初中数学-经典几何模型大

初中数学：经典几何模型大汇总

几何作为很多人的学习难点，一直都是很多学生的学习难点。很多学生在初中几何的学习过

程中都会遇到两个问题，一是定理定义记不住，在需要运用时想不起来，二是记住了做题时

又不知该用哪个，思维跳跃、逻辑混乱是很多孩子在学习几何的过程中遇到的问题。

下面瑞德特刘老师分享一组初中几何模型大汇总，临近期末考试了，有需要的家长可以作为

复习资料拿给孩子看看，一定会对孩子的学习有所帮助的。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

<1>等边三角给

a条件：A048.AOCD均为等边三角形

a结论：①AOJC・SOBDj②乙（£8・60°；③。£平分LAED,

⑵等朦R7A

aA"/8，ACK/）均为等腰直角三角形

»结论：①A（M（•M）BD,②LAEH-90\

a③OE平分乙（口）。

<3）任意等腰三角形

/>/，

»条件：ACM8.AO8均为等腰三角形

a结论：①A。4c.AOBD.②LAEB-LAOB.

A③（把平分乙|£以

A模型二:手拉手模型-旋转型相似

⑴FS；兄

A条件：CD//AB,将AOCD旋转至右图位置

A结论：

a右图中①AOC0sA048=AQ4ct^OBDt

a②延长AC交8D于点E,必有乙BEC.LBOA

<2)

a条件：CDSB,乙〃M.90。，将AOC/）旋转至右图

位贯

A结论：右图中①AOCDSAO/H。AO/cAOBD；②

延长4C交BD于点E,必有乙BEC.LBCA,

BD0D_08

0JC*OC*04tanLOCD

,@BDLACf

酚生绘/n.ar.2方/°：,BC'-（8：+CO：,⑥"一3（方备线》*睡亩的刖比瓶）

A模型三:对角互补模型

（1）全等型的°

条件：①U()B-LDCE-90°,②0c平分乙”小

结论：①CD=CE.②0D+CE■7X)C、③

'OMt'JUXX>+5皿.£=]OC

丽假示：

到乍垂直，如图，证明ACD”・AC£\；

②过点C作CF℃,如上图（右〉，证明A8C-AFEC）

当LIKE的一边交AO的延长线于点D时：

以旺博论：&CD=CE（不变）,

®OE-OD-&OC、③S“K——20C

此结论则方法与黄利嘴况一致，可自行尝试。

<2）全等型120°

条件：①乙-2Z./XT-120°,

②℃粉乙S

结论：①(〃-CEj②OD+OE-(X,

“，WT°.MX71

③

确映示：①可替考“全等型-90°”证法一；

②如图：在。8上取一点F,使OF=OC,证明

为等边三甬形。

<3）全等型任意角”

a（QLAOB-2a..LDCE-180-2<i.（^CD-CES

a结论：①“（平分乙l（）B3②（〃）+OE-2（K«cos<t3

A®ZMXN-Ss+S^-OC2•Sina*cosa

a当的一边交"的延长线于点。时（如右上图）：

原结论变成：①j

②，

③j

可或考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型辘响・

A确互*楼型独：

①常见初始条件：四边形对角互扑；注意两点：四点共圜及直角三龟形箝边中线;

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③丽楠见蹄SB跑作法；

④注意”「平分乙〃历时，"DE-"ED-"3-乙CO相等如何推导？

上A模型四：角含半角模型90。

十

（1）角含半甬模型90°-1

a条件：①正方形八BCD,②LEAF-45°,

a牯论：①£尸・。尸+8E；②'CEF的周长为正方形/8C。周长的一半,

也可以这样：

a：①正方形ABCD,②EF=/»•+BE

a结论：LEAF-45°

（2）甬含半角馍型90°-2

a条件：①正方形ABCD；②LEAF-45°,

a陆论：EF-DF-BE

aWH闺吓醺际：

（3）角含半角馍型90.-3

a条件：①RTMBC,②LDAE-45°,

a第论：BD'^CE--DE'HI）

若4/M.旋傍］&•依外部时，结论81）：+C6=06仍然成立.

