权值线段树的增量维护

1/1权值线段树的增量维护第一部分权值线段树定义与数据结构 2第二部分单点增量更新操作的实现 4第三部分区间增量更新操作的实现 8第四部分区间查询操作的实现 11第五部分时域动态开点与空间优化技巧 14第六部分权值线段树的应用场景 16第七部分朴素实现与树状数组的对比 19第八部分权值线段树的优化与扩展 21

第一部分权值线段树定义与数据结构关键词关键要点主题名称：权值线段树的定义

1.权值线段树是一种用于处理一组数据区间查询和修改的的数据结构。

2.它是一个二叉树，其中每个节点存储特定区间内某个值的统计信息，称为权值。

3.叶节点表示原始数组中的元素，而内部节点表示其子区间合并后的权值。

主题名称：权值线段树的数据结构

权值线段树定义

权值线段树是一种数据结构，用于高效地维护离散序列的权值信息，并支持区间查询、修改操作。

与普通线段树不同的是，权值线段树不仅存储区间和，还存储每个区间中元素的权值。权值是指每个元素的附加信息，它可以是任意的值。

数据结构

权值线段树由一个数组（称为“权值数组”）和一个二叉树（称为“线段树”）组成。

权值数组

权值数组存储序列中的元素权值。权值数组的索引与序列的索引一一对应。

线段树

线段树是一个二叉树，它将序列划分为不相交的子区间。线段树的每个节点存储以下信息：

*区间：节点所表示的序列子区间。

*权值和：区间内所有元素权值的和。

*权值最大值：区间内元素权值的最大值。

*权值最小值：区间内元素权值的最大值。

建树

权值线段树可以通过递归的方式建树：

1.将序列划分为两个相等的子区间。

2.对于每个子区间，递归地建树。

3.将子区间的权值和、权值最大值和权值最小值更新到当前节点。

区间查询

权值线段树支持高效的区间查询操作，可以查询指定区间内元素的权值信息。

1.找到表示指定区间的线段树节点。

2.返回节点存储的权值和。

区间修改

权值线段树还支持区间修改操作，可以修改指定区间内元素的权值。

1.找到表示指定区间的线段树节点。

2.更新节点存储的权值和。

3.递归地更新节点的祖先节点的权值和。

维护区间最值

权值线段树可以高效地维护区间最值，包括区间权值最大值和权值最小值。

1.在线段树的每个节点存储区间权值最大值和权值最小值。

2.在区间修改操作后，递归地更新节点及其祖先节点的权值最大值和权值最小值。

优势

权值线段树具有以下优势：

*高效查询：O(logn)时间复杂度的区间查询。

*高效修改：O(logn)时间复杂度的区间修改。

*区间最值维护：O(logn)时间复杂度的区间权值最大值和权值最小值维护。

*灵活性：可以存储任意类型的权值信息。

应用

权值线段树广泛应用于各种问题中，包括：

*范围查询问题

*区间更新问题

*区间最值问题

*统计问题第二部分单点增量更新操作的实现单点增量更新操作的实现

权值线段树的单点增量更新操作涉及修改区间内单个元素的值，同时更新线段树上的节点信息以反映这一变化。以下介绍具体实现步骤：

1.区间定位：

*确定要更新值的元素所在区间，记为`[l,r]`。

*使用递归或迭代方法，从根节点出发，沿着路径`[l,r]`定位到该区间对应的叶节点。

2.更新叶节点值：

*一旦找到叶节点，更新其权值以反映增量。

3.逐层更新权值：

*从叶节点向上逐层回溯到根节点。

*对于每个经过的内部节点，更新其权值以反映其子节点权值的改变。

*具体更新公式：`node.val=node.left.val+node.right.val`。

4.更新路径信息：

*在回溯过程中，对于每个经过的内部节点，检查是否有延迟标记需要处理。

*如果有延迟标记，更新该节点的信息（例如，增加或减少懒惰值）。

*更新完成后，清空延迟标记。

5.递归更新：

*对于每个经过的内部节点，递归更新其子树以反映增量。

*这可以通过继续执行步骤1-4来实现。

具体实现示例：

C++代码：

```cpp

//基线情况：区间外

if(l>tr||r<tl)return;

//基线情况：叶节点

tree[v]+=val;

return;

}

//更新懒惰传播

push(v);

//分裂区间

intmid=(tl+tr)/2;

//更新子树

update(l,min(r,mid),val,v*2,tl,mid);

update(max(l,mid+1),r,val,v*2+1,mid+1,tr);

//合并权值

tree[v]=tree[v*2]+tree[v*2+1];

}

