))|2-|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)=-1,因此|eq\o(FD,\s\up6(→))|2=eq\f(5,8),|eq\o(BC,\s\up6(→))|2=eq\f(13,2),所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))=(eq\o(DE,\s\up6(→))-eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DE,\s\up6(→))-eq\o(DC,\s\up6(→)))=eq\f(4|\o(ED,\s\up6(→))|2-|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)=eq\f(16|\o(FD,\s\up6(→))|2-|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)=eq\f(7,8).思维升华利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题,从而利用极化恒等式解决.跟踪训练1(1)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4eq\r(5),AD=8,E,O,F为线段BD的四等分点,则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))=________.答案27解析BD=eq\r(AB2+AD2)=12,∴AO=6,OE=3,∴由极化恒等式知eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\o(AO,\s\up6(→))2-eq\o(OE,\s\up6(→))2=36-9=27.(2)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))+eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))=________.答案eq\f(3,2)解析连接HF,EG,交于点O,则O为HF,GE的中点,则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))=eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))=eq\o(EO,\s\up6(→))2-eq\o(OF,\s\up6(→))2=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2=eq\f(3,4),eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))=eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))=eq\o(GO,\s\up6(→))2-eq\o(OH,\s\up6(→))2=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2=eq\f(3,4),因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))+eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))=eq\f(3,2).题型二利用极化恒等式求最值(范围)例2(1)已知△OAB的面积为1,AB=2,动点P,Q在线段AB上滑动,且PQ=1,则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))的最小值为________.答案eq\f(3,4)解析记线段PQ的中点为H(图略),点O到直线AB的距离为d,则有S△OAB=eq\f(1,2)AB·d=1,解得d=1,由极化恒等式可得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))=eq\f(1,4)[(eq\o(OP,\s\up6(→))+eq\o(OQ,\s\up6(→)))2-(eq\o(OP,\s\up6(→))-eq\o(OQ,\s\up6(→)))2]=eq\f(1,4)(4OH2-QP2)=OH2-PH2=OH2-eq\f(1,4)≥d2-eq\f(1,4)=eq\f(3,4).(2)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若c2=a2+b2,P为圆O上的任意一点,则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为________.答案[-6,10]解析方法一(基底法)圆心O到直线ax+by+c=0的距离d=eq\f(|c|,\r(a2+b2))=1,如图②,设MN的中点为A,连接OA,则OA⊥MN,cos∠MOA=eq\f(d,OM)=eq\f(1,4),则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))=(eq\o(OM,\s\up6(→))-eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OP,\s\up6(→)))=eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OM,\s\up6(→))+eq\o(ON,\s\up6(→)))+|eq\o(OP,\s\up6(→))|2=4×4×cos2∠MOA-2eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))+16=16×(2cos2∠MOA-1)-2×4×1×cos〈eq\o(OP,\s\up6(→)),eq\o(OA,\s\up6(→))〉+16=2-8cos〈eq\o(OP,\s\up6(→)),eq\o(OA,\s\up6(→))〉∈[-6,10],故eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为[-6,10].方法二(极化恒等式法)圆心O到直线ax+by+c=0的距离d=eq\f(|c|,\r(a2+b2))=1,如图③,设MN的中点为A,eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))=|eq\o(PA,\s\up6(→))|2-|eq\o(AM,\s\up6(→))|2=|eq\o(PA,\s\up6(→))|2-15.因为|eq\o(OP,\s\up6(→))|-|eq\o(OA,\s\up6(→))|≤|eq\o(PA,\s\up6(→))|≤|eq\o(OP,\s\up6(→))|+|eq\o(OA,\s\up6(→))|,所以3≤|eq\o(PA,\s\up6(→))|≤5,则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))=|eq\o(PA,\s\up6(→))|2-15∈[-6,10],故eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围为[-6,10].思维升华(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围),可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.跟踪训练2(1)已知正方形ABCD的边长为2,MN是它的内切圆的一条弦,点P为正方形四条边上的动点,当弦MN的长度最大时,eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是()A.[0,1] B.[0,eq\r(2)]C.[1,2] D.[-1,1]答案A解析如图所示,设P是线段AB上的任意一点,eq\o(PM,\s\up6(→))=eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(OM,\s\up6(→)),eq\o(PN,\s\up6(→))=eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(ON,\s\up6(→))=eq\o(PO,\s\up6(→))-eq\o(OM,\s\up6(→)),圆O的半径长为1,由于P是线段AB上的任意一点,则|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈[1,eq\r(2)],所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))=(eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))-eq\o(OM,\s\up6(→)))=eq\o(PO,\s\up6(→))2-eq\o(OM,\s\up6(→))2=|eq\o(PO,\s\up6(→))|2-1∈[0,1].(2)在面积为2的平行四边形ABCD中,点P为直线AD上的动点,则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.答案2eq\r(3)解析如图所示,取BC的中点O,过点O作OH⊥BC交AD于点H,则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))2=eq\o(PO,\s\up6(→))2-eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2+eq\o(BC,\s\up6(→))2=eq\o(PO,\s\up6(→))2+eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\o(HO,\s\up6(→))2+eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\r(3)|eq\o(HO,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|=2eq\r(3).