高中数学：基本初等函数导学案(含答案)

第二章基本初等函数（I）

2.1指数函数

一、根式

1.〃次方根的概念

一般地，如果,那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,neN,.

2."次方根的性质

（1）当"是时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.这

时，。的〃次方根用符号标'表示.

（2）当〃是时，正数。的〃次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正

数。的正的〃次方根用符号标表示，负的〃次方根用符号-布表示.正的〃次方根与负的〃

次方根可以合并写成土加3>0）.负数没有偶次方根.

（3）0的任何次方根都为0,记作而=0.

3.根式的概念

式子后叫做根式，这里〃叫做根指数，a叫做被开方数.

4.根式的性质

根据〃次方根的意义，可以得到:

(1)即)”=a(〃>l,且〃eN*)；

（2）当"为奇数时，折=a；

a,a>0

（3）当"为偶数时,yfa"=同=<

-a,a<0

二、实数指数塞

1.分数指数幕

（1）我们规定正数的正分数指数累的意义是加=而（。>0,加,〃€m,且〃>1）.

于是，在条件a>0,机,〃eN,,且〃>1下，根式都可以写成分数指数基的形式.

（2）正数的负分数指数基的意义与负整数指数幕的意义相仿，我们规定

1*

an=—(a>O,/77,/7eN\

an且〃>D

(3)0的正分数指数累等于0,0的负分数指数累没有意义.

2.有理数指数塞

规定了分数指数累的意义之后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数.整数指

数累的运算性质对于有理数指数哥也同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算

性质：

(1)aras=(a>0,r,seQ)；

r

(2)(a)'=(«>0,r,AGQ)；

(3)(ab\=(«>O,b>O,rGQ).

3.无理数指数幕

对于无理数指数毒，我们可以从有理数指数幕来理解，由于无理数是无限不循环小数，因

此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数

累是一个确定的实数.

一般地，无理数指数毒a“(a〉0,a是无理数)是一个确定的实数.有理数指数基的运算性质

同样适用于无理数指数事.

4.分数指数幕与整数指数塞的区别与联系

m

分数指数累加(。>0,北〃eN*,且〃>1)和整数指数幕/都是有理数指数幕，都可以利用有理

数指数累的运算性质进行运算，这是他们相同的部分.整数指数幕表示的是相同因式的连

乘积，而分数指数基/不可以理解为丝个a相乘.

n

三、指数函数

1.指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域是R.

2.指数函数y=a'(a〉0,且awl)的结构特征

(1)底数：大于零且不等于1的常数；

(2)指数：仅有自变量才；

2

(3)系数：a'的系数是一

四、指数函数的图象与性质

1.一般地，指数函数>=。'3>0,且。声1)的图象和性质如下表所示:

Q<a<\a>l

图象u.

y=a^\l

o|X

定义域R

值域(0,+oo)

奇偶性非奇非偶函数

对称性函数片""与尸a'的图象关于y轴对称

过定点过定点(0,1)，即x=0时，y=l

单调性在R上是____________函数在R上是____________函数

函数值的当x<0时，y>1；当x〉0时，y>1；

变化情况

当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<l.

2.指数函数y=a\a〉0,且。工1)中的底数对其图象的影响

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由

大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向.

3

例题讲解

1.分数指数幕与根式的转化

在解决根式与分数指数基互化的问题时，应熟记根式与分数指数幕的转化公式.当要化简

的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幕依次写出.

【例1】下列关系式中，根式与分数指数塞的互化正确的是(C)

A.-4二(一九)'(x>0)B.正=y3(y<0)

C.x2y3='•(x>0,y>0)D.x3=0)

2.指数塞的运算

进行指数暴的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数事，化小数为分数，同

时兼顾运算的顺序.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幕的形式表示

【例2】化简:

I91।_3-2—2—2—2

4X+yXy

⑴加疔+跖;叱；(2)0.001^-(1)°+16+(V2-W;(3)22-2~2.

x3+y3x3-y3

【解】⑴因为它有意义，所以a>0,所以原式期尴.///.涓="+必="。=1.