（4）角含半角粮型90°变形

运明：连41AC（方法不唯一）

■:、：.

VZJ〃〃・ZJ《/・45,・・・・MINS7CE

:，坦・土.・・W/Es'UX•

AHAE

a条件：①正方形ABCD；②LE.AF-45°.

A结论：'"〃：为泮糟百的二曲影。

＞模型五：倍长中线类模型

co怵申

A触：臃形」8C£＞,②③。尸・£小

＞结论：""Lb

模型提取：平行线ADHBE,②平^线j磴戋段有中点DF-EF,

可以构造“8”字全等&4。尸・MIEF.

(2)

条件：码行四边形ABCD；②BC=2.AB；@AM・DM；@CELAD.

结论：LEMD-2>LMEA

依劝短：有十什IB//CD.有中,板，L”-DM

&长EM.构造X4.\N.连MCM构

It'SV.A/K-,WKF

通过构透8字全♦愎段收量及RJL*#..角的大

小小化

4A模型六：相似三角形360°旋转模型

（D形（等360"M财e：&K/”H2G,公/-＜，・/",4.

a条件：①&"%、M?C均

为等腰直角三角形，②

EF~CF

a结论：QDF-BF；②

DF1BF

⑴棚（口形（等360°除锁3KH法

＞条件：①&ADE、A48c均为等腹直角三角形j②“:（五）

a有论：①DF0BF:②DF1BF

相助愎：构造多腰立防&4EG、A.4/ZC

林劝慢必珞：轿Di与BFHttM（Cimm

M*»n：HRIH.tG.tt..<；*.«.&K

a新：①M)AB^M)DC,®LOAB-LODC-90°ci)naHttDH=(D.，卜全stxitt.

③・

BECE.OC-H为1爻4帽矍.》化.4E8DEMCG

a牯论：①/£=DE,②LAED-2LABO

ABH.乙4ED

14KP£AW.itAft-Z*.杼"

a条件：①A(”BSM)DCj②LOAB-LOIX'90°.③论的两4、*件"化冷：£喇\"〃>MHO.他

BE~CE,为巾A.<\4MI>^A.4KC»tMHft,U*1

a陆论：①-DE>②乙-2LABO

使用网边*比JL欠篇・

A模型七二最短路程模型

总”：以上E国为常JL的独时竹具兼班小崔问雄.

■后郡隙化刑：a曲点之匈，冷我卡点”“>

将点：①动总在A愎上:②抬晟，忤点区冬

M^n：将作0美十or时体点0・转化

/空・・/2,点淡1/作AZ7/XU4

A条件：①叱平分UOB,②.1/为（阳上一定点1③〃为〃（'上f点,®。为（M上一动点;

A求：MP+PQ最小时，p.。的｛JS?

<3）朝路程模型Z（，翎直蜂2〉

a条件：404）.8（-20）,0（0.〃）

石

PB+—PA

a市党：”为何值时，5最小

在

»求解方法：①,轴上取C（N0）,使""（

5j②过8作初）±C,交J轴于点/•：,即为所求j

tanLEBO-tanLOAC

5,即£（。」）

A模型八：二倍角模型

最件：\4ZT<ZZI-2ZC

MMA.：松8C的•！,小分叫方•♦体”・nA

.1的N体息.V.连发,ar.cr

•iB.r今NJ欣的H牛停飞.

czAi-.ir-o*(.tear>)

比劝八的作上,二例前三询(的K财

依体♦之一.8升不工另一件』.、

A模型九：相似三角形模型

《1》相©三角联里点本型⑶佛口形型制港

&为:KN'

n'H<*«H------"

