2015年高等数学作业(专升本)答案

高等数学作业答案

(专升本)

第一章函数作业(练习一)参考答案

一、填空题

1•设/(-)=x+7i+x2(X>0),则/(x)=

X

解：设/=,，则x=L得

Xt

1+J1+产

/(0=-+

,,、1+V1+X'

故/(X)=------------

X

2.函数/(%)的定义域为［0,1］,则/(Inx)的定义域是.

解：要使/(Inx)有意义，必须使OWlnxWl,由此得了(Inx)定义域为［l,e］。

XX

3.设/(sin—)=cosx+1,贝ij/(cos—)=.

解：因为/(s呜)=2—2sin2］令"=sin?贝切(a)=2—2/,

所以/(cos')=2-2cos2.=1-cosx.

4.设/(x)=a；,则函数的图形关于对称。

解：/(X)的定义域为(一00,+8),且有

a~x+a~(~x)a~x+axax+a~x

=/(x)

2-2--2-

即/(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。

sinx-2<x<0才

5.若y？，贝ljy(z)=__________.

丁+10<x<22

二、单项选择题

1.下列各对函数中，()是相同的。

A./(x)=Vx^",g(x)=x；B./(x)=Inx2,g(x)=21nx；

3X2—1

C.f(x)=Inx,g(x)=31nx；D./(x)=-----,g(x)=x-1

x+1

解：A中两函数的对应关系不同，=B,D三个选项中的每对函数的定义

域都不同，所以AB,D都不是正确的选项；而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相

同，故选项C正确。

2.设函数“X)的定义域为(-巩+功，则函数/(%)—f(f)的图形关于()对称。

A.尸x；B.x轴；C.y轴；D.坐标原点

解:设歹(x)=/(%)—/(—X),则对任意x有

F(~x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=f(-x))=-F(x)

即歹(x)是奇函数，故图形关于原点对称。选项D正确。

3.设函数/(x)的定义域是全体实数，则函数/(x)"(-均是().

A.单调减函数；B.有界函数；

C.偶函数；D.周期函数

解：A,B,D三个选项都不一定满足。

设歹(x)=/(%)•/(—X),则对任意x有

斤(-尤)=/(-X)•/(-(-%))=/(-%)-/(x)=f(x)-f(-X)=F(x)

即歹(x)是偶函数，故选项c正确。

ax-1

4.函数/(x)=x----(。＞0,。片1)()

a+1

A.是奇函数；B.是偶函数；

C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。

解：利用奇偶函数的定义进行验证。

口--1_「(1—屋)ax-1，/、

(i+屋)a+1

所以B正确。

5.若函数/(%+▲)=%2+二，贝lj/(x)=()

XX

A.%2；B.%2—2；C.(x—I)?；D.%2—1o

解：因为一+±=/+2+二—2=(x+!)2—2,所以/(X+L)=(X+L)2—2

XXXXX

则/(X)=——2,故选项B正确。

6.设〃x)=x+l,则/(/(x)+l)=().

A.xB・x+1C.x+2D・x+3

解由于〃x)=x+L得/(/(x)+l)=(/(x)+l)+l=/(x)+2

将/(x)=x+l代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正确答案：D

7.下列函数中，()不是基本初等函数.

A.y=(―)vB.y=Inx2C.y=，由XD.y=

ecosx

解因为y=lnx2是由y=lna,a=/复合组成的，所以它不是基本初等函数.

正确答案：B

,,COSX,X<071

8.设函数/(x)=贝叮(_)=().

0,x>04

A./(一夕=/(夕B./(0)=〃2万)

C.f⑼=f(~2消D.

解因为一2"<0,故/(一2万)=cos(—2万)=1

且〃0)=1,所以/(0)=/(—2乃)

正确答案：C

9.下列各对函数中，()中的两个函数相等.

“xln(l-x),ln(l-x)「i2」…

A.y=-----------与g=-----------B.y=InX2与g=21nx

xx

C.y=Jl-sin.x与g=cosxD.y=Jx(x-1)与y=«J(x-1)

解：A

10.下列各函数对中，()中的两个函数相等.