```

Python代码：

```python

defupdate(self,l:int,r:int,val:int,v:int,tl:int,tr:int)->None:

#基线情况：区间外

ifl>trorr<tl:

return

#基线情况：叶节点

ifl==tlandr==tr:

self.tree[v]+=val

return

#更新懒惰传播

self.push(v)

#分裂区间

mid=(tl+tr)//2

#更新子树

self.update(l,min(r,mid),val,v*2,tl,mid)

self.update(max(l,mid+1),r,val,v*2+1,mid+1,tr)

#合并权值

self.tree[v]=self.tree[v*2]+self.tree[v*2+1]

```

Java代码：

```java

//Basecase:Outofrange

if(l>tr||r<tl)return;

//Basecase:Leafnode

tree[v]+=val;

return;

}

//Updatelazypropagation

push(v);

//Splitinterval

intmid=(tl+tr)/2;

//Updatesubtrees

update(l,Math.min(r,mid),val,2*v,tl,mid);

update(Math.max(l,mid+1),r,val,2*v+1,mid+1,tr);

//Mergevalues

tree[v]=tree[2*v]+tree[2*v+1];

}

```

时间复杂度：

单点增量更新操作的时间复杂度为O(logn)，其中n是线段树中元素的数量。这是因为该操作需要遍历到包含目标元素的叶节点，并沿路径更新所有受影响的内部节点。第三部分区间增量更新操作的实现关键词关键要点区间增量更新操作的实现

主题名称：算法设计

*

*采用递归的方式对线段树进行更新，利用懒惰标记机制延迟计算。

*将更新区间划分为左右子区间，分别进行更新。

*根据更新类型（加法或乘法）和区间内各节点的值进行相应计算。

主题名称：复杂度分析

*区间增量更新操作的实现

区间增量更新操作允许将一个值增量应用于线段树中指定区间的每个元素。对于权值线段树，这可以通过以下步骤实现：

1.确定受影响的范围：确定包含要更新区间的线段树中的最小子树。这可以通过二分搜索或递归地向下遍历线段树来实现。

2.更新叶节点：对于最小子树中的每个叶节点，将其值增加给定的增量。

3.递归更新非叶节点：对于最小子树中的每个非叶节点，重新计算其值，作为其子节点值的总和。

4.向上更新：沿最小子树的祖先路径向上更新每个非叶节点的值，直到达到根节点。

算法描述

```python

defrange_increment_update(self,left,right,increment):

#确定受影响的范围

start,end=self.find_range(left,right)

#更新叶节点

foriinrange(start,end+1):

self.tree[i]+=increment

#递归更新非叶节点

self._propagate_up(start,end)

```

实现细节

*二分搜索快速确定范围：在`find_range`方法中，使用二分搜索快速确定包含要更新区间的最小子树。

*向上更新的传播：在`_propagate_up`方法中，沿着受影响范围的祖先路径向上更新每个非叶节点的值。

*处理越界的情况：如果指定的更新范围超出了线段树的范围，则将其截断到线段树边界内。

*空间复杂度：O(n)，其中n为线段树中节点的总数。

*时间复杂度：对于平衡的线段树，O(logn)；对于最坏情况（不平衡的线段树），O(n)。

示例

考虑一个权值线段树，其原始值如下：

```

[1,2,3,4,5]

```

要将区间[2,4]中的每个值增加3，执行以下步骤：

1.确定受影响的范围：使用二分搜索，确定最小子树为[2,4]。

2.更新叶节点：增加[2,4]中每个叶节点的值：

*[1,5,3,7,5]

3.递归更新非叶节点：

*非叶节点[1,6]的值为[5,7]之和，即12。

4.向上更新：到根节点，12的值传播到根节点[12]。

更新后的权值线段树：

```

[12]

