第七章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§7.8空间距离及立体几何中的探索性问题课标要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(×)(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．(×)(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．(√)(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(×)2．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(10),2)D.eq\f(3\r(2),2)答案D解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2,0，－1)，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(2),2)，则点P到直线l的距离d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)))2)＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2).3．(选择性必修第一册P44T14改编)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(\r(6),6)D.eq\f(6,7)答案D解析如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，C1(0,1,3)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－2,0,3)，设eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(BC1,\s\up6(→))的公垂线的方向向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,－2x＋3z＝0，))令x＝3，则n＝(3,6,2)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，∴d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(6,7).4．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．答案eq\f(2\r(3),3)解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，所以eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离d＝eq\f(|\o(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).题型一空间距离命题点1点线距离例1(2023·连云港模拟)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.(1)证明：OA⊥BC；(2)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离．(1)证明因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以OA⊥BC.(2)解取OD的中点F，连接CF，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0，－1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(2,3)))，方法一则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)，\f(2,3)))，所以点E到直线BC的距离d＝eq\r(|\o(BE,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BE,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)))2)＝eq\r(\f(20,9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))2)＝eq\f(2\r(2),3).方法二又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)，\f(2,3)))，所以|cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(3)×\f(2\r(5),3))＝eq\f(\r(15),5)，则sin〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(10),5)，所以点E到直线BC的距离为|eq\o(BE,\s\up6(→))|sin〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(2\r(5),3)×eq\f(\r(10),5)＝eq\f(2\r(2),3).命题点2点面距离例2(2024·常州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为eq\f(2\r(5),5)，求点P到平面AEF的距离．方法一(1)证明因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.(2)解因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，以A为坐标原点，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，易知u＝(0,1,0)是平面PAB的一个法向量，设BF＝t(t∈[0,2])，则F(2，t,0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，t,0)，所以|cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，u〉|＝eq\f(|\o(AF,\s\up6(→))·u|,|\o(AF,\s\up6(→))||u|)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)，即eq\f(t,\r(t2＋4))＝eq\f(\r(5),5)，解得t＝1，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2,1,0)，设n＝(x1，y1，z1)为平面AEF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋z1＝0，,2x1＋y1＝0，))令x1＝－1，则y1＝2，z1＝1，所以平面AEF的法向量n＝(－1,2,1)，又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，所以点P到平面AEF的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，所以点P到平面AEF的距离为eq\f(\r(6),3).方法二(1)证明因为PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥底面ABCD，又平面PAB∩底面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB.因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，又因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.(2)解由(1)可知，∠BAF是直线AF与平面PAB所成的角，所以cos∠BAF＝eq\f(AB,AF)＝eq\f(AB,\r(AB2＋BF2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得BF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)BC＝1，故F是BC的中点．所以AF＝eq\r(AB2＋BF2)＝eq\r(5)，AE＝eq\f(1,2)PB＝eq\r(2)，EF＝eq\r(AF2－AE2)＝eq\r(3)，△AEF的面积为S△AEF＝eq\f(1,2)AE·EF＝eq\f(\r(6),2).因为PA＝AB＝2，△PAE的面积为S△PAE＝eq\f(1,2)S△PAB＝eq\f(1,4)PA·AB＝1，设点P到平面AEF的距离为h，则有V三棱锥P－AEF＝eq\f(1,3)S△AEF·h＝eq\f(\r(6),6)h＝V三棱锥F－PAE＝eq\f(1,3)S△PAE·BF＝eq\f(1,3)，解得h＝eq\f(\r(6),3)，所以点P到平面AEF的距离为eq\f(\r(6),3).