2_]

A./(x)=(Vx)2，g(x)=xB./(x)=-~~-,g(x)=x+1

x-1

222

C.y=Inxfg(x)=21nxD./(x)=sinx+cosx,g(x)=l

解：D

三、解答题

1.设/(X)=〈，求：⑴/(x)的定义域；⑵/(0),/(I),/(2)o

Inx1<x<e

解(1)分段函数的定义域是各区间段之和，故/(X)的定义域为

[0,1]U(1,e)=[0,e)

(2)・・・0«x«l时，/(x)=x.\/(0)=0,/(1)=1

•.T<x<e时，/(x)=Inx/(2)=ln2

-x-1,x<0fx,x<0、一&,,

2.设/(%)=八，g(x)二2八求复合函数/(g(x)),g(/(x))。

XX>(J

<—x—1,-1«xK0

解：/(g(x))=12g(/(x))=<—(1+X)2,X<—1

x-l,x>0°

【[-x2,x>0

3.(1)/(x)=ax+a~x(a〉0)；

解：v/(-x)=ax+a~x=/(x)/.f(x)=ax+。一”为偶函数.

1—Y

(2)/(x)=ln--；

1+x

解：•••/(-=In+%=-In-一-=-/(%),「./(x)=ln--土为奇函数.

1-x1+x1+x

(3)/(x)=ln(x+Jl+%2)

解：丁/(-x)=In.x+71+x2)=In------J-=-ln\x+71+%2)=-/(%),

/./(x)=ln(x+J1+，)为奇函数.

4.已知/(x)=sinx,/(^(x))=1-x2,求°(x)的定义域

2

解.*.*=sin0(%)=1—x9夕(兀)=arcsin(l-x),故0(x)的定义域为

-«x«V2

第二章极限与连续作业（练习二）参考答案

一、填空题

2.1

xsin—

L极限lim---------

。sinx

2.1

xsm—1Y1Y

解：lim----------：lim(xsin----------)=limxsin—lim-------=0x1=0

iosinx»。xsinx%一°x—。sinx

注意：limxsin^=0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）

10X

X1Iciny

lim-=1,其中lim网二二1是第一个重要极限。

%—0smxx-»osmxsinx1—0x

lim

xx->0x

1

二-.一•x+ax+b八ni,

2.已知lim-%---------=2,贝!J〃=b=

2

TX-X-2

由所给极限存在知，4+2a+b=0,得b=—2a—4,又由

lim二+ax+b-x+a+2a+4

------------=lim=2,知。=2/=—8

一■2/

—X—2x-2x+13

£

3.已知X-0时，（1+。/户一1与cosx-l是等价无穷小，则常数Q

1

1+ax213-12ax223

解.lim=lim------—a—1,ci——

x—>0cosx-1x-»0\232

-X21+ax2p+(1+ax213+1

(cosX)x2XW0

4.已知/(x)=v'在x=0处连续，贝二

a,x=0

解.,.•/(0)=a,

-2sin2-

_______2

J1x2

21G•2%-2sin2^

lim/(x)=liml-2sin|2

=lim1-2sin—2

x->02

由/(O)=lim/(x),可得a=e「5

x->0

e-1

5.函数/(x)=---------的可去间断点为％=________,补充定义/(/)=_______，则函

x(x-1)

数在x0处连续.

2x1

解.当x=0,1时/(x)没有定义，又lim/(x)=lime—s・•.x=l为无穷间断点;

H-1)

2xi

而lim/(x)=lim——=二—2,.・.x=0为可去间断点，补充/(0)=—2,可为连续点.

…3x(x-1)

x+1x>0

7.当A时，f(x)=\,在x=0处仅仅是左连续.

x2+kx<0

解因为函数是左连续的，即

/(0)=lim(x+l)=l=/(0)

x->0-

若/(0+)=lim(x2+k)=k=l

xfo+

即当k=1时，/(x)在x=0不仅是左连续，而且是连续的.

所以，只有当上时，/(X)在X=0仅仅是左连续的.