```第四部分区间查询操作的实现关键词关键要点【区间查询操作的实现】

1.递归查询：

-根据查询区间与线段树节点区间的关系，将查询区间拆分为左右两个子区间。

-对子区间递归查询，将查询结果合并得到最终结果。

2.区间重叠检测：

-确定查询区间与线段树节点区间是否重叠。

-根据重叠情况，确定查询操作的范围。

3.值域合并：

-将查询区间内所有节点的值合并得到最终结果。

-合并方式取决于权值线段树存储的值的类型。

【区间修改操作的实现】

区间查询操作的实现

区间查询操作用于求解指定闭区间`[l,r]`内所有权重的和。对于权值线段树，实现区间查询操作涉及以下步骤：

1.递归进入区间[l,r]：从根节点开始，使用`l`和`r`将线段树划分为左右子树。

2.检查重合情况：

-如果`l`和`r`完全包含子树的区间，则直接返回子树的权重和。

-如果`l`和`r`与子树的区间没有重合，则返回0。

3.部分重合：

-如果`l`和`r`部分重合子树的区间，则递归地对左右子树进行区间查询，并将结果相加。

4.合并子树权重：

-对于重合的部分，将左右子树的权重和相加，作为该区间的权重和。

5.递归返回：

-将合并后的权重和作为当前区间的查询结果并返回。

伪代码：

```python

defrange_query(l,r,node,segment_start,segment_end):

"""

区间查询操作

Args:

l(int):查询区间的左端点

r(int):查询区间的右端点

node(int):当前节点索引

segment_start(int):当前节点区间左端点

segment_end(int):当前节点区间右端点

Returns:

int:区间权重和

"""

#完全包含

ifl<=segment_startandr>=segment_end:

returntree[node]

#无重合

ifr<segment_startorl>segment_end:

return0

#部分重合

mid=(segment_start+segment_end)//2

left_result=range_query(l,r,2*node,segment_start,mid)

right_result=range_query(l,r,2*node+1,mid+1,segment_end)

returnleft_result+right_result

```

时间复杂度：

区间查询操作的时间复杂度为`O(logn)`，其中`n`为线段树存储的元素数量。这是因为区间查询操作需要递归地遍历覆盖查询区间的子树，而子树数量呈对数级增长。

空间复杂度：

区间查询操作的空间复杂度为`O(1)`，因为它不分配或释放任何额外的空间。第五部分时域动态开点与空间优化技巧关键词关键要点【时域动态开点】

1.根据时序信息动态创建和释放线段树节点，避免创建冗余节点。

2.使用lazypropagation机制，将区间更新延迟到真正需要时才进行，减少不必要的更新操作。

3.引入version控制，跟踪每个线段树节点的版本，以避免并发更新带来的混乱。

【空间优化技巧】

时域动态开点

时域动态开点是一种在树形数据结构（例如线段树）上进行增量维护的优化技术。它的核心思想是：对于每个待维护的子树，仅在需要对其进行更新或查询时才动态创建和维护。

*实现方式：

1.在线段树的初始化阶段，仅创建根节点。

2.当需要对某个子树进行更新或查询时，递归地沿路径检查该子树是否存在。

3.如果子树不存在，则新建该子树并初始化其值。

4.对子树进行更新或查询操作。

*优点：

1.减少空间复杂度：仅创建和维护活跃的子树，避免了对不必要的子树进行开辟和维护。

2.提高时间复杂度：减少了创建和维护子树的时间开销。

空间优化技巧

空间优化技巧旨在减少线段树所需的空间复杂度。常用的优化技巧包括：

*按需分配：仅在需要时分配空间，避免浪费。例如，使用内存池或延迟分配技术。

*节点合并：将相邻且具有相同值的节点合并为一个节点，减少冗余空间。

*路径压缩：在访问路径上的所有节点时更新其指向父节点的指针，减少对重复路径节点的访问。

*替罪羊树：一种自平衡的二叉查找树，可降低查找和更新操作的平均时间复杂度，从而节省空间。

*压缩线段树：一种特殊类型的线段树，使用位操作和特殊编码技术来紧凑地存储信息，减少空间开销。

具体示例

考虑一个权值线段树，用于维护区间和。使用时域动态开点和空间优化技巧，可以大幅提高其性能：

*初始化：仅创建根节点。

*查询区间和：

1.递归地沿路径检查每个子树是否存在。

2.若子树不存在，则动态创建并初始化。

3.查询子树中的和值，并返回。

*更新区间值：

1.根据空间优化技巧，按需分配或合并节点。

2.递归地沿路径更新每个子树的和值。

*节点合并：

1.维护每个节点的左右子树的最小值和最大值。

2.如果左右子树具有相同的值，则合并它们。

*路径压缩：

1.将访问路径上的所有节点指向其父节点。

2.减少重复访问节点的时间开销。

结论

时域动态开点和空间优化技巧是增强权值线段树增量维护性能的强大工具。通过结合这些技术，可以显著减少空间复杂度和时间复杂度，从而提高权值线段树在处理大规模区间更新和查询场景中的效率。第六部分权值线段树的应用场景权值线段树的应用场景

