决胜中考数学压轴题全揭秘（下）二次函数的存在性问题试卷

专题二次函数的存在性问题

16、

题(含特殊四边形)

【典例分析】

【考点1］二次函数与相似三角形问题

【例1】已知抛物线蚱江+加+3与x轴分别交于4-3,o),B(i,o)两

点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)点F是线段AD上一个动点.

AT1

①如图1,设后=而，当k为何值时，CF^-AD.

ADN

②如图2,以A,F,。为顶点的三角形是否与相似？若相似,

求出点F的坐标；若不相似，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3,D的坐标为(-1,4)；(2)①%=②以

A,F,O为顶点的三角形与AABC相似,F点的坐标为1皆)或(-2,2).

【解析】⑴将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法

即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(-1,4);

⑵①由A、C、D三点的坐标求出AC=3a,DC=V2,AD=2V5,可

得AACD为直角三角形，若CF=：AD,则点F为AD的中点，可求出

k的值；

②由条件可判断/DAC=/OBC,则/0AF=4CB，若以A,F,O为

顶点的三角形与AABC相似，可分两种情况考虑：当/AOF=/ABC或

NAOF=/CAB=45°时，可分别求出点F的坐标.

【详解】⑴抛物线y=ax?+bx+3过点A(-3,0),B(1,O),

9Q—38+3=0a=—\

a+H3=0'解得：1=-2'

抛物线解析式为y=-x2-2x+3；

y--x2-2x+3=-(x+1)2+4,

•・顶点D的坐标为(-1,4)；

⑵①在RtAAOC中，OA=3,OC=3,

.-.AC2=OA2+OC2=18,

D(-l,4),C(0,3),A(-3,0),

.-.CD2=12+12=2,

AD2=22+42=20,

,-.AC2+CD2=AD2,

.•.△ACD为直角三角形，且/ACD=90°,

CF=-AD.

2，

•・F为AD的中点,

AF_1

AD-2

②在RtAACD中，tan/ACD=翳亲=g,

QD|

RtAOBC中，tan/OCB=Qfj=§，

/./ACD=NOCB,

OA=OC,

/OAC=/OCA=45°,

NFAO=NACB,

若以A,F,。为顶点的三角形与AABC相似，则可分两种情况考虑:

当/AOF=NABC时，AAOF^ACBA,

/.OFBC,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

k+b=Ok=-3

解得:

b=3b=3

二直线BC的解析式为y=-3x+39

二直线OF的解析式为y=-3x,

设直线AD的解析式为y=mx+n,

-k+b=4k=2

,解得：

一3女+b=0b=6

・•・直线AD的解析式为y=2x+6,

6

x-——

y=2x+65,05

[y=-3x，解得：’

18，

y=一

-5

当NAOF=/CAB=45°时，AAOF^ACAB,

/CAB=45°,

OF±AC,

•.直线OF的解析式为y=-x,

y=-xfx=-2

•••\”,解得：9，

=2x+61y=2

」.F(—2,2),

综合以上可得F点的坐标为或(-2,2).

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点

的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用

待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的

思想解决数学问题.

【变式＞1】如图，抛物线y=M+2x+c经过A(T,0),B两点,且与y

轴交于点。(。，3),抛物线与直线y=T-1交于A,E两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)坐标轴上是否存在一点。，使得0。七是以AE为底边的等腰三

角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

(3)P点在x轴上且位于点8的左侧，若以P,B,C为顶点的三角

形与AABE相似，求点P的坐标.

【答案】(1)y=*+2x+3;(2)存在，Q(4,0)或(0,-4),理由见解

析；(3)P你0)或+别.