(2)原式=(10-3户_1+(2产

=10-1+8+23-32=89.

_2_2_2_2

-222233333333

()X+y-x~-y~=(x)+(y)(x)-(y)

1J1-2222—2222

333333

x+yx-yx33x-y

_2_2_2_2_2_2_2_2_2_2

=[(x§)2-x3・y3+(y^)2]-[(x))2+x§・y?+(y^)2]=-2x.

3.知值求值问题

带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所

求式子转化为已知的式子.

1_1

【例3】已知/+〃"=3,求下列各式的值:

(1)(2)a2+a~2.

【解析】(1)将。1+。飞=3两边平方，得a+〃T+2=9,即。+〃T=7.

(2)将〃+0-1=7两边平方,得4，+4--+2=49>「.才+4~=47・

4

4.指数函数的概念

(1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否满足：①优的系数是1；②底数

。满足a>0,且071；③指数是X；④定义域是R.

(2)已知函数类型时，通常设出函数的解析式，利用待定系数法求解.

【例4】已知指数函数/(x)的图象经过(-2,1~),试求/(-1)和/(2)的值.

16

【解析】设/(X)=a\a>0,且aW1),•••函数/(x)的图象经过(-2,口，，­=J_，解得。=±4,

1616

又a>0,则a=4,/(x)=4r,则/(-1)=4T=L，/(2)=42=16.

4

5.指数函数的图象

(1)由于指数函数y=a'(a>0,且awl)的图象过定点(0,1),因此形如

丁=屋罐+。+伙攵工0,。〉0,且的函数图象过定点的问题，可令指数为0,即令x+c=0,

即x=-c,得3；=&+6,从而图象过定点(-c,R+8).

(2)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系总结如下：

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

(3)判断底数大小的方法：过点(1,0)作与y轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交

点的纵坐标即该指数函数的底数.

【例5】如图中的曲线兄C，%&是指数函数的图象，已知对应函数的底数。的值可取为应，

431

则相应于曲线G,C,G,G,a依次为(D)

3105

A.，0，

5

]_34

C.，O,D.0

55To3

5

6.与指数函数相关的定义域和值域问题

（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是丁=优型还是>=型，前者

的定义域是R，后者的定义域与f（x）的定义域一致，而求y=77而型函数的定义域时，往

往转化为解指数不等式（组）.

（2）对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的

值域是（0,+8）.

【例6】（1）函数y=g）问的定义域是,值域是.

（2）函数丁=2的的定义域是,值域是.

【解析】（1）显然函数y=（1）w的定义域是R.

由于|x+l典而所以J有最大值1,即值域为（0,1].

X-1

（2）因为x+lwO,所以xhT,则函数y=2-的定义域是（YO「1）U（-L”）.

因为指数函数的值域是（0,+x）,

x-12—

又——=1-----=1,所以"2,则函数y=2z的值域为（0,2）U（2,+oo）.

x+1x+1

7.指数函数单调性的应用

（1）比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同，若底数相同、指数不

同，可直接利用单调性比较；若底数不同、指数相同，可利用指数函数的图象解决；若底

数不同、指数也不同，可以采用中间量法，中间量常取L

（2）解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单

调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解.

232

【例7】设a=（|j,O=Cj,c=1|J,则a”,c的大小关系是（A）

A.a>c>bB.a>b>cC,c>a>bD.b>c>a

6

32

【解析】对于函数V=(1)\在其定义域上是减函数，•.[>[,二；<：|j,即b<C.

32

在同一平面直角坐标系中画出函数y=(,)x和函数v=(-)x的图象，可知即a>c.从

而b<c<a.故A正确.

8.忽略”的范围导致式子后(aeR)化简出错

【例8】化简：y(i+G)3+y(i一百卜.

