考点24 排列与组合（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）解析版

考点24排列与组合(核心考点讲与练)

i.排列与组合的概念

名称定义

排列从〃个不同元素中取出按照一定的顺序排成一列

组合勿(加W〃)个不同元素合成一组

2.排列数与组合数

(1)从n个不同元素中取出0个元素的所有排列的个数,叫做从〃个不同元素中取出m

个元素的排列数.

(2)从〃个不同元素中取出必个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出小

个元素的组合数.

3.排列数、组合数的公式及性质

n!

⑴A〃一〃（771）（〃2）…（〃/〃+］）=z、［.

m）!

/、A：〃（〃一1）（〃一2）…（/7-1+1）

公式（2）C-八#一t

nAm

n!

—,z、।（〃，/〃£N,且辰〃）.特别地C〃一1

m!（―一））！

（1）0!=1；A：=〃！.

性质

（2）c：=cnC+F+CF1

1.求解排列应用问题的6种主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排

捆绑法

列

插空对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

法素排列的空当中

定序问

题

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法处

理

间接法正难则反、等价转化的方法

2.两类有附加条件的组合问题的解法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另

外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与

“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直

接法分类复杂时，用间接法求解.

3.排列、组合问题的求解方法与技巧

⑴特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选

后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题倍除法处

理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模

型；（10）正难则反，等价条件.

4.解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点

（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排

列.

（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有

序是排列问题.

②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步,

这是处理排列、组合的综合问题的一般方法.

排列

1.（2021哈六中高三上学期期中考试数学（理））用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位

数，其中奇数不相邻且1、2必须相邻，则满足要求的六位数共有（）个

A.72B.96C.120D.288

【答案】A

【分析】根据题意，按1和2两个数按“12”的顺序和“21”的顺序捆绑，利用插空法可得

答案.

【详解】解：根据题意，1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，

排好后，要求奇数互不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，

有ZHA：=72种排法，即有72个符合条件的六位数；

故选：A.

2.（2021湖南省永州市高三上第一次适应性考试）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘

南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔

鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》

与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（）

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】利用插空法求解即可.

【详解】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，

有彳：=24种排法；

第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节H的间隙或者两端，有20种

插法；

所以共有24x20=480种不同的安排方法.

故选：A

3.（2021新疆喀什地区莎车县一中高三上期中）7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、

乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（）

A.480种B.720种C.960种D.1200种

【答案】C

【分析】甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行

全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据内和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙

和丁.得到结果.

【详解】解：由题意知，

甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，

与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，

把形成的五个空选两个排列丙和丁，

根据分步计数原理知共有492席=960种.

故选：C.

更自组合

1..某中学为了发挥青年志原者模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.

该校决定成立一个含有甲、乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A和8两

个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲、乙两人不同在

一个社区的分配方案种类有（）

A.4B.8C.10D.12

答案】B

【分析】分两种情况讨论，A和3两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，

以及A和B两个社区分别有两个志愿者，即得解

【详解】由题意，分情况讨论，若A和。两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志

愿者，则只需让甲或乙单独去一个社区即可，共2x2二4种情况；

若A和H两个社区分别有两个志愿者，则共有C；x2=4种情况；

因此共：4・4.8种不同的分配方案

故选：B

2.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4:

种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后

利用先选后排思想求解.

詹向排列组合的综合运用

1.从将标号为1,2,3,--9的9个球放入标号为1,2,3,…，9的9个盒子里，每个

盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）

A.84B.168C.240D.252

【答案】B

【分析】先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，是组合问题，可得其排法数，进而

分折可得三个标号与其在盒子的标号不一致的排法数，由分步计数原理，计算可得结果.

【详解】解：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球，

即从9个球中取出3个，有C；利而这3个球的排法有2X1X1=2种，

则共有2C；=168种，

故选:B.

【点睛】方法点睛:有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才

能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中

要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，

既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

2.（2021宁夏银川一中高三上学期第二次月考）有12名同学合影，站成了前排4人后排8

人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方

法的种数是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先从后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保证前排入顺序不变可用倍缩法，

再由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】解：从后排8人中抽2人有C；种方法；

将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有三种，

A：

由分步乘法计数原理可得：共有C：•爷=28x6x5=840种，

故选：C.