【解析】⑴将A、C的坐标代入y=o?+2x+c,求出a、c即可得到

解析式；

(2)先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,

与y轴交于Q',根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E,Q，与A、

E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(O,x),

Q'坐标(0,y),根据距离公式建立方程求解即可；

(3)根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出ZBAE=ZABC=45°,

PRAHPRAF

设PW，。)，由相似得到器=鬓或霹=笫，建立方程求解即可.

oCAL£>CAD

【详解】(1)将31,0),C(0,3)代入y=加+2x+c,得：

Q-2+CJ，

［c=3=。,解得［c［a==3-l

•••抛物线解析式为y=-x2+2x+3

(2)存在，理由如下:

联立y=-x-1和尸一f+2x+3,

y=-X-\**x=4

2一+21+3,解得J孱%=T。或十i

、）'=-5

•••E点坐标为(4,-5),

如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q,与y轴交于Q',

此时Q点与Q'点的坐标即为所求，

设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),

由QA=QE,QA=QE得：

2222

卜-(T)|=J(I)2+(0+5)2,^(0+1)+(>-0)=A/(O-4)+(y+5)

解得x=4,y=4

故Q点坐标为(4,0)或(。，-4)

(3)•/A(-l,0),£(4,-5)

={(_]_4/+52=5及,

当-f+2x+3=0时，解得工=一1或3

「.B点坐标为(3,0),

/.OB=OC=3

NABC=45°,A3=4,BC=30,

由直线y=rT可得AE与y轴的交点为(0,-1),而A点坐标为(-1,0)

/.ZBAE=45°

设p(m,0)贝！]BP=3—m,

,/AP8C和AA8E相似

PBABPBAE3-/n_4.3-m50

..拓二而或而=罚，即nn而=迈或而=丁

39

解得加=,或加=-5,

.•.pg.o)rtp(44

【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟

练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角

形的性质是解题的关键.

【变式1-2］如图，已知抛物线y=-：(x+2)(x-⑼(m>0)与x轴相交于

点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.

(1)若抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH

的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在第四象限内，抛物线上是否存在点M,使得以点A,B,M

为顶点的三角形与4ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，

请说明理由.

11Q

【答案】⑴了=-工/+5，+2;(2)点H的坐标为(1,5);(3)

当m=2+2夜时，在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,

M为顶点的三角形与4ACB相似.

【解析】

分析：

(1)把点(2,2)代入y=-'(x+2)(x—M?,〃＞中，解出m的值即

m

可得到抛物线的解析式；

(2)由(1)中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，

点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即

为所求的点H,根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点

H的坐标；

(3)由解析式y=-Lx+2)(x-M?m＞可得点A、B、C的坐标分别

m

为(-2,0)、(m,0)和(0,2),如下图，由图可知/ACB和/ABM

是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACBSAABM,

②△ACBsaMBA,分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答

即可.

详解：

(1)把点(2,2)代入抛物线，

得2=-,(2+2)(2-m).

m

解得m=4.

二.抛物线的解析式为y=Tx+2)(x-4)=-：x2+；x+2.

(2)令y=-；x2+gx+2=0,解得与=-2,X2=4.

则A(-2,0),B(4,0).

]_

对称轴X=-2xhJ

y=_%2+gx+2中当x=0时，y=2,

•••点C的坐标为(0,2).

.・・点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

.••连接BC与对称轴的交点即为点H,此时AH+CH的值最小,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

4Z+Z?=0k=—

把B(4,0),C(0,2)代入得：,_,解得：2,

[曰[b=2

二.直线BC的解析式为y=[x+2.

13

...当X=1时，y=--xl+2=y.

3

点H的坐标为(1,-).

(3)假设存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与4ACB

相似.

如下图，连接AC,BC,AM,BM,过点M作MN_Lx轴于点N,

由图易知，NACB和/ABM为钝角，

ArAB

①当△ACBsaABM时，有大=^77，BPAB2=ACZXM.

ABAM

.「A(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,

/.ZCAB=ZBAM=45°.

轴，ZBAM=/AMN=45°,

「.AN=MN.

二.可设M的坐标为：(x,-x-2)(x>0),

把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=-》x+2Xx-m).

化简整理得：x=2m,

•••点M的坐标为：(2m,-2m-2).

/.AM=J(2m+2『+(-2m-2)=2A(/2m+1J.

AB2=AC2\M,AC=2V2,AB=m+2,

/.(m+2)2=20x2何m+1).

解得：m=2±20.

,/m>0,

「.m=2+2夜.

②当△ACBsA.MBA时，有BPAB2=CB?V1A.

VZCBA=/BAM,ZANM=ZBOC=90°,

“AWAMNCO

AANM^ABOC,「.“、，=.

