空间向量的数量积运算备作业高二数学系列（苏教版2019必修第二册）

一、单选题

1.已知向量q,e2,e,是两两垂直的单位向量，且4=34+21-63，6=昌+羽则

(6”卜(；”=().

A.15B.3C.-3D.5

【答案】B

【分析】

利用数量积公式计算即可得出结果.

【详解】

,••向量4，e?,e：是两两垂直的单位向量，且&=3g+2e2-03,b=e、+2q,

2

人)=3a/=3x(3e(+2e2—e3)(e,+2ei)=9|'—6|e3|=3.

故选：B

2.如图，边长为1的正方体45勿-4旦64中，则D4•町的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】

建立适当的空间直角坐标系，求得两向量的坐标，利用空间向量的数量积的坐标运算公

式计算即得所求.

【详解】

解：建立如图所示坐标系，则/(1,0,0),〃(0,0,0),8(1,1,0),4(0,0,1),

故£>A=(1,0,0),BD、=(-1,-1,1),则

故选：B.

3.已知空间向量a,〃,c两两夹角均为60,其模均为1,则卜+b-2《=()

A.72B.y/3C.2D.75

【答案】B

【分析】

转化为空间向量的数量积计算可求出结果.

【详解】

卜+b-2c卜yj(a+b-2c)2=^a1+b2+4c2+2a-b-4a-c-4b-c

=J14-l+4+2xlxlx--4xlxlx-■-4xlxlx—

V222

=\/3•

故选：B

4.已知空间向量满足a+b+c=0,H=2，W=3,|C|=4,则°与匕的夹角为()

A.30°B.45°

C.60°D.以上都不对

【答案】D

【分析】

设a与6的夹角为。，由a+〃+c=O,得“+b=-c，两边平方化简可得答案

【详解】

设“与b的夹角为0,

由a+/?+c=0,得Q+〃=-C，

两边平方，得夕+2a•b+b=c>

因为|4=2，W=3，H=4,

所以4+2x2x3cos6+9=16,解得cosO=-,

4

故选：D.

5.在棱长为1的正方体4604644中，设===c,则a-S+c)的值为

()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【分析】

由正方体的性质可知力氏4),胡两两垂直，从而对“S+c)化简可得答案

【详解】

由题意可得AB1ADMB.LA4,.

所以“_L_Lc,所以“力=O,a-c=0,

所以a-(b+c)=。

故选：B

6.在正方体ABCD-A，£C'£>'中，棱长为2,点M为棱">'上一点，则8M的最

小值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

以。分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得结合向量

的数量积的运算，即可求解.

【详解】

如图所示，以。分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),8(2,2,0),设M(0,0,a),

所以AM=(-2,0,a),BM=(-2,-2,a),

则AM•8M=(-2,0,a)•(-2,-2,a)=4+<?,

当。=0时，AM.8M的最小值为4.

故选：D.

7.如图，在平行六面体ABCO-ABCiR中，底面是边长为1的正方形，若

ZAlAB=ZA1AD=60°,且AA=3,则AQ的长为

A.y/5B.20c.V14D.717

【答案】A

【分析】

由几何图形可得AC=4月+AA+AA，然后两边平方，根据向量的数量积可得1,

进而得到Ac的长度.

【详解】

因为AC=A4+42+AA，

22

所以A,C=(A,B；+A1D1+A1A)

=AB-+|A,D]|2+A,A+

=1+1+9+2(0+1X3XCOS1200+1X3XCOS1200)

故4。的长为石.

故选A.

【点睛】

本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长

度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可,

体现了向量具有数形二重性的特点.

8.在棱长为1的正四面体A8C。中，DBAC=（）

A.-1B.0C.--D.1

2

【答案】B

【分析】

uunuumuimuuuruunminuunminuuu

由向量的减法法则有AC=DC_OA，贝IJ08•AC=♦（CzC_x=08•OC_08•ZM,

由向量的数据的定义可得答案.

【详解】

由。8-AC=08.（DC-D4）=08-£>C-08-D4=cos600-cos60°=0.

故选：B

二、多选题

9.棱长为1的正方体A8CD-ABCQ中，下列结论正确的是（）

A.AB=CRB.ABBC=O

C.AA,BtDt=0D.AC/AC=（）

【答案】BC

【分析】

根据正方体的几何特征，利用空间向量的运算求解判断.

【详解】

如图所示：

由图形知：因为AB=-CD,CD=CR,所以=—CQ,故A错误；

因为4BJ.3C，所以A8・8C=0，故B正确；

因为平面A蜴CQ,所以8a,所以A4,.4A=(),故C正确；

因为四边形的GC是矩形，所以A&与AC不垂直，则AC「AC#O,故D错误.

故选：BC

10.设a,b,c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确

的是()

A.(a-b)c-(c-a)b=0B.\a\-\h\<\a-b\

C.(b-a)c-(c-a)b一定不与C垂直D.(34+2方>(3。-2匕)=91〃5-41b『

【答案】BD

【分析】

根据数量积的性质判断A,根据三角形的性质判断B,根据向量的垂直判断C,根据向

量的运算满足平方差公式判断D.