方法三(1)证明因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，以A为坐标原点，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，设BF＝t(t∈[0,2])，则F(2，t,0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，t,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，设n＝(x1，y1，z1)为平面AEF的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AF,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋z1＝0，,2x1＋ty1＝0，))取y1＝2，则x1＝－t，z1＝t，则n＝(－t,2，t)，设m＝(x2，y2，z2)为平面PBC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(PB,\s\up6(→))＝0，,m·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－2z2＝0，,2y2＝0，))取x2＝1，则y2＝0，z2＝1，则m＝(1,0,1)，因为n·m＝－t＋0＋t＝0，所以n⊥m，所以平面AEF⊥平面PBC.(2)解易知u＝(0,1,0)是平面PAB的一个法向量，所以|cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，u〉|＝eq\f(|\o(AF,\s\up6(→))·u|,|\o(AF,\s\up6(→))||u|)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)，即eq\f(t,\r(t2＋4))＝eq\f(\r(5),5)，解得t＝1，所以n＝(－1,2,1)，又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,2)，所以点P到平面AEF的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，所以点P到平面AEF的距离为eq\f(\r(6),3).命题点3异面直线的距离例3如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2.动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(4,3)答案B解析由题意可知，线段PQ长度的最小值为异面直线C1D与AC的距离．如图所示，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，D(0,0,0)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，设n＝(x，y，z)满足n⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DC1,\s\up6(→))，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝y＋2z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y，,z＝－\f(y,2)，))取y＝2，则x＝2，z＝－1，可得n＝(2,2，－1)，因此|eq\o(PQ,\s\up6(→))|min＝eq\f(|\o(DA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,3).思维升华(1)点到直线的距离①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2).②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(2)求点面距一般有以下三种方法①作点到面的垂线，求点到垂足的距离．②等体积法．③向量法．跟踪训练1(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点，则()A．点A1到直线B1E的距离为eq\f(2\r(5),3)B．直线FC1到直线AE的距离为2C．点B到平面AB1E的距离为eq\r(2)D．直线FC1到平面AB1E的距离为eq\f(2,3)答案AD解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，E(0,0,1)，F(2,2,1)，C1(0,2,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，因为eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－2，－2，－1)，设eq\o(B1E,\s\up6(→))的单位方向向量u1＝eq\f(\o(B1E,\s\up6(→)),|\o(B1E,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)，－\f(1,3)))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，所以eq\o(A1B1,\s\up6(→))·u1＝－eq\f(4,3).所以点A1到直线B1E的距离为eq\r(\o(A1B1,\s\up6(→))2－\o(A1B1,\s\up6(→))·u12)＝eq\r(4－\f(16,9))＝eq\f(2\r(5),3)，故A正确；因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(FC1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))∥eq\o(FC1,\s\up6(→))，即AE∥FC1，所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离，设eq\o(AE,\s\up6(→))的单位方向向量u2＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，0，\f(\r(5),5)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,2,1)，|eq\o(AF,\s\up6(→))|2＝5，eq\o(AF,\s\up6(→))·u2＝eq\f(\r(5),5)，所以直线FC1到直线AE的距离为eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(30),5)，故B错误；设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，－2,0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(→))＝2y＋2z＝0，,n·\o(AE,\s\up6(→))＝－2x＋z＝0，))令z＝2，则y＝－2，x＝1，即n＝(1，－2,2)．设点B到平面AB1E的距离为d，则d＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,3)，即点B到平面AB1E的距离为eq\f(4,3)，故C错误；因为AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离．又eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝(2,0,0)，由C得平面AB1E的一个法向量为n＝(1，－2,2)，所以点C1到平面AB1E的距离为eq\f(|\o(C1B1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,3)，所以直线FC1到平面AB1E的距离为eq\f(2,3)，故D正确．题型二立体几何中的探索性问题例4(2023·常德模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．(1)求证：AC⊥平面A1BO；(2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为eq\f(2\r(7),7)，若存在，请计算eq\f(CP,CC1)的值；若不存在，请说明理由．(1)证明∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点，∴AC⊥OB，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，A1B⊂平面ABB1A1，∴A1B⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO.(2)解存在，线段CC1的中点P满足题意．