3.（2021江苏省南通市海安高三第一次月考）为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，

传颂英雄事迹.某校团支部6人组建了党史宣讲，歌曲演唱，诗歌创作三个小组，每组2

人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有（）种

A.60B.72C.30D.42

【答案】D

【分析】分别求得将6人平均分3个不同组的种数，甲在歌曲演唱小组的种数，乙在歌曲诗

歌创作小组的种数，以及甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作的种数，即可求解.

・4=90种,

【详解】由题意，将6人平均分3个不同组,"下"

此时有华

甲在歌曲演唱小组,•&=30种,

乙在歌曲诗歌创作小组,此时有•片=30种,

甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作有A：=12种,

故共有90-30-30+12=42种.

故选:D.

1.（2021年全国高考乙卷数学）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰

球和冰壶4个项目进行培训I,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，

则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项H中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!

种，根据乘法原理，完成这件事，共有4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后

利用先选后排思想求解.

2.（2020年全国统一高考（新课标H））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名

同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

【答案】36

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合

和乘法计数原理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区

至少安排1名同学

，先取2名同学看作一组，选法有：C：=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：用=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使

用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

一、单选题

1.（2022•全国•模拟预测）若从甲、乙2名女志愿者和6名男志愿者中选出正组长1人，

副组长1人，普通组员2人到北京冬奥会花样滑冰场馆服务，且要求女志愿者甲不能做正组

长，女志愿者乙不能做普通组员，则不同的选法种数为（）

A.210B.390C.555D.660

【答案】C

【分析】分为四种情况即可得出答案，第一种4人均从6名男志愿者中选取，第二种女志愿

者甲被选中且乙没有被选中，第三种女志愿者乙被选中且甲没有被选中，第四种女志愿者甲

、乙均被选中.

【详解】若4人均从6名男志愿者中选取，则不同的选法种数为C；1cC；=180：

若女志愿者甲被选中且乙没有被选中，则不同的选法种数为C；C；+C；CC：=180；

若女志愿者乙被选中且甲没有被选中，则不同的选法种数为C：C；x2=12（）：

若女志愿者甲、乙均被选中，则不同的选法种数为C；+C：C；x2=75.

所以满足题意的不同选法种数为180+180+120+75=555.

故选：C.

2.（2021•全国•模拟预测）为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思

想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、

主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心

组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案

共有（）

A.12种B.28种C.20种D.16种

【答案】C

【分析】分中心组学习在第1阶段和第2阶段分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可.

【详解】若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有12（种）：若

中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3,4阶段或者第4,5阶段，

专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有2&A；=8（种）.故

共有12+8=20种不同的安排方案，

故选：C.

3.（2022•广东汕头•一模）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥

会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服

务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（）

9324

A.—B.-C.—D.一

164279

【答案】D

【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至

少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数,再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务

的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有C：=6种分法，

然后将3个项目全排列，共有阀=6种排法，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为6x6=36种，

因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数34=81种，

所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为3二6=一4，

819

故选：D

4.（2022•山东潍坊•一模）第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.

现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多

有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（）.

A.72种B.84种C.96种D.124种

【答案】C

【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出自愿者，然后再排列.

【详解】第一步，选出的自愿者中没有女生共=4种，只有一名女生共C：C；=12种;

第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有A；=6.

所以，不同的选择方案共有（12+4）x6=96种.

故选：C

5.（2022•重庆•一模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶

4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同

的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!

种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后

利用先选后排思想求解.

6.（2022•重庆市求精中学校一模）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥

物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现

代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会,某学校决定派小明和小

李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物,

且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得

结果.

［详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，

当三人组中包含小明和小李时，安装方案有C；&=6种：

当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有用=2种，共计有6+2=8种，

故选:A.

7.（2022•全国•高三专题练习）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输

入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排4B,C,D,£•五名同

志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且4,6两人安排在同一个地区，

C,〃两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（)

A.30种B.36种C.42种D.64种

【答案】A

【分析】由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一

个地区分3人两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解.

【详解】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有=12种；

②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有C；•父=18种.

故满足条件的分法共有12+18=30种.