二、单项选择题

1.函数/(x)=xsin工在点x=0处().

x

A.有定义且有极限；B.无定义但有极限；

C.有定义但无极限；D.无定义且无极限

解：在点x=0处没有定义，但

limxsin—=0(无穷小量x有界变量二无穷小量)

―。x

故选项B正确。

Y2

2.已知lim(------ax-b)=0,其中a,b是常数，贝U()

ISX+1

(A)a=l,b=1,(B)a=—l,b=1

(C)a=l,b=—1(D)a=—l,b=—1

解.,.Tim(^-----ax-b)=lim——-----(。+匕)，__-=Q,

isx+1isx+1

1—a=0,a+Z?=0,a=1,Z?=—1答案：C

3.下列函数在指定的变化过程中，()是无穷小量。

£

smx

A.e%,(x-co)B.-----(-X-00);

x

C.ln(l+x),(x-1)；(XT0)

x

解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以

而A,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。

4.下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是()

1/1\n

(A)y=xsin—(xfoo);(B)y=)-GO);

x

(C)y=Inx(xT+0)；(D)y=—cos—(x0)

XX

-/-=1,故不选(A).取m=2k+l

解.*.*limxsin—=limsin则

X-8JQ%―00x!x

lim/T"=lim」一=0,故不选(B).取乙=—1—,贝ijlim」一cos」-=0,故不

882k+1n”->8

n兀+—x"x

2

选(D).答案：C

5.下列命题正确的是()

(A)定义在(-oo,+oo)上的一切偶函数在x=0处一定连续；

(B)/(x),g(x)在点项)处都不连续，则/(x)g(x)在/处也一定不连续；

(C)定义在(-Q0,+Q0)上的一切奇数函数在x=0处不一定连续；

(D)/(x),g(x)在点/处都不连续，则/(x)+g(x)在/处一定不连续

fl,x0fx,x^0

解./(zx)x=是偶函数，在x=0处不连续，故不选(A)；力(zx)x=1,

0,x=0[l,x=0

・Jn

力(无)sm嚏，"U,显然力a),力(x)在尤=0处都不连续，但

0,x=0

力(x)/2(x)=Fsin7xN°在％=0处连续，故不选(B);(D)显然错的.

0,x=0

1

]—2ex

6./(x)=---parctanx,贝卜=0^/(x)的().

l+ex

(/)可去间断点(皮跳跃间断点

9无穷间断点(〃)振荡间断点

£

1一2/1-0

解：/(0-0)=lim---—•arctanx-----0=0,

2-i1+0

l+ex

]—2cxcx—20—2

/(0+0)=lim----—­arctanx=lim-------arctanx=-----0=0,

Xf(T1x-0--10+1

l+exex+1

W(0-0)=f(0+0),x=0为可去间断点应选(A).

7.设/（x）在x=x0处间断，则有（）

(A)/(%)在x=/处一定没有意义；

(B)/(xo-O)^f(x+O);(即lim/(x)Hlim/(x))；

X—>XQX—>XQ

(C)lim/(x)不存在，或lim/(x)=oo；

x—>xoX->XQ

(D)若/(x)在x=/处有定义，则xf项；时，/(x)—/(x())不是无穷小

答案：D

1-Jl+2%„

---------------------------YW()

8.函数/(x)=x'在x=0处连续，则4=().

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

答案：B

0X—O

9.若/(x)=-------,x=0为无穷间断点，x=l为可去间断点，则。=().

x(x-1)

(A)1")0(C)e(〃)e-1

解：由于x=0为无穷间断点，所以（1一。）。0,故若〃=0,则=1也是无穷

lx=0

间断点.由X=1为可去间断点得。=6.故选（。.

X—2

10.函数y=F------的连续区间是（）

x+x—6

A.(-00,+oo)B.(-oo,-3)U(-3,+oo)

C.(—8,2)u(2,+8)D.(—co,—3)u(—3,2)u(2,+8)

答案：D

三、计算应用题

1.计算下列极限

j9+sin3x-3(2)limff+4

(1)lim

2

x14X-x-12

3—x1、

(3)

(1)解对分子进行有理化，即分子、分母同乘j9+sin3x+3,然后利用第一重要

极限和四则运算法则进行计算.即

79+sin3x-3Hm(V9+sin3x-3)(j9+sin3x+3)

lim

%—0xx(，9+sin3x+3)

sin3x13x1=1

limxlim

%-ox079+sin3x+362

(2)解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则

和连续函数定义进行计算.即

—5x+4=1.m(x-4Xx-l)

lim2

x->4X-X-1214(x-4)(x-3)

=lim(I)==3

14(x-3)4-3

(3)解先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算.即

lim、1二---)=lim(3-X)-(X+1)

X2-1x-lH(X-l)(x+1)

=lim^-=-1

Hx+l

2.设函数

.17

xsm—+Px<0

x

fM=<ax=0

sinx

x>0

x

问(1)〃力为何值时，/(X)在％=0处有极限存在?