【解】1(1+6)3+/1-9=I+G+GT=2百.

9.利用换元法时，遗漏指数函数的值域导致出错

【例9】求函数y=，)'+(g)'+l的值域.

【解】令，=(')”，Ze(0,+oo),则y=/+/+1=«+!)2+』.

224

因为函数y=(f+；)2+,在/e(0,+00)上单调递增，

所以y>1,即函数y=(；)'+(fx+1的值域为(l,+oo).

基础过关

1.函数尸3'(-2Wx〈l)的值域是(B)

A.[3,9]B.[-,9]C.3]D.

3393

2.函数片2小的大致图象是(A)

3.函数〃x)=(g)修的单调递增区间为(B)

A.(1,+8)B.(0,+8)c.(-8,0)D.(-1,1)

4.若a>0,且m，〃为整数，则下列各式中正确的是(D)

7

in

1

A.a"'+a"=a，B.a'"-a"=a""C.a,n"=am+nD.

5.如果a>l,b<-l,那么函数/'(x)=a*+6的图象在(B)

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一'、二、四象限

6.函数的图象是(B)

(D)

A.2<a<3B.-<a<-C.a>lD.0<a<l

32

8.函数f(x)=(a-1)'在(-8,+8)上是减函数，则实数a的取值范围是(C)

A.a>lB.a<2C.Ka<2D.aWl

9.若10小=25,则10'的值为(B)

D.」-

AB.-C.,1

-455625

10.函数f(x)=a(a>0,且aWl)对于任意的实数X、y都有(B)

A.f(灯)=f(x),/(y)B.f(x+y)-f(T),/1(/)

C.f(xy)=f(x)+f(y)D.f(x+y)=f(x)+/(y)

11.化简：(/9)6=xy

2

12.计算(-8)3X

13.函数产2"-1的值域为一1,4-oo)

能力提升

14.已知F(x)=3'+3，若f(a)=4,贝ijf(2a)=(B)

A.4B.14C.16D.18

15.已知函数f(x)=a'+a，且f(l)=3,则/'(0)+3(1)+f(2)的值是(C)

A.14B.13C.12D.11

8

16.已知才0.4°'3,trO.30-4,CFO.3-0%则(A)

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.水ZKc

17.已知函数/(力二亍击是奇函数，则/(/的值等于(C)

A.--B.3C.」或3D.，或3

333

3m-n

18.若10%=2,10"二=4,贝HO2=0

19.已知实数x满足5-10%8*,则尸___________.

4

20.函数尸H*+2(a〉0且的图象一定过定点―(2,3)

21.若a>0且aWl,则函数尸且1-1的图象经过定点—(1,0)一

22.计算下列各式的值:

1(-()0+16075+0.01^；(2)(2；户—(—9.6)°—(，户+(*-2.

(1)0.0645-

,」-15148

【解析】(1)原式二(04)3—1+164H—=—1+8H—=—；

102105

(2)品9

23.已知函数/'(x)=a—(x20).其中a>0且aWl.

(1)若/'(x)的图象经过点(2,g)求a的值；(2)求函数片/'(x)(*20)的值域.

【解析】〈D出数图象过点[2,；],

所以，则a=:；

27

(2)/(x)e(A>O),

由x>Q得x—1>—1f

当0vo<l时，/&r】,所以/(X)的值域为(0,<r]]j

当o>l时，心1次1,所以/(x)的值域为51，y>>.

24.已知函数f(x)=(▲)”,a为常数，且函数的图象过点(-1,2).

2

9

(1)求a的值；(2)若g(x)=4一'-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.

【解析】(1)由已知得(L)"=2,解得才1.(2)由(1)知f(x)=('),,又g(x)

22

=f(x),则4'-2=(L)即([)*-(!)"-2=0,即[(L)/了-(1)■,-2=0,令(！)

242222

*=3则t2-t-2=0,即(t-2)(Z+1)=0,又t>0,故t=2,即([)'=2,解得A=-1满足

2

条件的X的值为-1.