权值线段树是一种高效的数据结构，广泛应用于各种计算场景中，尤其是在处理与线段区间查询和区间修改操作相关的任务时。权值线段树的应用场景包括：

区间求和

权值线段树最常见的应用之一是计算线段集合中的元素和。通过在树的叶子节点中存储线段的权值，权值线段树可以高效地计算任何给定区间的元素和。

区间开区间和闭区间求和

权值线段树不仅可以计算闭区间[l,r]中的元素和，还可以计算开区间(l,r]或[l,r)中的元素和。只需在树的叶子节点中存储线段的起始和结束位置即可实现。

区间最大值/最小值查询

权值线段树可以用来查找线段集合中最大或最小的元素。通过在树的叶子节点中存储线段的最大值或最小值，权值线段树可以高效地找到任何给定区间的最大值或最小值。

区间众数查询

权值线段树可以用来查找线段集合中出现次数最多的元素。通过在树的每个节点中维护一个出现次数计数器，权值线段树可以高效地找到任何给定区间的众数。

区间第k大查询

权值线段树可以用来查找线段集合中第k大的元素。通过在树的每个节点中维护一个排序的子集，权值线段树可以高效地找到任何给定区间的第k大元素。

区间第k小查询

权值线段树还可以用来查找线段集合中第k小的元素。类似于区间第k大查询，通过在树的每个节点中维护一个排序的反向子集，权值线段树可以高效地找到任何给定区间的第k小元素。

区间异或和查询

权值线段树可以用来计算线段集合中元素异或和。通过在树的叶子节点中存储线段的异或和，权值线段树可以高效地计算任何给定区间的元素异或和。

区间更新

权值线段树不仅可以执行区间查询操作，还可以执行区间更新操作。通过将更新操作传播到树的相应节点，权值线段树可以高效地更新任何给定区间的元素值。

离线查询

权值线段树可以用来处理离线查询，其中查询是预先已知的，但数据会随着时间的推移而更新。通过离线处理查询，权值线段树可以避免多次更新树，从而提高效率。

其他应用

除了上述应用外，权值线段树还用于解决许多其他问题，包括：

*凸包查询

*最近点对查询

*范围查询

*最长公共子序列查询

*最长递增子序列查询

权值线段树因其高效性和多功能性而被广泛应用于算法竞赛和实际应用中。第七部分朴素实现与树状数组的对比关键词关键要点朴素实现与树状数组的对比

主题名称：性能比较

1.权值线段树在查询单点权值时比树状数组快O(logn)，但更新单点权值时比树状数组慢O(logn)。

2.树状数组在区间更新和查询时效率更高，特别是涉及到区间加法或区间求和等操作时。

3.权值线段树可以维护区间内权值的最大值或最小值，而树状数组只能维护区间和。

主题名称：内存消耗

朴素实现与树状数组的对比

空间复杂度

*权值线段树：O(n)

*树状数组：O(n)

时间复杂度

区间查询

*权值线段树：O(logn)

*树状数组：O(logn)

区间修改

*权值线段树：O(logn)

*树状数组：O(logn)

单点修改

*权值线段树：O(logn)

*树状数组：O(1)

单点查询

*权值线段树：O(logn)

*树状数组：O(1)

优点

权值线段树

*维护权值信息，方便统计区间权值和

*支持将区间中所有权值同时加上或减去一个常数

*可将数组映射为线段树，实现高效的单点修改

树状数组

*占用更少的空间

*单点修改和单点查询的时间复杂度更低

*更容易实现

缺点

权值线段树

*占用更多的空间

*区间修改和区间查询的时间复杂度更高

*难以统计区间权值中位数等其他统计信息

树状数组

*维护区间信息，不方便统计区间权值和

*无法将区间中所有权值同时加上或减去一个常数

*无法将数组映射为树状数组，实现单点修改

应用场景

权值线段树

*需要维护权值信息并进行区间统计和修改的场景，例如：区间和、区间最大值、区间异或和

*需要将数组映射为线段树进行高效单点修改的场景，例如：维护动态数组

树状数组

*需要维护区间信息并进行单点修改和单点查询的场景，例如：前缀和、差分数组

*需要占用更少空间的场景，例如：内存受限的嵌入式系统

总结

权值线段树和树状数组都是维护数组的有效数据结构。权值线段树更适合需要维护权值信息并进行区间统计和修改的场景，而树状数组更适合需要维护区间信息并进行单点修改和单点查询的场景。第八部分权值线段树的优化与扩展关键词关键要点空间优化