故选：A

8.（2022•全国•高三专题练习）为迎接2021年9月15日-9月27日的第十四届全国运动

会，某单位准备组织一场混合双打比赛，现从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中

各选2名选手进行一场混合双打比赛，则不同的选择方法有（）

A.150种B.300种C.450种D.600种

【答案】B

【分析】由题意知先从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手，由于进

行一场混合双打比赛，再使女乒乓球爱好者要在男乒乓球爱好者上排列，根据分步计数原理

得到结果.

【详解】由题意知从6名男乒乓球爱好者和5名女乒乓球爱好者中各选2名选手，共有

种结果，

•••由于进行一场混合双打比赛，

A两名女乒乓球爱好者要在两名男乒乓球爱好者上排列，

根据分步计数原理知共有C/CX=300种结果，

故选：B.

9.（2022•全国•高三专题练习）“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神

的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为

国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份

出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞

献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP,她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最

佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于

两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（）

【答案】B

【分析】利用排列组合与概率的定义，进行计算即可

【详解】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则

不同的排法有C；A；A；=24种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有

,,81

2A：A；=8种，所以所求概率P=—=一

243

故选：B

二、多选题

10.（2022•江苏常州•高三期末）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行

着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）

A.A；x况B.A：xA：

c.D.C；XA；+C：X(6『

【答案】ACD

【分析】选项ACD均可以对其每一步的方法数进行合理解释，而选项B方法总数错误，不能

对其每一步的方法数进行合理解释.

【详解】选项A：表示先着色中间两格下面一格.从4种颜色取3种，有阀个方法，上面一

格，从与中间两格不同的颜色中取出一个，有£个方法，故共有&£=48个不同方法.

正确；

选项B：A：X%=144.方法总数不对.错误；

选项C：表示先对中间两格涂颜色.从4种颜色取2种，共有&个方法，上下两格都是从

与中间两格不同的颜色中取出个，有A；个方法.故共有/（闻了=48个不同方法.正确;

选项D：表示两种情况：①上下两格颜色相同，中间两格从3个剩下的颜色取2种，共有

个不同方法；②上下两格颜色不同，中间两格从2个剩下的颜色取2种，共有

《国曷个不同方法.综合①②可知方法总数为：C：&+C：（M）2=48个不同方法.

正确.

故选：ACD

11.（2022•重庆市朝阳中学高三开学考试）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭

州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的

是（）

A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为5"

B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4C：

C.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四

项工作，则不同安排方案的种数是阀+C；河

D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方

法数为用

【答案】ABD

【分析】根据分步乘法计数原理判断A、B,对开车的人员分类讨论利用分步乘法计数原理

及分类加法计数原理判断C,按照部分平均分组法判断D；

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种

安排方法，故A错误；

对于8,根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4

项工作，有禺种安排方法，故8错误；

对于C,根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊

中选出1人开车，则有+种安排方法，C正确；

对于。，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三

组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有A；种情况，则有蜀种安排方法,D

错误；

故选：ABD.

三、填空题

12.（2022•四川•宜宾市叙州区第一中学校二模（理））某地区突发传染病公共卫生事件,

广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情.某医院呼吸科共有4名医生，6名护

士，其中1名医生为科室主任，1名护土为护士长.根据组织安排，从中选派3人去支援抗疫

一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有1人参加，则不同的选派方案共有

_____种.

【答案】51

【分析】对于特殊元素科室主任和护士长分类讨论，分别求出各种情况的选派方案数，再相

加即可；

【详解】解：选派3人去支援抗疾一线，方案有下列三种情况：

（1）科室主任和护士长都参加，有G=8（种）选派方案，

（2）科室主任参加，护士长不参加，有。；+。卜以=25（种）选派方案，

（3）科室主任不参加，护土长参加，有C-C；+C；=18（种）选派方案，

故符合条件的选派方案有8+25+18=51（种）.

故答案为：51

13.（2022•湖南岳阳•一模）有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，

其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有种.（结果用数字作答）

【答案】36

【分析】先考虑相声、跳舞相邻的情况，再考虑考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形,

利用捆绑法与间接法可求得结果.

【详解】先考虑相声、跳舞相邻的情况，只需将相声、跳舞这两个节目进行捆绑，形成一个

大元素，

然后再将这个“大元素”与其它三个节目进行排序，共有A；A：=48种排法.

接下来考虑相声节目与小品、跳舞都相邻的情形，需将相声与小品、跳舞这三个节目进行捆

绑，

其中相声节目位于中间，然后将这个“大元素”与其它两个节目进行排序，

此时共有A；A；=12种排法.