理由如下：由(1)得A1B⊥平面ABC，OB⊥AC，以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴，过点O作Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1,0,0)，A(1,0,0)，A1(0，eq\r(3)，2eq\r(3))，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3)，2eq\r(3))，设eq\o(CP,\s\up6(→))＝teq\o(CC1,\s\up6(→))＝teq\o(AA1,\s\up6(→))＝(－t，eq\r(3)t,2eq\r(3)t)，0≤t≤1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－1－t，eq\r(3)t,2eq\r(3)t)，易知平面A1OB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设平面POB的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(OB,\s\up6(→))＝\r(3)y＝0，,m·\o(OP,\s\up6(→))＝－1－tx＋\r(3)ty＋2\r(3)tz＝0，))取x＝2eq\r(3)t，则m＝(2eq\r(3)t,0，t＋1)，由题意得|cos〈n，m〉|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)＝eq\f(2\r(3)t,\r(12t2＋t＋12))＝eq\f(2\r(7),7)，∵0≤t≤1，∴解得t＝eq\f(CP,CC1)＝eq\f(1,2)，∴线段CC1上存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为eq\f(2\r(7),7)，此时eq\f(CP,CC1)＝eq\f(1,2).思维升华(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练2如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．(1)证明如图，连接BD交AC于点O，连接SO.由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a，则高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0)).于是eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a)).则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(SD,\s\up6(→))，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.(2)解由题设知，平面PAC的一个法向量为eq\o(DS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，平面DAC的一个法向量为eq\o(OS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a)).设平面PAC与平面DAC的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(OS,\s\up6(→))，eq\o(DS,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(OS,\s\up6(→))·\o(DS,\s\up6(→))|,|\o(OS,\s\up6(→))||\o(DS,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,2)a2,\f(\r(6),2)a·\r(2)a)＝eq\f(\r(3),2)，所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°.(3)解假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知eq\o(DS,\s\up6(→))是平面PAC的一个法向量，且eq\o(DS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，\f(\r(6),2)a))，eq\o(CS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)a，\f(\r(6),2)a)).设eq\o(CE,\s\up6(→))＝teq\o(CS,\s\up6(→))(0≤t≤1)，因为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋teq\o(CS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a1－t，\f(\r(6),2)at)).由eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DS,\s\up6(→))＝0，得－eq\f(a2,2)＋0＋eq\f(3,2)a2t＝0，解得t＝eq\f(1,3)，当SE∶EC＝2∶1时，eq\o(BE,\s\up6(→))⊥eq\o(DS,\s\up6(→)).由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1.课时精练1.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，E，F分别是棱C1C，BC的中点．(1)求证：B1F⊥平面AEF；(2)求点A1到直线B1E的距离．(1)证明∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，∴以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB＝AC＝AA1＝1，E，F分别是棱C1C，BC的中点，∴A(0,0,0)，B1(1,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，∵eq\o(B1F,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，eq\o(B1F,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(B1F,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(B1F,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，∴B1F⊥AE，B1F⊥AF，∵AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴B1F⊥平面AEF.(2)解方法一∵A1(0,0,1)，∴eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(1,0,0)，又eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，－\f(1,2)))，∴点A1到直线B1E的距离d＝eq\r(|\o(A1B1,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(A1B1,\s\up6(→))·\o(B1E,\s\up6(→)),|\o(B1E,\s\up6(→))|)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,\f(3,2))))2)＝eq\f(\r(5),3).方法二∵A1(0,0,1)，∴eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，－\f(1,2)))，∴cos〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(－1,\f(3,2))＝－eq\f(2,3)，∴sin〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(5),3)，故点A1到直线B1E的距离为d＝|eq\o(A1B1,\s\up6(→))|·sin〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(5),3).2．(2024·北京模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．(1)求证：BM⊥AB1；(2)若直线AB1与平面BCM所成的角为eq\f(π,4)，求点A1到平面BCM的距离．(1)证明连接A1B，∵AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，设A1M＝a，a∈[0,1]，则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，M(0，a,1)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1，a,1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∵eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴BM⊥AB1.(2)解设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，由(1)知eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1，a,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BM,\s\up6(→))＝－x＋ay＋z＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，))取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，∵直线AB1与平面BCM所成的角为eq\f(π,4)，∴sin