真题再现

25.【2018年新课标I卷文】设函数=则满足/(x+l)</(2x)的x的取值

Lx>0

范围是(D)

A.(f,-1]B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(—,0)

26.(2017•高考新课标I卷理)已知集合4={x|水新,B={x\3x<l},则(A)

A.An8={x|x<0}B.AU8=R

C.AU8={X|X>1}D.AC|8=0

27.(2017•高考北京卷)已知函数/(x)=3'-(；)x,则/(x)=(A)

A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

28.(2017•高考新课标III卷)设函数=f+则满足/(幻+/*_1)>1的x的取值范

2A,x>0,2

(二+oo)

围是_4，+0°.(偏难，原考题放在高考考题的16题，初学可否删掉？)

2.2对数函数

一、对数

1.对数的概念

(1)对数:一般地，如果优=N(a>0,且"1),那么数x叫做以a为底A'的对数,记作,

其中a叫做对数的底数，及叫做真数.

(2)常用对数：通常我们将以为底的对数叫做常用对数，并把IO&QN记为lgN.

10

(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底数的对数，以e为底的

对数称为自然对数，并把log。N记为In儿

2.对数与指数的关系

当a>0,且时，a"=Nob=log,,N.即

a>0aWl

ab=NbTo&N

N>0十

3.对数的性质

根据对数的概念，知对数log,,N(a>0,且aMl)具有以下性质:

(1)负数和零没有对数，即N>0；

(2)1的对数等于0,即log.1=0；

(3)底数的对数等于1,即log»=l.

二、对数的运算

1.基本性质

若a>0,且"l,N>0,则

(1)a哨'=；

(2)log“〃=.

2.对数的运算性质

如果a>0,且aHl,M>0,N>0,那么:

(1)\oga(M-N)=

(3)logM=(«eR).

三、换底公式及公式的推广

1.对数的换底公式

11

IngN

logfcN=——(b>0,SJ)*l;c>0,Kc\-,N>0).

log加

【注】速记口诀：

换底公式真神奇，换成新底可任意，

原底加底变分母，真数加底变分子.

2.公式的推广

(1)log〃6=」一(其中a>0且awl；力0且bHl)；

log,,a

(2)log,/"=log“》(其中a〉0且awl；b>0)；

(3)\og„bm=-\ogb(其中a>0且a关1；»0)；

ana

(4)logjb=-\ogab(其中a>0月.owl；b>0)；

a

(5)log„b-log/7c-logc.d=log;,d(其中a,b,c均大于0且不等于LcZ>0).

四、对数函数

1.对数函数的概念

一般地，我们把函数y=log“x(a>0,且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义

域是____.

2.对数函数y="(a〉0,且。工1)的结构特征

(1)对数符号前面的系数是1；

(2)对数的底数是不等于1的正实数(常数)；

(3)对数的真数仅有自变量工

五、对数函数的图象与性质

1.一般地，对数函数y=log“光(。>0,且。工1)的图象和性质如下表所示：

Ovacla>\

12

对数增减有思路，函数图象看底数;

底数只能大于0,等于I了可不行;

底数若是大于1,图象从下往上增;

底数0到1之间，图象从上往下减;

无论函数增和减，图象都过(1,0)点.

2.对数函数y=log”x(a>0,且aw1)中的底数对其图象的影响

在直线尸1的右侧，当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图

象越靠近x轴，即“底大图低”.

六、反函数

根据指数与对数的关系，将指数式丁=优(。〉0,且。/1)(其中》是自变量，且xeR,y是

x的函数，ye(0,+8))化成对数式，即无=log〃y,于是对于任意一个ye(0,+oo),通过式

子x=log〃y都有唯---个xeR与之对应，这样将y看成自变量，x是y的函数，这时我

们就说x=log”y(ye(0,+oo))是函数y=a*(xGR)的反函数.