(2)a,。为何值时，/(x)在x=0处连续?

解:(1)要/(x)在x=0处有极限存在,即要lim/(x)=lim/(x)成立。

xf0xf。+

因为lim/(x)=lim(xsin—+Z?)=b

x^O-x->0-X

lim/(x)=lim=1

x-0+%-0+X

所以，当b=l时，有lim/(x)=lim/(x)成立，即b=l时，函数在x=0处有极限

x-»0~xf0+

存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时。可以取任意值。

(2)依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是

lim/(x)=lim/(x)=/(x0)

X-^XQX~^和

于是有b=1=/(0)=a,即。=b=l时函数在1二。处连续。

Y-kZ7

3.已知lim(d」)*=9,求常数〃

―00x-a

isx-aa"〃丫

rij

,12n

4.求vhm(z+c+…+2)

"f8展+〃+1""+”+2n+n+n

解

12n1/2

++,••+K(I+2+・・•+〃)=—[—：---------V；

+n+1+n+2+n+nri^+n+12\n2+〃+1)

n2+n1hr12n

/\-(1I-2H—\-n)<-卜—；-------+…+---------

2,+n+njn+n+nn+n+1n2+1n1+c2n2+.n+.n

「「n2+n「n2+n1

又-------r=lim-r-^----------v=-,故

2\tz+n+l)n^x2\ti~+n+n)2

12〃、1

lim(z++•••+?)=.

gn+n+1n+n+2n+n+n2

327

5.已知lim'十0=8,试确定。和b的值

12x-2

X+aX+32

解.,/lim-=8,/.lim(x+ax+b)=8+4+Z?-0,即Z?=—8—4。

x—>2%—2x->2'

「I?+dx^+1)%3+cix^—4〃—8「「2(

/.lim---------------=lim----------------------=limx+(.ci+2)x+2a+4]=4〃+12-8

x—>2%—2x—>2%—2x—>2L

/.a=-1,故匕=一4

，

6.设/(x)=]e*i,x>0,求/(x)的间断点，并说明间断点的所属类型

ln(l+x),-l<x<0

ii

解./(x)在(―l,0),(0,l),(L+oo)内连续，limeZ=00,limeR=0,/(0)=0,因此

光-1+x->r

1

X=1是/(X)的第二类无穷间断点；limf(x)==△,

%f0+X-o+

limf(x)=limln(l+x)=0,因此x=0是/(x)的第一类跳跃间断点.

x->0%->0

nx

r+x-e

7.讨论/(%)=lim的连续性。

col+enx

c[x2,x>0

x-i-x2enx\

解./(x)=lim--------=<0,x=0,因此/(x)在(一co,0),(0,+co)内连续，又

n-»co]+

x,x<0

lim/(x)=/(0)=0,二./(x)在(一oo,+oo)上连续.

%fo

第三章微分学基本理论作业(练习三)参考答案

一、填空题

1.设/(x)在x=0处可导，贝IJlim=(S—1)1(0)

7X

解Hm/.)一/⑴=slim/'A〃°)=lim〃°)=/⑻―广(0)

%—>0x%―0%—0x

2.设/(x)=x2-3x+2,则/"'(x)]=。

解：f'(x)=2x-3,故

f[fr(x)]=(2x-3)2-3(2x-3)+2=4x2-18x+20

3.设y=Q+x2)arctanx,贝ijy"=2arctanx+^----

4.d(xx)=________________

解：1.d(xx)=(exinx)=exinxd(x\nx)=xx(xdInx+Inx-dx)=xx(l+Inx)dx

5.函数于(x,y)=ln[(16-x2-y2)(x2+y2-4)]的定义域为

解：函数的定义域为满足下列不等式的点集

16-x2-y2>0„fl6-x2-y2<0

x2+y2-4>0+y2-4<0

解得的定义域为人,y)|4<，+y2<16}

6.已知/(X+=%2_y2贝Ijf(x,)二__________

X

解：令=%+y(1)