【详解】

A:是表示与向量c共线的向量，而(c-aM是表示与向量6共线的向量，A错

误，

B：«,人是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得

\a\-\b\<\a-b\,B正确,

C:[(ba)c-(c-a)b]c=(b-a)cc-(c-a)bc=0可能成立，：.C错误，

D：向量的运算满足平方差公式，，(3a+2b).(3a-2Z>)=9|a|2-4gF,正确，

故选：BD.

11.若a,4c是空间任意三个向量，/leR,下列关系中，不感辛的是()

A.\a+b\=\b-a\B.(a+b)-c=a-(b+c)

C.+b)=Aa+AbD.b=A,ci

【答案】ABD

【分析】

根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选

项.

【详解】

由向量加法的平行四边形法则，只有即Gb=O时，都有|。+勿=|6-。|,A不成

立；

由数量积的运算律有(a+b>c=a・c+»c,a(b+c)=a-b+a-c,2/与"2不一定相

等，B不成立；

向量数乘法则，C一定成立；

只有。,6共线且二工3时，才存在；1,使得匕=2a，D这成立.

故选：ABD.

12.设a,b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有().

.2I12,,ci-bb

A.a=|«lB.——=—

a'a

C.(ab)2=a2-b2D.(a-b)2=a2-2a-b+b2

【答案】AD

【分析】

由向量数量积的运算律及数量积的定义逐个判断即可.

【详解】

由数量积的性质和运算律可知/〃是正确的；

而驾•运算后是实数，2没有这种运算，B不正确；

a5

222222

(a^b)=(]a\-\b\cos0)=|〃『.|b|cos0^\a\^\h^=a-b9C不正确.

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查了向量数量积的运算律，属于基础题.

三、解答题

13.在三棱锥O-ABC中，已知侧棱。1,0B,a1两两互相垂直，求证：底面，A8C是

锐角三角形.

【答案】证明见解析

【分析】

通过计算CBC4大于零得到角C为锐角，同理A8均为锐角，则可证明A8C是锐角

三角形.

【详解】

如图，由已知得OBOA=0,OBOC=0,OCO4=0

5PJCBCA=(0B-0Cj(0A_0C)=0BQ-0B0C-0CQ+0c2=0c2>(),

即|C8，C4kosc>0,即8sC>0,

Ce(O,i),，C为锐角

同理A8均为锐角

所以底面,ABC是锐角三角形

14.如图，棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)OABC,M是棱BC的中点,

13

点N在线段QM上，点P在线段AN上，且MN=aON,AP=-AN.

o

(1)用向量04，OB，0C表示AN;

⑵求10Pl.

【答案】

(1)A7V——OAH—OBH—0c.

33

⑵运

4

【分析】

(1)根据空间向量的线性运算即可求解;

(2)先计算OP2=(，OA+LO3+1OC],再开方即可求解.

U44J

(1)

解：AN=AO-^-ON=AO+-AM=A0+-x-(0B+0C}=-0A+-0B+-0C

332、,33f

所以AN=-0A+-0B+-0C-

33

(2)

OO1o

解：因为0P=0A+AP=0A+_AN=0A+二(QN_0A)=_0A+」0N

44、744

=-OA+-x-OM=-(9A+-xl(<9B+OC)=-C>A+-OB+-C>C.

443422、,444

又因为四面体Q43C是正四面体，

则|QA卜附=|oc|=i,

OAOB=OBOC=OAOC=Mx-=~,

22

OP2=\-OA+-OB+-Oc\=—(0A+0B+0C

U44J16、

0A2+OB2+OC2+2OAOB+2OBOC+2OAOC

.clclcD6

=—l+l+l+2x—+2x—+2x—=—

161222)16

所以|op卜手.

15.如图，在三棱锥P-ABC中，P4_L平面ABC,CBVAB,AB=BC=a,PA=b.

B

(l)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC.AB;

(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PCA8.

【答案】

(1)PC在平面A8C上的投影向量为AC，PCAB=a2;

(2)PC在AB上的投影向量为AB，PCAB=a2-

【分析】

(1)根据R4_L平面ABC可得Ad在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算

以及数量积的定义计算PCAB=(PA+A8+8C)M8的值即可求解；

(2)由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PCSB

的值.

(1)

因为PAJ-平面ABC,所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，

因为PAJ•平面ABC,面ABC,可得以_LA8,所以P4AB=0，

因为C8_LAfi,所以BC-AB=O，

所以PCAB=(PA+AB+8C)AB=PAA3+A8A3+8CA8

=0+d!2+0=6!2.

(2)

iuuni

由⑴知：PCAB=a2^=

所以PC在A8上的投影向量为：

\\!\ABIIPC-ABABPC-ABABa2AB

PDCrcos(PoCr,AAOB)■।——=PC\-1~n-j~7•i——,=—；——；—•।——-----------AB

'1'/网।r1pc|.网网网网raa'

由数量积的几何意义可得：PC-AB=\AB\-\AB\=a2.

16.在平行六面体A8C3-A4C。中，AB=4