ANBO

,/BC)=m,设ON=x,

MN2皿…2,c、

--=,即MNT=—(x+2).

2+xmm

2

令M(x,-—(x+2))(x>0),

把M点的坐标代入抛物线的解析式，

71

得(x+2)=(x+2)(x—m).

mm

2

解得x=m+2.即M(m+2,--(m+4)).

____2

VAB2=CB*MA,CB=7m2+4,AN=m+4,MN=-(m+4),

(m+2)2=Jm」+4“m+4)2+%1T.

化简整理，得16=0,显然不成立.

综上所述，当m=2+20时，在第四象限内抛物线上存在点M,使得

以点A,B,M为顶点的三角形与4ACB相似.

点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以

下两点：（1）“知道点A、B是关于抛物线的对称轴对称的，连接

BC与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）

“能根据题意画出符合要求的图形，知道NACB和/ABM为钝角，

结合题意得到存在：①当△ACBS^ABM,②aACBsaMBA这

两种可能情况”是解答第3小题的关键.

【考点2】二次函数与直角三角形问题

【例2】如图，抛物线丫=加+云+。（方0）的顶点坐标为（2,-1）,图象

与》轴交于点。（。，3）,与x轴交于A、B两点.

（1）求抛物线的解析式；

⑵设抛物线对称轴与直线8C交于点连接AC、ADt求ACD的

面积；

（3）点E为直线BC上的任意一点，过点E作％轴的垂线与抛物线交于

点尸，问是否存在点E使DEF为直角三角形?若存在，求出点E坐标,

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=（x-2）2_1=X2_叙+3修⑵⑶见解析.

【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得

抛物线解析式；

(2)由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直

线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD?、AC2

和CD2,利用勾股定理的逆定理可判定aACD为直角三角形，则可

求得其面积；

(3)根据题意可分NDFE=90°和NEDF=90°两种情况，当

ZDFE=90°时，可知DF//X轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物

线解析式可求得E点坐标；当NEDF=90°时，可求得直线AD解

析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线

BC可求得点E的坐标.

【详解】解：(I)二.抛物线的顶点坐标为(2，-1),

二.可设抛物线解析式为产心-2)2-1(.0),

把C(0,3)代入可得“(0-2)2-1=3,解得a=i,

...抛物线解析式为k(X-2)2_1=》2_4》+3；

⑵在y=f-4x+3中，令y=0可得/_4%+3=0,解得x=l或x=3,

/.A(l,0),B(3,0),

设直线BC解析式为产依+3,把3(30)代入得：3%+3=0,解得％=-1,

・・・直线8c解析式为》=-+3,

由⑴可知抛物线的对称轴为x=2,此时丫=-2+3=1,

AD2=2,AC2=10,CD2=8,

AD2+CD2=AC2,

AC。是以AC为斜边的直角三角形，

S™=-AZ）-CZ）=-xV2x2>/2=2；

A，。22，

⑶由题意知打〃），轴，贝I」ZFED=40cB*90,

二.OE尸为直角三角形，分N。/芯=90和/瓦尸=90两种情况，

①当ZD/芯=90时，即DP//X轴，则。、尸的纵坐标相同，

•••尸点纵坐标为1,

.•.点尸在抛物线上，

/.X2-4X+3=1,解得x=2士攻，即点E的横坐标为2±0,

.•・点E在直线8c上，

.,.当x=2+&时，y=-x+3=l-血，当x=2-a时，y=-x+3=l+0,

E点坐标为（2+夜,1-夜）或（2-夜，1+⑹；

②当/EDF=90时，

•.•A（l,0）,D（2,l）,

二.直线A。解析式为V=x-1,

;直线BC解析式为y=r+3,

/.AD1BC,

・・・直线AD与抛物线的交点即为E点，

联立直线AD与抛物线解析式有%2-4%+3=X-1,解得x=1或x=4,

当x=l时，y=-x+3=2,当x=4时，y=_x+3=_l,

•・"点坐标为。2）或（4,-1）,

综上可知存在满足条件的点E,其坐标为（2+夜,1-何或（2-夜,1+闾

或。，2）或（4T）.