当点P运动到点H且使HO⊥BC,|eq\o(HO,\s\up6(→))|=eq\f(\r(3),2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|时,等号成立,故eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是2eq\r(3).1.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,eq\o(BF,\s\up6(→))=2eq\o(FO,\s\up6(→)),则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A.-eq\f(3,4) B.-eq\f(8,9)C.-eq\f(1,4) D.-eq\f(4,9)答案B解析∵eq\o(BF,\s\up6(→))=2eq\o(FO,\s\up6(→)),圆O的半径为1,∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|=eq\f(1,3).由极化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))=eq\o(FO,\s\up6(→))2-eq\f(1,4)eq\o(DE,\s\up6(→))2=eq\f(1,9)-1=-eq\f(8,9).2.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A.-2B.-eq\f(3,2)C.-eq\f(4,3)D.-1答案B解析如图,设BC的中点为D,AD的中点为M,连接DP,PM,则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→)))=2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))=2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2-eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2=2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2-eq\f(3,2)≥-eq\f(3,2),当且仅当M与P重合时取等号.3.已知Rt△ABC的斜边AB的长为4,设P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),\f(5,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(5,2),\f(5,2)))C.[-3,5] D.[1-2eq\r(3),1+2eq\r(3)]答案C解析如图所示,在Rt△ABC上,不妨取AB的中点M,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=eq\o(PM,\s\up6(→))2-eq\o(AM,\s\up6(→))2=eq\o(PM,\s\up6(→))2-4.设圆C的半径为r,则r=1,而(PM)max=CM+r=2+1=3,则(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max=32-4=5;(PM)min=CM-r=2-1=1,(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))min=12-4=-3.因此eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是[-3,5].4.已知直线l:x+y-1=0与圆C:(x-a)2+(y+a-1)2=1交于A,B两点,O为坐标原点,则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最小值为()A.-eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)答案A解析如图,圆C:(x-a)2+(y+a-1)2=1的圆心C的坐标为(a,1-a),则点C在直线l:x+y-1=0上,由极化恒等式知eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=|eq\o(OC,\s\up6(→))|2-eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2,而|eq\o(BA,\s\up6(→))|2=4,所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=|eq\o(OC,\s\up6(→))|2-eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2=|eq\o(OC,\s\up6(→))|2-1.因为点C是直线l:x+y-1=0上的动点,所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值即为点O到直线l的距离d=OE=eq\f(|-1|,\r(2))=eq\f(\r(2),2),所以(eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))min=d2-1=-eq\f(1,2).5.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是()A.1B.2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析由极化恒等式得(a-c)·(b-c)=eq\f(1,4)[(a+b-2c)2-(a-b)2],∵(a-c)·(b-c)=0,∴(a+b-2c)2=(a-b)2,故c2=(a+b)·c,又|a|=|b|=1,a⊥b,∴|a+b|=eq\r(2),于是|c|2≤|a+b||c|=eq\r(2)|c|,∴|c|≤eq\r(2).6.已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=0,点P是圆O内一点,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范围是()A.[-4,14) B.(-4,14]C.[-4,4) D.(-4,4]答案A解析如图,由eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=0,得eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AO,\s\up6(→)).在平行四边形ABOC中,因为OB=OC,所以平行四边形ABOC是菱形,且BC=2eq\r(3).设菱形ABOC对角线的交点为E,则由极化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))=|eq\o(PE,\s\up6(→))|2-eq\f(1,4)|eq\o(AO,\s\up6(→))|2=|eq\o(PE,\s\up6(→))|2-1,eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))=|eq\o(PE,\s\up6(→))|2-eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2=|eq\o(PE,\s\up6(→))|2-3,所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))=2|eq\o(PE,\s\up6(→))|2-4.因为P是圆O内一点,所以0≤|eq\o(PE,\s\up6(→))|<3,所以-4≤2|eq\o(PE,\s\up6(→))|2-4<14,即-4≤eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))<14.7.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值为________.答案1解析取AE的中点O(图略),则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))=eq\o(DO,\s\up6(→))2-eq\o(AO,\s\up6(→))2=1.8.如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=-7,则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=________.答案9解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AO,\s\up6(→))2-eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2=9-eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2=-7,得|eq\o(BD,\s\up6(→))|=8,则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CO,\s\up6(→))2-eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2=25-eq\f(1,4)×64=9.9.在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,eq\o(CP,\s\up6(→))=3eq\o(PD,\s\up6(→)),eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))=2,则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是
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