综上所述，由间接法可知，共有48-12=36种不同的排法.

故答案为：36.

14.（2022•湖南湖南•二模）一次考试后,学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，

其中有2位是高三（1）班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三（1）班的2

人同时参加，则2人作报告的顺序不能相邻，则要求高三（1）班至少有1人参加的作报告

的方案共有种.（用数字作答）

【答案】3024

【分析】就高三（1）有1人参加还是有2人参加分类计数后可得正确的结果.

【详解】若高三（1）班只有1人参加，则有C；C；&=2688种不同的方案；

若高三（1）班2人都参加，则有用卷=336种不同方案，故共有3024种不同的方案.

故答案为：3024

15.（2022•浙江•模拟预测）某九位数的各个数位由数字1,2,3组成，其中每个数字各

出现3次，且数字1和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是用数字作

答）

【答案】92

【分析】排好三个3后，将剩下的三个1和三个2进行分组，利用插空法，分类讨论不同分

组下的情况，再由分类加法计数原理计算.

【详解】由题意，先排三个3,则有C；=l种情况，剩下的三个1和三个2分组，若分为4组：

1,2,11,22或1,1,1,222或2,2,2,111,插空得A：+2A：=32种；若分为3组：111,2,22或222,1,11,

插空得2阀=48种；若分为2组：111,222,插空得&=12,所以共有

C；x（M+24+2国+4）=32+48+12=92种.

故答案为：92

16.（2022•江西鹰潭•一模（理））2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、

丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去

一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为.

【答案】65

【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方

案数，即得.

【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有，种，

若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有24种，

故人民公园一定要有人去的不同游览方案有34-24=81-16=65种.

故答案为：65.

17.（2022•浙江温州•高三开学考试）将标有1,2,3,4,5,6的6个球放入A,B,C

三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放4盒子中，2号和3号球都不放6盒子中，

则共有种不同的放法（用数字作答）.

【答案】27

【分析】按照I号球是否放在6盒子分类，结合.

【详解】若1号球放在6盒子中，共有C；C：=18种放法；

若1号球放在6■盒子中，共有C；C；=9种放法；

所以共有放法总数为18+9=27.

故答案为：27.

18.（2022•全国•高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，

其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有—

种不同分配方案.

【答案】85

【分析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或。个名额三种情况，然后其余的情况

先分给1班1个名额，2班、4班每班各2个名额，再将剩下的分给1,2,4班，每班至少一

个名额，用隔板法可求解.

【详解】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或。个名额三种情况.

(1)、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8

个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.

相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别

得到一组，有。=21种分法.

(2)、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9

个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.

相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别

得到一组，有C；=28种分法.

(3)、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的

10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.

相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别

得到•组，有仁=36种分法.

所以一共有21+28+36=85种不同的分配方案.

故答案为：85.

【点睛】本题考查隔板法的应用，等价转化是关键，属于中档题.

19.(2022•全国•高三专题练习(理))某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事

先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最

下面的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉)，则这10条灯谜依次被

选中的所有不同顺序方法数为.(用数字作答)

【答案】25200

【分析】由题意可知，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜，所

以本题是定序问题，故结合倍缩法即可求出结果.

【详解】一共有10条灯谜，共有然种方法，由题意可知而其中按2,3,3,2组成的4列

相对位置不变,所以结合倍缩法可知共有=25200种，也即是这10条灯谜依次被

4；看父耳

选中的所有不同顺序方法有25200种

故答案为：252（X）.

20.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全

部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是

（用数字作答）.

【答案】90

【分析】根据有六个集装箱，需要全部装运，得到醴种取法，再根据每次只能从其中一堆

取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题求解.

【详解】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有父=720种取法，

又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，

由排列中的定序问题，可知不同的取法有二条3=丁=90种.

故答案为：90.

【点睛】本题主要考查排列的应用，还考查了分析问题求解问题的能力，属于中档题.

21.（2022•河北保定•一模）2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务

点,现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处,每处需要至少2名至多4名志愿者，

则不同的安排方法一共有种.