eq\f(π,4)＝|cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·n|,|\o(AB1,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(|2－a|,\r(2)·\r(2＋1－a2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝eq\f(1,2)，∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，∵eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0，－1),∴点A1到平面BCM的距离d＝eq\f(|\o(A1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).3．如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BE＝EC＝1.沿着AE将△BAE折起到△B′AE，使得∠DAB′＝90°，如图2所示．(1)求异面直线AB′与CD所成角的余弦值；(2)求异面直线AB′与CD之间的距离．解(1)在菱形ABCD中，∠B＝60°，BE＝EC＝1，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos60°＝3，所以AE＝eq\r(3)，所以BE2＋AE2＝AB2，即AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，在题图2中，∠DAB′＝90°，即AD⊥AB′，又AB′∩AE＝A，AB′，AE⊂平面AB′E，所以AD⊥平面AB′E，即EC⊥平面AB′E，又B′E⊂平面AB′E，所以B′E⊥EC，如图，以E为原点，以EC，EA，EB′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，C(1,0,0)，D(2，eq\r(3)，0)，B′(0,0,1)，A(0，eq\r(3)，0)，所以eq\o(AB′,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3)，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，故|cos〈eq\o(AB′,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AB′,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB′,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(|0－3＋0|,2×2)＝eq\f(3,4)，则异面直线AB′与CD所成角的余弦值为eq\f(3,4).(2)由(1)得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，0)，设m＝(x，y，z)是异面直线AB′与CD公垂线的方向向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB′,\s\up6(→))·m＝0，,\o(CD,\s\up6(→))·m＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)y＋z＝0，,x＋\r(3)y＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\r(3)y，,x＝－\r(3)y，))令y＝1，则m＝(－eq\r(3)，1，eq\r(3))，所以异面直线AB′与CD之间的距离为eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·m|,|m|)＝eq\f(|－\r(3)－\r(3)＋0|,\r(7))＝eq\f(2\r(21),7).4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(15),5)？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明∵△ABC是正三角形，E为AC的中点，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.(2)解存在．由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，∵点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直．以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(2eq\r(3)，0,0)，C(0,2,0)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，－2,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，2,0)．设eq\o(BG,\s\up6(→))＝λeq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，2,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,4，－2)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2\r(3)x＋2y＝0，,4y－2z＝0，))令x＝1，则y＝eq\r(3)，z＝2eq\r(3)，∴n＝(1，eq\r(3)，2eq\r(3))．由已知得eq\f(\r(15),5)＝|cos〈eq\o(AG,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AG,\s\up6(→))·n,|\o(AG,\s\up6(→))||n|)))，即eq\f(\r(15),5)＝eq\f(4\r(3),4\r(161－λ2＋4λ2))，解得λ＝eq\f(1,2)或λ＝eq\f(11,10)(舍去)，故λ＝eq\f(1,2)，∴存在满足条件的点G，点G为PB的中点．5．(2023·盐城模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点．(1)是否存在点P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出满足条件时C1P的长度并证明；若不存在，请说明理由；(2)当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF夹角的正弦值最小．解建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意设点P(0，t,2)，0≤t≤2，则E(1,1,0)，F(2,2,1)，C(0,2,0)，(1)eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1,1－t，－2)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(2,0,1)，设平面EFC的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up6(→))＝x＋y＋z＝0，,m·\o(CF,\s\up6(→))＝2x＋z＝0，))令x＝1，得z＝－2，y＝1，∴m＝(1,1，－2)，若存在满足题意的点P，则eq\o(PE,\s\up6(→))∥m，∴eq\f(1－t,1)＝1，∴t＝0，满足0≤t≤2，即P与D1重合时，PE⊥平面EFC，此时C1P＝2.(2)易知平面BCC1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面PEF的法向量为r＝(x0