【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列

出方程组，可以求出函数解析式.

【变式2-1］如图，经过x轴上A(-LO)，W3,0)两点的抛物线

y=m(x-l)2-4m(m<0)交,轴于点J设抛物线的顶点为。，若以

为直径的。G经过点C,求解下列问题：

(1)用含机的代数式表示出C，。的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)能否在抛物线上找到一点。，使△MQ为直角三角形？如能，

求出。点的坐标，若不能，请说明理由。

【答案】(1)点。的坐标为。(。，-3加),点。的坐标为(1，-4加)；(2)抛

物线的解析式为y=f2+2x+3;(3)满足题意的。点有三个：(0,3)、

【解析】

【试题分析】

(1)"袱》-1)2-4〃?是顶点式，则顶点。的坐标为。(0，-3加),当x=0,

则y=-3m,即点。的坐标为C(0,-3m)；

(2)连接CD、BC,过点。作桃八轴于E,如图①所示:根据直

径所对的圆周角是直角，得N0CB=9O。，出现“一线三等角模型”，

DEEC1-m

得OECsCOB根据相似三角形的性质得：=即士=^,解

得加=-1,则抛物线的解析式为V=-f+2x+3.

（3）分三种情况分类讨论：4QD=90。（图①）显然。与。点重合,

点。坐标为。（。，3）；NOBQ=90。（图②）作QP，），轴于E,0Hs轴

于〃，根据两角对应相等，两三角形相似，得RtRffisRtBFQ,

等=2,贝1」。"'演=8八"5，由于点。坐标（%,-攵2+2左+3），则

t>rr\）

4俨一2%-3）=2（3-左），解得：k*

由斤=—T得°坐标：°（一/一£|；NBOQ=90。（图③）延长OQ交了轴

于M,作DEJ_）■轴于E,DHL轴于“，同理可证：DEM^DHB,则

DEEM1EM1（7、

器=需，即卜一，得点M的坐标为0,5,设。〃所在的

直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把M]O,3和D（1,4）代入

得:

b=-17

<2解得：k=-,b=-

k+b=4

1717

则直线DM的解析式为y=—x+—，把,=5》+耳代入y=_》2+2x+3

得：2/_3»1=0,解得，尤=（,最后把尤=/弋入y=]+g得）'=?,

15

点Q的坐标为2'T

综上述，。点有三个：（。，3）、

【试题解析】

(1)..,y=m(xT)2-4一是顶点式

.••点。的坐标为(1，-4根)

当x=0时，y=-3m

点。的坐标为。(。，-3加)

(2)连接CD、BC,过点。作。轴于E,如图①所示：

・「BD是。G的直径

/.ZDCB=90(,

.-.ZECD+ZBCO=90°

VZECD+ZEDC=9OO

/.ZBCO=ZEDC

DEEC1-m

・•./DEC=ZBOC=90°/.DECsCOB:y/

COOB-3m3

YY^=1m=±1*/m<0m=-l

••・抛物线的解析式为y-—+2x+3

(3)能在抛物线上找到一点Q,使aBDQ为直角三角形

很明显，点。即在抛物线上，又在。G上，ZBCD=9Q°,这时。与。点

重合

点。坐标为。(0,3)

如图②，若“BQ为90。,作QC)，轴于F,

DH1x轴于〃

同理可证：Rt皿汨sRtBFQ

DHHB

''~BF~~FQ

DH*FQ=BF*HB

•.•点。坐标（攵,42+2左+3）

4（%2_2左-3）=2（3-左）

3

化简得：2r_3"9=0,解得：k=3（不合题意，舍去），女=-；

由后=_"!得Q坐标：

若ZBDQ为90。,如图③，延长。。交了轴于M,

作。E_Ly轴于E,。”Lr轴于H,同理可证：DEM》DHB

•DE—.EM

••DH-HB

则上竿,得点时的坐标为卜口

l,乙乙k乙J

设。M所在的直线解析式为y=kx+b,把M（0。和D（1,4）代入得:

b=—17

2解得：k-b=5

k+b=4

1717

「•直线DM的解析式为y=]X+5，把代入y=—d+2x+3

得：2/一3%+1=0

解为：尤=1（不合题意，舍去），

把代入得>=[,点。的坐标为A，1）

综合上述，满足题意的。点有三个：（。，3）、

【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与

坐标轴的交点，一线三等角证相似，并且多次运用相似三角形的对应

边成比例，直角三角形的确定(3种情况分类讨论)，难度较大.