(2)

x

由(2)式解得y=ur,代入(1)式得x=-"ny=

1+v1+v

M2(1-V2)_w2(l-v)

有/("#)=

(1+v)2-1+v

贝1=

1+y

7.由方程xyz+Jx?+y+z?=后确定的函数z=z(x,y)，在点(1,0,T)处的全微分

dz二o

解F(x,y,z)=xyz+yjx2+y2+^2-V2=0

一,X

22

dz_F；_Jx+/+22_yzyjx+^2+z2+x

&F；盯+z.孙J—+y2+z'+z

次+产+?2

dz__九小2+y2+/+y__正

力F；孙/2+y2+22+z

dz=dx-41dy

8.设Y+z2=yo(Z),其中夕可微，则竺=

y

忿刀c&,dy

角单2z—=(p+y(p----

Sy

cp-—(p'

8zy

Sy2z-(pf

9.设u=exyz2,其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则

duI_

记|m)=-----------------。

x2x

解^L=eyZ+2zey-

dxdx

i八&&&-1-yz

1+0+--Fyz+孙一=0,——=-----

dxdxdx1+xy

dux2cx-1-

——=eyz+2ze-y-----

dx1+xy

x=0,y=l时，z=-l

dz［

­=1

&(0,1)

1,

10.设z=—f(xy)+y(p{x+y)J,0具有二阶连续导数，见=_______________

xoxdy

解：

&-1V-

-=-f(xy)+-f(xy)+y(p(x+y)

OXXX

d2z—11”..

=-f(盯)+—/(盯)+)/(盯)+/(x+y)+y。(x+y)

oxoyxx

=ylf(盯)+9'(x+y)］+0(x+y)

二、选择题

1.已知/'(%)=5,lim*"。)-〃L=—3,贝必=(D)

Ax

(A)1；(B)任意实数；(C)0.6；(D)-0.6

解...Hm=4.Hm/(/)-/Go-j=_

/匹)告%心心)爪)=团Q3

-Axv—。k\x

5k——3,k——0.6

2.下列结论中()不正确.

A./(x)在x=4o处连续，则一定在和处可微.

B./(x)在x=4o处不连续，则一定在工()处不可导.

C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D.若/(%)在［4-内恒有产(%)<0,则在［a6］内函数是单调下降的.

解因为函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，正确答案：A

3.设函数/(")=]后^疝薪,工，。则/⑺在点户0处(C)

[0,x=0

(A)极限不存在；(B)极限存在但不连续

(0连续但不可导；(D)可导

解limJix[sin'■=limJixlsin±=0,/(x)在点尤=0处连续，但

lim/(O+M-/(0)=lim2O_&二不存在，，/(x)在点x=0处不可导

%-oAxx->o-Ax

4.设b(x)=其中/(x)在x=0处可导,r(0)N0,f(0)=0,则x=0

是歹(x)的(B)

(A)连续点(B)第一类间断点

(0第二类间断点(D)连续点或间断点不能确定

解vF(0)=/(0)=0

limF(x)=lim=lim""~=广(0)。0=F(0),

.•・x=0是厂(x)的第一类间断点。

5.设函数/(x)具有二阶导数，y=/Qnx),贝.

dx

(力)—/"(Inx)(夕)[xf,r(lnx)-f\lnx)]

XX

94[/"(lnx)-r(lnx)](〃)4/(lnx)

XX

解：半=_f(lnx).(lnxy=%lnx),

axx

§=一±/'(1办)+工/(1打),=1""(1!1幻一尸(111创,故应选©.

dxxxxx

6.函数Z=ln(x2+y2_2)+j4-/_y2的定义域为(),

222222

Ax+y2BF+y、4cx+y>2D2<x+y<4

解：z的定义域为:

x2+y2-2>0

=>2<x2+y2<4选D

4-x2-y2>0

7.二重极限()

x->ox+y

yf0

(A)等于0(B)等于1(c)等于工

(D)不存在

2

D)

与A相关，因此该极限不存在

8.有且仅有一个间断点的函数是()

y

(A)—(B)(C)—(D)arctanxy

xx+y

解A.上在x=0时无定义，它有间断线；B.r向产+，"在x2+y2=。时无定义，即在(0,

X

0)无定义，它有一个间断点；C.^在x+y=0时无定义，即在直线丫=­上均无定

x+y

义；D.arctgxy无间断点，选B。

9.利用变量替换M=x,v=2,一定可以把方程x里+y丝=Z化为新的方程().

