人教版B版（2019）高中数学必修第一册：第二章综合测试（附答案与解析）

第二章综合测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.方程-%2-5x+6=0的解集为（）

A.{-6,1}B.{2,3}C.{-1,6}D.{-2,-3}

2.已知A={X|X2—2X>0},B=则AB=（）

A.{x\Kx<2}B.[x\2<x<3}

C.{%|无<0或%>1}D.{x|xVO或1<XV2}

3.小明准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元，直

到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数元的不等式是（）

A.30x-60..400B.301+60A00C.30x-60<400D.30x+40<400

4.不等式组I11<2>的解集为（）

[x>3

A.(0,^3)B.(A2)C.(A/3,4)D.(2,4)

5.若Z1V6,则下列结论正确的是（）

A.->-B.->1C.a2<Z?2D.ab<a+b

aba

6.设函数y=4%+'-1（尤VO）,则丁（）

X

A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值-5D.有最大值-5

7.若=2,x2+y2=4,则/。2。+y2。2。=()

A.4B.20202C.22020D.42020

8.已知aX）,bX）,且2a+b=2,则〃）的最大值为（）

B应

A.-C.1D.V2

22

42_2-o

r,v一’的实数解的个数是()

9.方程组<9

3x一知+x+2y+6=0

A.4B.2C.1D.0

.已知正实数满足使得，+工取最小值，则实数对（。,）是（

10a,b4a+6=30,6)

ab

A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)

x2-3

11.已知函数y=--------(x<-2),则函数y()

x+2

A.有最小值-2B.有最小值2C.有最大值-2D.有最大值-6

12.设a>0,bX),则下列不等式不一定成立的是()

A.。+Z?H—,—..2y

yjaba+b

C...a+bD.(a+b)11..4

yjaba+b

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上)

13.设M=542—a+i,N=4/+a—1,则M,N的大小关系为.

14.已知关于x的不等式d-x+a-1>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.

15.己知方程ax?+6匹+1=0的两个根为一J.,3,则不等式ax?+6x+l>0的解集为.

4

16.下列说法：

①设a,6是非零实数，若a〈b,则②若aVXO,则工>工；③函数y=J=±l=的最小值是

ab

2；④若x,y是正数，且1+3=1,则xy的最小值16.

xy

其中说法正确的是.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

a2b2

17.[10分]已知a>0,b>0,且awb,比较一+—与a+3的大小.

ba

18.[12分]已知命题?：方程x?+mr+1=0有两个不相等的实根，命题p是真命题.

(1)求实数加的取值集合V；

(2)设关于x的不等式(x-a)(x-"-2)<0的解集为N,若xeN是xeA/的充分条件，求。的取值范围.

OQ

19.[12分](1)若xX),y>0,且一+—=1,求母的最小值.

尤y

(2)已知x>0,y>0且满足x+2y=l,求工+工的最小值.

xy

20.[12分]要制作一个体积为9m3,高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，

侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低？最低为多少

元？

21.[12分]解关于%的不等式56f+依一.2Vo.

22.[12分]已知a,b,c均为正实数，求证：

(1)(。+b)(ab+c2^^4abc；

(2)若i+h+c=3,则^/^n+^/m+^/?工Tw30.

第二章综合测试

答案解析

1.【答案】A

【解析】方程一x?—5x+6=0可化为炉+5x—6=0,BP(x+6Xx4)6,解得x=—6或x=l,.,.方程的解

集为{-6,1}.

2.【答案】C

【解析】4={彳|工>2或％<0},B^[x[l<x<3},：.AB={x|x<0^u>l}.

3.【答案】B

【解析】设x个月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元，故不等式为

30x+60^400.

4.【答案】C

【解析】由|x-2|V2,得0VxV4,由Y>3,得x>百或x<-百，.•.原不等式组的解集为(指,4).

5.【答案】D

【解析】对于A：若a=—2,6=2,则不成立；

对于B：若a=-2,b=2,则不成立；

对于C：若a=—2,b=2,则不成立；

对于D：a<l<b,：.a-l<0,b-]>Q,

：.(a-l)(Z?-l)<0,^ab-a-b+l<0,

ab+Ka+b,ab<a+b,故D成立.

6.【答案】D

【解析】Vx<0,：.-xX).

y=4x+，一1=一（-4x）+——1W-4-1=一5（当且仅当-4x=—4，即％=-工时等号成立）.

x-xx2

有最大值-5.

7.【答案】C

【解析】x-y=2,即/+；/=4,即孙=0,解得x=0或y=0.

x-2,

x=°，rX20?。+y202。=0+（_2）2°2。=2020或2020J0202020%020

>=-2或2%+=2+Q=

y=0.