【变式2-2】已知抛物线y=2升机-1与x轴只有一个交点，且与y

轴交于4点，如图，设它的顶点为B.

(1)求相的值;

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C,求证：△ABC是等

腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线，，且与x轴的

左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线，上求点P,

使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形？

【答案】(Dm=2;(2)证明见解析；(3)满足条件的P点的坐

标为(3~，瓦)或(］，一瓦，

【解析】

试题分析：(1)根据抛物线与x轴只有一个交点可知△的值为0,由

此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；

(2)根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A

点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出AABC为等腰直角

三角形；

(3)根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直

角顶点和以F为直角顶点P的坐标.

试题解析：(1)..,抛物线y=x2-2x+m-l与x轴只有一个交点，

「.△=(-2)2-4xlX(m-1)=0,

解得，m=2;

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2-2x+l=(x-1)2,易得顶点

B(1,0),

当x=0时,y=l,得A(0,1).

由1=X2-2X+1,解得，x=0(舍)或x=2,所以C点坐标为：(2,1).

过C作x轴的垂线，垂足为D,贝!!CD=1,BD=XD-XB=1.

.•.在RtaCDB中，ZCBD=45°,BC=&.

同理，在RtaAOB中，AO=OB=1,于是/ABO=45°,AB=&.

/.ZABC=180°-ZCBD-ZABO=90°,AB=BC,

因此AABC是等腰直角三角形；

(3)由题知，抛物线C'的解析式为y=x2-2x-3,

当x=0时，y=-3;

当y=0时，x=-l或x=3,

/.E(-1,0),F(0,-3),即OE=1,OF=3.

第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为B(X1,

Yi),作P】MJ_x轴于M.

•/ZP!EM+ZOEF=ZEFO+ZOEF=90°,

.•.NP]EM=/EFO,得RtaEFOsRtaPiEM,

r.RMOE1口口___cc、＜

则古广方=5,即EM=3P1M.

,/EM=x1+l,P]M=yi,

..%+1=3丫1①

由于Pi(X],Y1)在抛物线C'上,

则有3(x/-2x「3)=Xi+l,

2

整理得，3x1-7x1-10=0,解得，

的=与，或X2=-l(舍去)

把的=3代入①中可解得，

13

y1=§.

・♦.P](y,7).

第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2(x2,

y2),作PzN_Ly轴于N.

同第一种情况，易知R3EFOsR3FP2N,

FNOE1

得丽=而、即P?N=3FN.

,/P2N=X2,FN=3+y2,

-*.X2=3(3+y2)②

由于P2(x2,y2)在抛物线C'上,

2

则有X2=3(3+X2-2X2-3),

7

整理得3X22-7X2=0,解得X2=0(舍)或为="

把当=T代入②中可解得，

20

肪=一§•

综上所述，满足条件的P点的坐标为：(与10，£13)或(7(，-三20).

【考点3］二次函数与等腰三角形问题

【例3】如图，已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,

B两点，其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,

-3)在抛物线上.

(1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值；

(3)若抛物线上有一动点M,使AABM的面积等于AABC的面积,

求M点坐标.

(4)抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得4BCQ为等腰三角

形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴y=x2+2x-3;(2)3V2;(3)点M的坐标为(-1

-币,3),(―1+B，3),(-2,-3);(4)存在；点Q的坐标

为(-1,V6),(-1,-瓜),(-1,0),(-1,-6),(-1,-

1).

【解析】(1)由点A,D的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的

表达式；

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，连接

BD,交抛物线的对称轴于点P,由抛物线的对称性及两点之间线段

最短可得出此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度，再由

点B,D的坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值；

(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点M

的坐标为(x,x2+2x-3),由△ABM的面积等于△ABC的面积可得

出关于x的一元二次方程，解之即可求出点M的坐标；

(4)设点Q的坐标为(-1,m),结合点B,C的坐标可得出CQ2,

BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三种情况，找出关于

m的一元二次(或一元一次)方程，解之即可得出点Q的坐标.