13

由于习惯上将X看成自变量，而将y看成因变量，因此，我们将x=log“y中的x,y互换,

写成y=log“x（尤e（0,+oo））,即对数函数y=log"X（xe（0,+8））是指数函数y=优（尤eR）的反

函数，它们的图象关于直线y=x对称.

例题讲解

1.对数的概念

解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）

即可.对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之

间的对应关系.

【例1】在对数式log（,T（3-x）中，实数x的取值范围应该是（D）

A.Kx<3B.x>l且x#2c.x>3D.1<水3且x#2

'3-x>0

【解析】要使对数式log：i）（3-x）有意义，需，x-l>0,解得l<x<3且/2.

x-1

2.对数运算性质的应用

对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等

式，化简的原则是：

（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；

（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；

（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）.运算时要灵活运用对数的相关公式

求解，如log"=l（a>0,且"1）,log“b.log&a=l等.

【例2】计算：(1)log互+&(6-拒)-2*9；(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2.

【解析】⑴因为logo/（道一正心侬普了

\/3+->/2

2匕丸9==2匕殳抬=后,

所以log方由比_6_炸9=_”出.

(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

3,换底公式的应用

14

换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底

公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e

为底的自然对数.

【例3】已知=^,log74=Z?,试用表示log4948.

【解析】vW=」,，。=蚂.•••1(唱74="...〃=处.

⑺3lg71g7

mJ40lg48lg4lg3,a2b+a

则1(峪4948=-^—=耳+-^=6+—=--------.

49lg49lg721g722

【点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数(当然也可以换成其他非

1的正数为底).

4.对数方程的求解

解对数方程时，(1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；(2)化简后得到关于

简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解.

【例4】方程log2(91-5)=log?(3,T-2)+2的解为.

x1

【解析】..Tog式产-5)=log2(3--2)+2,

I1I,

.1.log2(9--5)=log2[(3--2)x4],

.­.9I-1-5=4(3I-1-2),即(31)2-12><31+27=0,即(3*-3)(3"-9)=0,解得3*=3或3r=9,

则x=l或x=2.

当x=l时，9z-1-5<0,3网一2<0,故舍去.

从而x=2.

【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解.另外,

解对数方程必须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必

不可少的步骤.

5.与对数函数有关的函数的定义域和值域

定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注

意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应

保证底数大于0且不等于1.同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等.

15

求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓

住中间变量的取值范围.

【例51已知函数f(x)=log3(2-x)+log3(x+6).

(1)求函数/(x)的定义域；(2)求函数/(x)的最大值.

【解析】(1)由题意得广">°,解得-6<x<2,故函数/(x)的定义域是(-6,2).

x+6>0

=—

(2)f(x)=log3(2—x)4-log3(x4-6)log3(—4-x+12)»xG(-6,2).

令，=一炉一4%+12=—(%+2)2+16,则re(0,I6].又y=log3,在re(0,16]上为增函数，，

/(x)的最大值是/(-2)=log316=41og,2.

【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则.由对数函数组成的复合

函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围

6.对数函数的图象

对数函数y=log“x(a>0,且axl)的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的

图象过定点的问题，只需令真数为1,解出相应的x,y,即可得到定点的坐标.

当底数。>1时，对数函数/(x)=log"X是(0,+oo)上的增函数，当1>1时，底数。的值越小，

函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数0<。<1时，对数函数/(x)=log“尤是(0,+oo)

上的减函数，当0<x<l时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也

可作直线片1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向

右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.

【例6】设。>0,且函数y=2+log.(x+2)的图象恒过定点尸，则尸点的坐标是(A)

A.(-1,2)B.(2,-1)C.(3,-2)D.(3,2)

【解析】当x+2=l,即x=-l时，y=2+logKx+2)=2恒成立，故函数y=2+log0(x+2)的图象恒

过定点尸(-L2),故选A.