”之▼°M2WN«V««9

*，：*-A*1'«X<£7>-Z.1<fi-'Mr

A字型8字型A字邢

Wife:.<£-.W-.«'x.4ZJ

平行妻：/)£///«•^ACE^^AM'

”曲：.1C:-AE«AH

”论：乌4D二更4E=也DE《4亳时座边要时应)

ABACBCWx.4f

H<--BE.HA.<%•'-HE-.1£

“仲：&圉：Z.W-Z.^<>-ZC/V-'X»

中留；ZJZJ4-Z.«Z-ZCZM--«)条件：中用.PA为US的切惧

七m：-z.«r-zcne-45州轮：左IB:/Mx/^-PCx/Vi

”论：嘴*iH，j*4aw结婚

中fB:P.4；■PCxPB

(I\IMV»A</V:®Wx/M-/«-</>

右图：P.4"B・PO

一，三，前怪幻七姓需用*4支方“卷1*“*

E4上”论均*!■以通过帕似三角力0H■设4

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

(1》等边三角爵

a条件：0co均为等边三角形

a结论：①A(〃C・&OBD；②LAEB=60"；③。£平分LAED.

<2)等原R7A

a条件：9。48小次刀均为等牌直角三角形

A结论：①A(〃C>ACBD,②LAEB-90°,

a③OE平分乙4£〃。

<3)任意等腰三角附

a耕：必84)6均为等腹三角形

a结论：①AO4CaAOBD.②LAEB-LAOB；

a③。E平分乙4ED.

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

<i>-«Hg«

a条件：CQ///8,将AOCD族转至右图位置

A结论：

a右图中①AOC"ACM88A。4cAOBD$

a②延长*C交8。于点E,必有-

《2》特殊愣况

A条件：C0///8,乙JO8・《X)°,将AOCT)旋转至右图

位留

a结论：右图中①AOC0SA(M8=AO/CAOBD、②

延长4C交BD于点E,必有乙BEC.LBOA>

BD0D08

@AC~OC~OAtanLOCD

I⑥BDSC；

酣车楮皿BC,必有，"+8C+8、⑥$…T"x/，,

(对鱼姓与相善育的叩由瓶)

A模型三；对角互补模型

(1)

条件：①乙")8-LDCE-90°,②0c平分乙〃由

结论：①CD=CE;②OD+OE-41OC,③

3KLSwo+S皿，一,a

证明限示：

0乍垂直，如图，il^ACDA/.ACAVj

②过点C作CFJ.OC,如上图〈右），证明A°DC・AFEC；

当LDCE的一边交AO的延长线于点D时：

以上三N酬：①CD=CE（不变）,

@OE-（）D-410cj③$皿-5.

d冷论则方法与mr幡况t,可自修心

(2)±^3@-120°

条件：①UOB-2LDCE-120°,

②。C钞乙扪8；

结论：①(。-CEj©OD+0£-6X；

_u，¥¥TUVX7）

③

iiR股示：①可攀考“全等型3”证法一1

②如图：在。8上取一点F,使OF=OC,证明A"CF

为等边三龟形。

<3）全等型任意角”

A研：①々。8-2a,ZDC£=180-2«；②C£)-C£；

a结论：①伊平分乙1()B,②OD+OE-2(K«cos(t3

a③Saw-S』+Sg-8•sina-cosa

a当4CC£的一边交彳。的延长线于点。时（如右上图）：

原结论变成：①、

②）

③）

可却上述第②种方法迸行证明。请思考初始条件的变化对模型傩响.

A对焦互丰檄型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共图及直角三由形斜边中线I

②W始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的铀雎戈作法；

躺窿。（%时,£CC£-乙CED-推导？

上A模型四：角含半角模型90。

十

（1）角含半甬模型90°-1

a条件：①正方形八BCD,②LEAF-45°,

a牯论：①£尸・。尸+8E；②'CEF的周长为正方形/8C。周长的一半,

也可以这样：

a：①正方形ABCD,②EF=/»•+BE

a结论：LEAF-45°

（2）甬含半角馍型90°-2

a条件：①正方形ABCD；②LEAF-45°,

a陆论：EF-DF-BE

aWH闺吓醺际：

<3）角含半角模型90'-3

条件：①RTMB（:②LDAE-45%

结论：BD^CE2~DE2HD

若〃）"：旋侍］.外部时，结论8。'+（'£'=°£’仍然成立.