xdxdy

(A)w—=^(B)v—=z(C)w—=z(D)v—=z

dudvdvdu

解z是x,p的函数，从u=x,v=2可得％=〃，y=uv,故z是〃，p的函数，5Lu=x,

X

丫=上故2是的复合函数，故生=生1+左二，生=包.0+左._1,从而

xdxdudvxdyoudvx

十二计_dzdzdzydzydz&dz

dxdyduxdvxdvdudu

因此方程变为：«—=z

du

选A

10."=efsin土，则包在点(2,—)处的值为()

ydxdy兀

Q兀n

(A)—(B)(-)3(C)(-)2(D)1

&0du_.x_x1_1x.x、

角车——=-exsin—+excos-----=eX(z—cossin—)

dxyyyyyy

d2u_-1x-1.x-xx.x

------=ex(——cos——Isin---------cos--sin—

dxdyyyyyyyy

r/X-lXX.X

=e(——cos—+—sinx—)

yyyy

e~x1、xx.

=--[r(zx-l)cos—+—sin—J

yyyy

2

=冬[cos2万+2〃sin2〃)=(—)2

ee

选C

三、求解下列各题

l.求下列函数的导数：

(I)y=eaxsinbx

解：yr=(^axysinbx+eax(sinbx)r

=aeaxsinbx+eaxcosbx•b

=e"(asinbx+bcosbx)

(2)y=sinnx+sinnx

解：yr=(sin〃x)f+(sinnx)r

二"sin"—xcosx+ncosnx

=〃(sin"Txcosx+cosnx)。

(3)z=Iny/x2+y2

解：丝=_L.__=一

dxJ-2+y22yl12+y2x2+y2

ft_]________2y_y

^y~^x2+y2^x2+y2~x2+y2

(4)w=lnarctan—

y

du111y

解:——-----------------------•---------------------------------------------------------------------------------

小arctan—1+—丁(arctan—)(x2+y2)

yy2y

du11-x-x

—=-------------------------------=--------------------------------

arctan-i+土-)(arctan-)(x2+y2)

2

yyy

a+x2x<0

2.设/(x)=<1x=0,已知/(x)在x=0处连续可导,

ln(Z?+x2)x>0

试确立Q/并求f\x)

解lim/(x)=limln(z?+x2)=InZ?,lim/(x)=limG+x2)=6z,在％=0

。+x->0+x->0-x-»0-

处连续，.\lnb=a=1,即。=1,》=e。

当x〉0时，/'(x)=[ln(e+x2)]=2*,

e+x

当x<0时，ff(x)=2x,

当x=0时，f；(o)=lim/(0+*/(。)=lim二1+/)-1=0,

%-o+x10+x

c，「/(0+x)—/(0)1+%2—1,,

//(O)=lim-』―乙"=lim-----------=n0,故

Xf。-XX

2x,x<Q

/r(x)=\2x。

'7------7，x>0

、e+x

3.下列各方程中y是元的隐函数的导数

(1)xlny+ylnx=l,求dy。

解：Iny+'了+)+yrlnx=0

(—+lnx)yf=-(—+Iny)

—+Iny2i

整理得y'=—且一=-「1”

色+lnx厂+町11

y

dy=—二

x+孙Inx

(2)设％=f(2x-y,ysinx),其中/(〃#)具有二阶连续偏导数，求

dxdy

解：1^=2/i+ycos%,

OX

=2(一力,+sinxf)+cosxf+ycosx(-/+sinxf)

dxdyn22121

，

=-2fn+(2sinx—ycosx)力2+cosxf2+ysinxcosx/22.

4.求下列极限

⑴lim1-xy

x->0x2+y2

f

1-xy

解lim

x->0一小

1-cosy[x22

(2)lim+y

xfO22

yf0x+y

222(sin之尸了i

2(sinJ"x2+y)2

1-cos2+y2

解limlim=lim

x->022x->022X—o火丁)2F

y->0x+yy->0x+yy-0

lim-------

yTf0x+」y

解lim匚不存