【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数产log“x(a>0,且awl)的图象过定点(1,0),

不必分a>1和0<a<1两种情况讨论.

16

7.对数函数单调性的应用

(1)比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单

调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，

再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较

底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1,0等中间量进行比较.

(2)解简单的对数不等式：形如log”x〉log*的不等式，常借助产log〃x的单调性求解，

如果。的取值不确定，需分。>1与0<。<1两种情况进行讨论；形如log.的不等式，

应将人化为以“为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解.

_111

【例7】已知a=23,Z?=k)g2-,c=log|-，则(C)

3T3

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>hD.c>h>a

-1.11

【解析】0<a=2-<2W=l,d=log-<iog-,l=0,c=logi—=log、3>log2=1.\c>a>b,

23J325

故选C.

【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1,0

来进行比较.

8.对数型复合函数的性质及其应用

(1)对数复合函数的单调性

复合函数尸Hg(x)］是由尸f(x)与度g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性

相同，则其复合函数Hg(x)］为增函数；若/'(X)与g(x)的单调性相反，则其复合函

数(X)］为减函数.

对于对数型复合函数片log"(X)来说，函数度log/(X)可看成是片log”与u=f(X)

两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性''同增异减”的规律即可判断.另外，在求

复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域.

(2)对于形如产log"(x)(a>0,且aWl)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成片log/，u=f(X)两个函数；

②求f(X)的定义域；

③求U的取值范围；

④利用尸10g,u的单调性求解.

17

【例8】讨论函数/(x)=log“(3x2-2x-l)的单调性.

【解析】由3*-2xT>0,得函数的定义域为{x|x〉l或矛<-'}.①当a〉l时，若x>1,Y£/=3f

3

-2^-1为增函数，.•.F(x)=log“(3*Vx-l)为增函数.若求-1，•.•史3VVx-l为减函数,

3

:.f3=loga(3系也x-1)为减函数.②当0<a<l时，若*>1,则f(x)=logfl(37-2%-1)

为减函数，若求」，则/'(*)=loga(3/^z-l)为增函数.

3

【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别

求片F(u),(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性.

9.K易错——忽略真数大于0

【例9】已知lgx+lgy=21g(2x-3y),求logs—的值.

2y

【错解】因为Igx+lgy=21g(2x-3y),所以砂=(2%-3»,即4/一13孙+9y?=0,即

QY

(x-y)(4x-9y)=0,解得x=y或x=—y.所以log3—=log31=0或

4-Di

【错因分析】错解中，Igx+lgy=21g(2x-3y)与孙=(2x-3y)2对的取值范围要求是不同

的，即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证.

Q

【正解】同错解，得至Ux=y或兀=^^.由lgx+lgy=21g(2x—3y)知，x>(),y>0,2x-3y>0,

当％=丁时，2x-3y<0,止匕时lg(2x—3y)无意义，所以x=y,即log?±=kg1=0应舍去；

”i

2

当X=gy时，log3-=log3=log,(-^)=2.

45y5422

【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时

很容易忽略原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增

根或范围扩大，因此要求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验.

10.K易错——忽略对底数的讨论

【例10】不等式log/4-x)>-log〕x的解集是.

18

llE^l-/-log1x=logax,

a

，原不等式等价于log<4-力>logaX，

x>0

当a>l时，-4-x>0,解得(K;r<2.

4-x>x

x>0

当0<a<l时，U-x>0,解得2<x<4.

4—x<x

不等式log14-力〉-loglx的解集为(0,2)U(Z4).

a

【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一

定要检验；二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，

最后通过解不等式组得到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了.