【答案】22050

【分析】由题意可得分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2,4,4或3,3,4,然后

根据分类加法原理和分步乘法原理可求得结果

【详解】根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2,4,4

或3,3,4,

所以不同的安排方法一共警G&+华G.8=22050,

故答案为：22050

22.（2022•重庆八中模拟预测）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所

著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、

五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学

研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数

算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收

集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有种.

【答案】126

【分析】按甲收集资料的种数分类讨论，先确定甲收集资料的种数剩下的分成三组分给乙、

丙、丁三人收集.

【详解】据题意，甲可收集1种或2种资料.

第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有C；C：&=108

种；

第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有用=18种.

所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.

故答案为：126.

23.（2022•全国•高三专题练习）清华大学有6名同学准备在北京2022年冬奥会期间担任

志愿者，去46两个场馆进行工作.现需制定工作方案，将6人分成2组，每组3人，每组

各指定一名组长，再将两组分别指派到46两个场馆，则不同的工作方案数为.

【答案】180

【分析】先根据平均分组问题将6人分成两组，再选出各组队长，最后分配到两个场馆即可.

【详解】解：根据平均分组问题将6人分成两组，每组3人，有空_=10种不同的分法；

2

再选各组的组长，有C；•C；=9种情况，

最后将两组分配到48两个场馆，则有厘=2种可能，

所以，根据乘法原理得共有C空・C；・C；•&=180种不同的方案.

故答案为：180

24.（2022•贵州贵阳•一模（理））在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项

目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25II还有8个名额空缺，需要分配给3

个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是.

【答案】12

【分析】首先确定各单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方

法数，即可得结果.

【详解】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有｛1,2,5｝、｛1,3,4｝两种,

对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有国种，

所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为2A；=12种.

故答案为：12.

25（2022•全国•高三专题练习）甲、乙、丙、丁4个小球放入编号分别为A,B,C,D

的四个盒子中，恰好只有一个空盒，若乙只能放入A盒，甲不能放入力盒，则分配方法共

有种.（用数字作答）

【答案】26

【分析】。为空盒时，。中放一个球时，。中放两个球时，依次计算即可得出结果.

【详解】。为空盒时，若A中只有一个球时A中有两个球时，则方法数为

.用=12,

D中放一个球时，只能为丙或丁，若A中只有一个球时，另外两个球放入一个盒中C；,A

中有两个球时C\-C\,则方法数为C；©•C；+G）=12,

。中放两个球时，只能是丙丁，甲放入氏C中的一个，方法数为C；=2.

综上方法数为12+12+2=26种.

故答案为：26

26（2022•全国•高三专题练习（理））中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》

、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣

研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有.

【答案】54

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲选择了《春秋》，②甲没有选择《春秋》，分析每

种情况下的分法数目，由加法原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

①，甲选择了《春秋》，乙有3种选法，将剩下的三本书全排列，对应丙、丁、戊3人，有大=6

种情况，则此时有3x6=18种分法;

②，甲没有选择《春秋》，则甲的选法有3种，乙的选法有2种，将剩下的三本书全排列，

对应丙、「、戊3人，有用=6种情况，则此时有3x2x6=36种分法；

则一共有18+36=54种选法.

故答案为：54.

考点24排列与组合（核心考点讲与练）

考点考向

1.排列与组合的概念

名称定义

排列从〃个不同元素中取出按照一定的顺序排成一列

组合R(加个不同元素合成一组

2.排列数与组合数

(1)从〃个不同元素中取出〈垃个元素的所有排列的个数,叫做从〃个不同元素中取出勿

个元素的排列数.

(2)从〃个不同元素中取出加个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出m

个元素的组合数.

3.排列数、组合数的公式及性质

Z?!

(1)A〃一干(〃1)(〃2)…(〃加+1)—(、［.

(nm)!

A：n(77—1)(Z7-2)…(〃-m+1)

公式(2)C：--.

AVmml

n1

—.z、1(〃，加，且特别地c〃一1

加(〃一M!GN-

(1)0!=1；A，=〃！.

性质

Zn\p®_fyn—m_p®l1

l乙，5—5；L/J+1-

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排

捆绑法

列

插空对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

法素排列的空当中

定序问

题

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

除法处

理

间接法正难则反、等价转化的方法

2.两类有附加条件的组合问题的解法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另

外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与

“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直

接法分类复杂时，用间接法求解.

3.排列、组合问题的求解方法与技巧

⑴特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选

后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6