第七章　§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),3)答案D解析连接BD(图略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角，不妨设正方体的棱长为a，则BD＝eq\r(2)a，BD1＝eq\r(D1D2＋BD2)＝eq\r(3)a，所以cos∠DD1B＝eq\f(DD1,D1B)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)由题意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF与ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分别为AF，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G，H分别为AF，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD，又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)解C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G是AF的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行 B．异面或相交C．异面 D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．平行 B．异面C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线答案CD解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6) D.eq\f(\r(6),6)答案D解析如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝eq\r(2)，所以AE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6).连接ED，则ED＝eq\r(6).因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),6).(2)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成角的余弦值为eq\f(\r(10),5)，则四棱锥外接球的表面积为()A．48πB．12πC．36πD．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA＝x，x>0，连接AB1，B1C，则异面直线AC与PD所成的角就是∠ACB1或其补角．则cos∠ACB1＝eq\f(\r(10),5)＝eq\f(8＋x2＋4－x2－4,2×2\r(2)×\r(x2＋22))，解得x＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为eq\f(1,2)×eq\r(12＋22＋22)＝eq\f(3,2)，所以该四棱锥外接球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为eq\r(6)，则直线AE1和EF所成角的大小为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案C解析如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求．∵AF＝EF＝1，EE1＝eq\r(6)，且∠AFE＝eq\f(2π,3)，∴AE＝eq\r(AF2＋EF2－2AF·EF·cos

\f(2π,3))＝eq\r(3)，∴AE1＝eq\r(AE2＋EE\o\al(2,1))＝3，AF1＝eq\r(AF2＋FF\o\al(2,1))＝eq\r(7)，∴cos∠AE1F1＝eq\f(AE\o\al(2,1)＋E1F\o\al(2,1)－AF\o\al(2,1),2AE1·E1F1)＝eq\f(9＋1－7,2×3×1)＝eq\f(1,2)，∴∠AE1F1＝eq\f(π,3)，即直线AE1和EF所成角的大小为eq\f(π,3).(2)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形，∴sin∠EAF1＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线CM B．直线BMC．直线AB D．直线BC答案B解析已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.4.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(15),3) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)答案D解析如图，取AC的中点D，连接DC1，BD，易知AM∥DC1，所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即∠BC1D，因为直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC1＝eq\r(5)，BD＝eq\r(3)，BC1＝2eq\r(2)，则在△BDC1中，由余弦定理可得cos∠BC1D＝eq\f(\r(5)2＋2\r(2)2－\r(3)2,2×\r(5)×2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为eq\f(\r(10),4).5．四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中()A．逐步变大 B．逐步变小C．先变小后变大 D．先变大后变小答案D解析由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0，如图1，故B，C错误；图1在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此时DE与BF所成的角为eq\f(π,2)，然后α开始变小，故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确．6．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，E，F，G分别为AB，PC，AD的中点，直线BF与EG所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)，则三棱锥P－EFG的体积为()A.eq\f(5\r(2),12)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(\r(2),6)答案B解析连接BD，DF，AC，CG，CE，如图，设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角，在△FBD中，易知BD＝2eq\r(2)，cos∠FBD＝eq\f(x2＋8－x2,4\r(2)x)＝eq\f(\r(6),3)，解得x＝eq\r(3).设PB＝PC＝y，在△PFB中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＋3－2eq\r(3)·eq\f(y,2)cos∠PFB＝y2，①因为∠PFB＋∠BFC＝180°，故cos∠BFC＝cos(180°－∠PFB)＝－cos∠PFB，则在△BCF中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＋3－2eq\r(3)·eq\f(y,2)cos∠BFC＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＋3＋2eq\r(3)·eq\f(y,2)cos∠PFB＝4，②①＋②得eq\f(y2,2)＋6＝y2＋4，因为y>0，解得y＝2.因为F为PC的中点，故V三棱锥P－EFG＝V三棱锥C－EFG＝V三棱锥F－ECG，因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC中，易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离为eq\f(2×2,2\r(2))＝eq\r(2)，故点F到平面CEG的距离为eq\f(\r(2),2)，S△ECG＝S▱ABCD－S△AEG－S△CDG－S△CEB＝2×2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×2＝4－eq\f(1,2)－1－1＝eq\f(3,2)，故所求三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4).