基础过关

1.log?§+k>g26等于(B)

A.1B.2C.5D.6

2.实数(-g)°+lg4+21g5的值为(C)

A.1B.2C.3D.4

3.已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),则/4(1)=(C)

A.1B.log26C.3D.log29

4.若log2〃+log/=2,则有(C)

2

A.a=2bB.b^2aC.a-AbD.4a

5.设〃log2X)=2v(x>0),则f(3)的值是(B)

A.128B.256C.512D.8

6.Iog51+log53等于(A)

3

A.0B.1C.-1D.log,—

3

1231

7.若<3=(一)3左(一)？，(?=log3,则ab,c大小关系是(A)

242

19

A.水伙。B.b<a<cC.b<c<aD.c〈伙a

3

8.若43°”,Z^O.4,c-logo.43,贝ij(D)

A.从水。B.c<.a<bC.a<c<bD.c〈欣a

9.若5"=2}=102且a6c#0,则£+二=(A)

ab

A.2B.1C.3D.4

10.已知log/vlogib,则下列不等式一定成立的是(A)

22

A.(；)”<(¥B.L>：C.In(a-Z>)>0D.3,,-4<l

11.函数y=Jlg(x+2)的定义域为—(-1,+8).

12.函数尸Igx的反函数是片1（/

13.函数/1(x)=5/1-Inx的定义域为(0,e]

14.设2*5'=加，且!+,=2,则加的值是__M.

xy

15.方程log2(2-x)+log2(3-x)=log212的解A=-1

能力提升

16.已知/'(x)=lg(10+%)+lg(10-%),则/'(x)是(D)

A.fQx）是奇函数，且在（0,10）是增函数

B.f（x）是偶函数，且在（0,10）是增函数

C.f（x）是奇函数，且在（0,10）是减函数

D.f（x）是偶函数，且在（0,10）是减函数

17.设正实数a,6满足6"=2：则（C）

bbhb

A.0<-<lB.l<-<2C.2<-<3D.3<-<4

aaaa

18.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限"约为3.，而可观测宇宙中普通物质的原子

总数N为10*则下列各数中与丝最接近的是（D）

N

A.1033B.1053C.10"D.1093

19.若log?(log3a)=log3(log/)=log,t(log2c)=1,贝I]a,b,c的大小关系是(D)

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>d>a

20.若正实数必y满足log?(户3y)=logi/+log2(2y),则广3y的最小值是(D)

20

A.12B.10C.8D.6

21.对任意的正实数x,y,下列等式不成立的是(B)

A.Igy-lgA=lg—B.1g(矛+y)=lgx+lg优.lgf=31gxD.1g-111r

xInlO

22.设函数尸/'(x)的图象与尸log?(户a)的图象关于直线片-x对称，且/'(-2)+/'(-

1)=2,则a=(D)

A.3B.1C.2D.4

23.已知函数f(x)=ln(-7-2^-3),则/'(x)的增区间为(B)

A.(-8,-i)B.(-3,-1)C.[-1,+8)D.[-1,1)

24.已知函数“x)=log1(x2_4x-5),则函数f(x)的减区间是(C)

2

A.(-8,2)B.(2,+8)C.(5,+°°)D.(-8,-1)

25.已知R上的奇函数F(x)满足当时，f(x)=log2(1-%),则f(/XI))=(C)

A.-1B.-2C.1D.2

22

26.若实数a,6满足a>6>l,炉log”(log力)，n=(log„/?),I=logoZ>,则加，n,/的大小

关系为(B)

A.ni>l>nB.7>77>ZZ?C.ri>l>mD.1>ni>n

27.函数f(x)=log“(3-ax)(a>0且aWl)在区间(a-2,a)上单调递减，则a的取值

范围为—{a|l〈aW6}.

28.已知函数/'(x)=a・2'+3-a(aGR)的反函数为尸尸(x),则函数尸尸(x)的图象

经过的定点的坐标为(3,0).

29.若函数f(x)=log“(X,-ax+l)(a>0且aWl)没有最小值，则a的取值范围是—(0,

1)U[2,+8)

on4/27

10gs3S72

30.(1)2log32-log3y+log38-25；(2)log3^y-+lg25+lg4+7'°.

【解析】⑴原式=log：4—log3蓑+log：