8.【答案】A

【解析】•/a>0,bX),且2a+b=2,则ab=Lx(2ab),,

22I22

当且仅当2a=b且2a+b=2,即0=工，Z?=l时"=”成立,

2

此时取得最大值」.故选A.

2

9.【答案】B

【解析】比-V=。,①

3厂-孙+x+2y+6=0,②

Jy=2x,

由①得'=±2》，原方程组可以转化为

[3x2-xy+x+2y+6-0,

x——2,X=T.y=-2x,

解得《或3-孙+x+2y+6=。无解.

y=.4,y=-6,

4丫2_v2=0

故方程组:y一'的实数解的个数是2.

3x—孙+x+2y+6=0,

10.【答案】A

.b4a

【解析】,**a,b《R*—(4a+b)115+—+—.；—x(5+2A/4)=—,

ab30a+b1ab3010

b_4a

当且仅当,Z="T'时取"二"，这时〃=5,b=10.

4a+b=30,

n.【答案】D

【解析】Vx<-2,Ax+2<0,令％+2=%，则％VO.

・・%?—3,(£—2)2—3/—41+11./\(Ac/i工

•y=------,->y=--------------=-------------=t-\------4=—(—f)+1—J-4,,—2—4=—6,

当且仅当T且CO,即r=-l时，等号成立，即x=—3时y取最大值-6.

t

12.【答案】B

【解析】a>0,bX),

a+bT—丁——JaZ?-\—1—:2^/2,

yjaby/ab

当且仅当Q=Z?且即〃=/?=，2时取等号，故A一定成立;

y[ab2

a+b..2y[abX)，/.2ab,,

a+b24ab

当且仅当Q=b时取等号，

・・・也..痣不一定成立，故B符合题意；

a+b

•.•2艺”乌幺=而，当且仅当a=6时取等号，

a+b2yJab

：.^^=(a+b)2-2ab=a+b_独,2册-瓢=瓢,当且仅当a=6时取等号,

a+ba+ba+b

••a..Jab,二.61"一..a+b.故C——定成立；

a+byjab

V(tz+Z?)|—+—j=2+—+—..4.当且仅当a=h时取等号，故D一定成立.故选B.

yab)ab

—«■、

13.【答案】M>N

【解析】M-A^=5a2-a+l-(4a2+a-l)=a2-2a+2=(a-l)2+l^l>0,/.M>N.

14.【答案】a...-

4

【解析】关于x的不等式f—x+a-IN)在R上恒成立，所以二次函数y=f-x+a-i的图像与天轴最多

有一个交点，所以判别式△=(-1>-4(a-l),,0,解得a.2.

15.【答案】\x\--<x<3

【解析】根据题意，方程依2+陵+1=0的两根为—工，3,则有[-L]X3=L,解得。=一3<0,

4I4)a3

则ax2+bx+1>0<^<3，即不等式的解集为1.

16.【答案】②④

【解析】①中a"一。2〃="双〃一。).由于a,Z?符号不定，故上式符号无法确定，故①不对.②中在aVb两

边同乘正数上，得工>工，故②对.

abab

③中y=；=J%'+2+1..2,

6+26+2

但由Jd+2=，-得/+2=1无解,故③不对.

&+2

14414

④中，・・・±+2=1..2/上(当且仅当_1=3,即九=2,y=8时等号成立),

xyyxyxy

Axy..16,故④对.

(a2b2}a2b-

17.【答案】解：—+--{a+b)=--b+—-a

、ba)ba

=(a2-b2]ab=3->)"a+b)

''abab

•:aX),b>0,a手b,.*.(6Z-Z?)2>0,a+bX),ab>0.

.(a2b2],…/

••----1|—(a+Z?)>0,••1>a+Z?.

[ba)ba

18.【答案】解：(1),・•命题p：方程d+nu+l=O有两个不相等的实根,

AA=m2-4>0,解得加>2或mV—2.

M={m\加>2或?nV—2}.

(2)\*x的充分条件，

:•N三M,N={x|aVx<a+2},々+2・一2或1..2,

④一4或。..2

OQ

19.【答案】解：(1)•・”>0,y>0,且一+—=1,

%y

当且仅当8x=2y,即%=4,y=16时取等号，

・••孙..64,故孙的最小值是64.

■二•X^O,y>0，%+2y=l,那么—I———I—](%+2y)=ld----F2H—...3+2J------=3+2^/^,

xyyxyJyxyyx

当且仅当尤=艰>，即x=^-1,y=2二2时取等号，故工+工的最小值是3+2加.

2xy

g

20.【答案】解：设该长方体容器长为xm,则宽为Zm,又设该容器的总造价为y元,

x

贝ijy=9xl0+2[x+2