二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，则()A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为eq\f(2,3)C．三棱锥A－BCD外接球的半径为eq\r(6)D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为eq\f(3,5)答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE＝BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；长方体的体积V1＝1×1×2＝2，三棱锥E－ABC的体积V2＝V三棱锥A－BEC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3)，同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD的体积也为eq\f(1,3)，所以三棱锥A－BCD的体积V＝2－4×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B正确；长方体的外接球的直径为eq\r(12＋12＋22)＝eq\r(6)，所以长方体的外接球的半径为eq\f(\r(6),2)，长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，所以三棱锥A－BCD外接球的半径为eq\f(\r(6),2)，故C错误；连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，由已知OA＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(5),2)，OM＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(\r(5),2)，AM＝2，所以cos∠AOM＝eq\f(\f(5,4)＋\f(5,4)－4,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝－eq\f(3,5)，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为eq\f(3,5)，故D正确．三、填空题9．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．答案P∈l解析∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴点P在直线l上，即P∈l.10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB和CD是异面直线，AB＝CD＝3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(7)，则AB与CD所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，∵eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，又eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)，则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角，在△EGF中，EG＝eq\f(2,3)AB＝2，GF＝eq\f(1,3)CD＝1，EF＝eq\r(7)，∴cos∠EGF＝eq\f(22＋12－\r(7)2,2×2×1)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，BB1，CF，AF的中点，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段AE，BD1都不相交，则称点M与点N可视，下列与点D不可视的为________．(填序号)①B1；②F；③H；④G.答案①②③解析如图所示，连接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F分别为棱CC1，BB1的中点，所以EF∥BC，又底面ABCD为正方形，所以BC∥AD，所以EF∥AD，所以四边形EFAD为梯形，所以DH与AE相交，DF与AE相交，故②③不可视；因为B1D1∥DB，所以四边形B1D1DB是梯形，所以B1D与BD1相交，故①不可视；因为EFAD为梯形，G为CF的中点，即G∉EF，则D，E，G，A四点不共面，所以DG与AE不相交，若DG与BD1相交，则D，B，G，D1四点共面，显然D，B，B1，D1四点共面，G∉平面DBB1D1，所以D，B，G，D1四点不共面，即假设不成立，所以DG与BD1不相交，即点G与点D可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点)．(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线；(2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值．(1)证明因为M∈AB，N∈AD，AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，所以MN⊂平面ABD，因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，所以EF⊂平面CBD，由于直线MN与直线EF相交于点O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，所以B，D，O三点共线．(2)解连接BD，作BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示，在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB＝6，所以GN∥AB，且GN＝eq\f(1,2)AB＝3，在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC＝4，所以GE∥CD，且GE＝eq\f(1,2)DC＝2，则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角，又NE＝2，由余弦定理得cos∠EGN＝eq\f(GE2＋GN2－NE2,2GE·GN)＝eq\f(22＋32－22,2×2×3)＝eq\f(3,4)>0，故异面直线AB与DC所成角的余弦值为eq\f(3,4).14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积．解(1)存在．当G为PA的中点时满足条件．如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面．(2)因为E是PB的中点，所以V三棱锥P－ACE＝V三棱锥B－ACE＝eq\f(1,2)V三棱锥P－ACB.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×2×1＝1，V三棱锥P－ACB＝eq\f(1,3)PC·S△ABC＝eq\f(2,3)，所以V三棱锥P－ACE＝eq\f(1,3).15.(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是()A．DP∥平面AB1D1B．三棱锥C－AD1P的体积为定值C．平面PB1D⊥平面ACD1D．异面直线DP与AD1所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))答案ABC解析对于A，连接DB，C1D，AB1，D1B1，因为BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，因为DB∥D1B1，DB⊄平面AB1D1，D1B1⊂平面AB1D1，所以DB∥平面AB1D1，又DB∩BC1＝B，DB，BC1⊂平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，又DP⊂平面BDC1，所以DP∥平面AB1D1，故A正确；对于B，由点P在线段BC1上运动知平面