-基于可持续堆的优化：利用可持续堆替换传统的堆，减少空间复杂度，同时维护线段树的增量维护能力。

-基于分块的优化：将线段树划分为更小的块，仅对需要更新的块进行操作，减少不必要的空间占用。

-基于位压缩的优化：使用位压缩技术存储权值，降低空间开销，尤其适用于权值范围较小的场景。

时间优化

-基于延迟更新的优化：延迟更新策略允许在更新操作后推迟实际更新，从而提高更新效率。

-基于路径压缩的优化：在查询操作中，路径压缩技术减少了访问节点的次数，提升查詢速度。

-基于并查集的优化：使用并查集维护权值线段树中连通分量的信息，加速区间查询和修改操作。

增量维护扩展

-支持动态区间和：扩展权值线段树支持动态更新区间和，实现对指定区间的求和操作。

-支持动态单点修改：允许在给定位置处动态修改单个元素的权值，提高了灵活性。

-支持动态区间乘法：支持对指定区间执行乘法操作，方便处理某些问题，如求区间乘积。权值线段树的优化与扩展

1.离散化

为了处理重复元素，在构建权值线段树之前，可以对元素值进行离散化，将重复元素映射到不同的整数。这可以通过哈希表或排序+二分查找等技术实现。

2.延迟更新

延迟更新是一种优化技术，用于减少对子树的重复更新。当修改线段树某个节点的值时，不会立即更新其子树，而是标记一个更新标记。当访问子树时，再执行该更新标记。这可以避免在多次修改相同子树时进行不必要的更新操作。

3.路径优化

路径优化针对查询操作进行优化。在查询线段树某个范围时，可以使用路径优化技术，从根节点到目标范围的路径上，只访问必要的节点，从而减少时间复杂度。

4.节点合并

节点合并用于处理线段树中相邻节点的值相同的情况。当修改一个节点的值时，如果该节点的左右子树的值与其相同，则可以将该节点及其子树合并成一个节点，从而减少线段树的大小和查询时间。

5.权值线段树的扩展

权值线段树可以扩展为支持多种操作和查询：

*单点更新：更新指定元素的值。

*区间更新：更新指定区间内所有元素的值。

*区间查询：查询指定区间内的最大值、最小值或其他统计信息。

*前缀查询：查询前缀和或前k小元素。

*后缀查询：查询后缀和或后k大元素。

*区间合并：合并两个区间的值，形成新的区间。

*区间求交：求两个区间值的交集。

6.应用场景

权值线段树在以下应用场景中具有优势：

*离散化后的数组：查询最大值、最小值、区间和等统计信息。

*区间修改和查询：处理动态变化的数组，例如维护线段的长度，并支持区间增长或缩小。

*凸包：存储点的集合，并支持查询凸包的面积、周长或其他几何属性。

*动态规划：解决一些动态规划问题，例如区间最优值或最长公共子序列问题。

7.实现细节

权值线段树的实现涉及以下关键细节：

*结点结构：通常使用结构体来存储每个节点的信息，包括值、左子树指针、右子树指针和更新标记。

*构建：自底向上构建线段树，将数组划分为子区间，并递归构建子树。

*修改：根据更新标记，更新节点的值和子树的值。

*查询：使用递归，从根节点到目标范围的路径上，查询必要的节点。

*优化：采用延迟更新、路径优化、节点合并等技术进行优化。

8.复杂度分析

权值线段树的时间复杂度取决于操作和查询的类型：

*单点更新：O(logn)

*区间更新：O(nlogn)

*区间查询：O(logn)

*前缀/后缀查询：O(logn)

*区间合并/求交：O(logn)关键词关键要点主题名称：点更新操作

关键要点：

1.对树中某个特定节点进行值增量更新。

2.从该节点向其父节点、父节点的父节点，直至根节点，依次进行值增量传播。

3.将该节点标记为已更新，以便后续查询时进行值修正。

主题名称：区间查询操作

关键要点：

1.获取指定区间内所有节点的权值和。

2.根据子树的标记值，修正子树中对应节点的权值。

3.递归遍历子树并更新区间内的权值和。

主题名称：区间更新操作

关键要点：

1.对指定区间内的所有节点进行值增量更新。

2.使用延迟标记技术，将更新操作推迟到需要查询时再执行。

3.通过子树的延迟标记值，更新子树中对应节点的权值。

主题名称：区间查询操作（优化）

关键要点：

1.利用线段树的单调性，优化区间查询操作。

2.采用子树最大值信息，判断当前查询区间是否可以迅速