M明：14MAC《才决不唱一）

7ZA<-3F-454UH-4"

VZJ〃〃-Z4<E-4-g/s/u<E

.・・2L■:.xua-^xux

AH.伍

A条件：①正方形ABCD.②LEAF-45°；

a结论：&〃〃：为等腰直角三角形。

*A模型五：倍长中线类模型

(1)管长中缈联型-1

a雌：年形'BCD，®BD■BE®DF・EF1

a牯论：4F1CF

模型提取：*平行线力0//8£;②平行线间^段有中点DF-EF,

可以构造“8”字全等MDF■MIEF.

<2)售K中线类模型-2

a条件：诉行四边形ABCD,©BC-2AB,0AM-DM?@CELAD.

a结论：LEMI)-iLMEA

偏助性：#4■6.i/i//(7).。中点4”-DM

4长EM.构itAAME-ADMF.><UCM构

遑号It2fC.QfCF

通过构造8字生等怪股it*及"的大

小的化

4A模型六：相似三角形360°旋转模型

|十|_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（D*眼三角形（等腰直角）3600旋转艇点长中线法丝皿：4KDIHA。.依Ki•DI.A.

A条件：①A〃犯、&48c均

为等腰直角三角形1②

EF・CF

a结论：①；②

DF1BF

⑴棚（目形（等am）360-峥辘

a条件：①&ADE、A483沥等腰直角三角形；②EF-CF,

a结论：①DF・BF:②DF工BF

辆助N.:构遣彳椎支用A4EG、A.47/C

精劝慌思珞：将1）1与H/-H<tM（"（i与EH

（2）任意三觎360'型-Ug劝恭：廷长£U财2G.使.<；r".4长

a条件：①A(MBSA()I)C,②LOAB-LODC-90°,Cl)HA//ftHH=，D.，卜/YXiB.

③BE・CE。

0(7/电连说“蟆型.A化.<£与DEHCG

a结论：①/£=/»[②LAED-2LABO

ABH.«AA#^Z.1£P

0*DE*St.if.AA-4M.将结

a条件：①AOABSAODC、②LOAB-LOIK'-90".③论的㈣卜器件转化为谴叫\4H（>,此

BE-CE

9为《>.4.将.\SeA4\a**件化*i4明

a结论：①AE-DE,②LAED-2LABO

VIZMMA.“%健用㈣或*,比JL欠用充

此外e*a建明〈IH"・乙I<M>

A模型七：最短路程模型

总钵：以上可用勺常2的R叶他吴景旭冷«1超通,

*后彝“化到：-画品之间，N戊呆点”衅从

将点：①动点&A愎上:②刈晨，《点典三

<2)

M*»n：-»np<t<x-»t*AQ".#<t

/V-/V.t*“作、"/!1，”

小线段最短A。+/U-W♦/V士\M

a条件：①（（平分U（）B,②”为（加上一定点j③P为℃上一动点,④Q为（加上一动点,

a求：1"，尸。最小时，尸.。的困？

<3）最短路程模型二（点到直埃门〉

A条件：40,4）.8（-20）.「（0.〃）

石

PB+—PA

a由:"为何值时，5最小

rnnisinLOAC-

a求解方法：①'轴上取°J°）,使②过8作8C±C,交，轴干点%即为所求,

tanLEBO■tanLOAC

即/“0,1)

<4）是短路程模型三（旋转类最值模型）

K

H小值RR

♦件*Dnau<«4.<ai>cwt：1；AHU<-4.«Mt・2

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A模型八：二倍角模型

十

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