【详解】解：(1)将A(—3,0),D(-2,-3)代入y=x2+bx+c,

得：

9—3b+c=0b=2

,解得：

4-2Z?+c=-3c=-3

抛物线的表达式为y=x2+2x-3.

(2)当y=0时，x2+2x-3=0,

解得：Xi=-3,x2=1,

.••点B的坐标为（1,0）.

连接BD,交抛物线的对称轴于点P,如图1所示.

此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度.

•••点B的坐标为(1,0),点D的坐标为(-2,-3),

BD—^(—2—1)'+(—3—())_—3S/T.,

「.PA+PD的最小值为3贬.

(3)当x=0时，y=x2+2x-3=-3,

.•.点C的坐标为(0,-3).

设点M的坐标为(x,x2+2x-3).

•^△ABM=^AABC>

|x2+2x-31=3,即x2+2x-6=0或x2+2x=0,

解得：Xj=-1-V7,x2=-1+V7,x3=-2,x4=0(舍去)，

•・•点M的坐标为(-1-V7,3),(-1+V7,3),(-2,-3).

(4)设点Q的坐标为(-1,m).

•••点B的坐标为（1,0）,点C的坐标为（0,-3）,

.•.CQ2=(-1-0)2+[m-(-3)]2=m2+6m+10,BQ2=(-1

-1)2+(m-0)2=m2+4,BC2=(0-1)2+(-3-0)2=10.

分三种情况考虑(如图2所示)：

①当BQ=BC时，m2+4=10,

解得：nii=",m2=-V6,

点Qi的坐标为（-1,V6）,点Q2的坐标为（-1,-V6）;

②当CQ=CB时，m2+6m+10=10,

解得：m3=0,m4=-6,

点Q3的坐标为（-1,0）,点Q,的坐标为（-1,-6）;

③当QB=QC时，m2+4=m2+6m+10,

解得：m5=-1,

・••点Q5的坐标为（-1,-1）.

综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q,使得4BCQ为等腰三角

形，点Q的坐标为（-1,展）,（-1,-娓）,（-1,0）,（-1,

-6）,（-1,-1）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上

点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离公式、三角形的面积、

等腰三角形的性质以及解一元二次(或一元一次)方程，解题的关键

是：(1)由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；(2)

利用两点之间线段最短，找出点P的位置；(3)利用两三角形面积

相等，找出关于x的一元二次方程；(4)分BQ=BC,CQ=CB及

QB=QC三种情况，找出关于m的方程.

【变式3-1】如图，抛物线尸ad+法+3与x轴交于点A(1,0)和

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴

上一点,FC//x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF

是平行四边形，求点C的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使AOCP

是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)y—x2—4x+3;(2)C(4,3);(3)P(2,及1)或(2,-后)

或(2,3+V21)或(2.3-V21).

【解析】

试题分析：(D把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、

b的值，即可得解；

(2)根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互

相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，

即可得解；

(3)设AC、EF的交点为D,根据点C的坐标写出点D的坐标，

然后分①。是顶角，②C是顶角，③P是顶角三种情况讨论.

试题解析：(D把点A(1,0)和B(3,0)代入户/+陵+3得,

,解得所以,抛物线的解析式为y=x2—4x+3；

9〃+38+3=0g=-4

(2)抛物线的对称轴为直线x=2,

・.•四边形OECF是平行四边形点C的横坐标是4,

,・•点C在抛物线上，了.y=42-4x4+3=3,

点C的坐标为(4,3);

(3)二•点C的坐标为(4,3),「.OC的长为5,

①点。是顶角顶点时，OP=OC=5,

•/OP2=OE-+EP2,OE=2「.EP=M?-2?=厅，

所以，点P的坐标为(2,V21)或(2,-后)；

②点C是顶角顶点时，CP=OC=5,同理求出PF=V21,所以，

PE=Vn±3,

所以，点p的坐标为(2,3+5)或(2,3-0)；

③点P是顶角顶点时，点p在OC上，不存在.

综上所述，抛物线的对称轴上存在点P(2,⑨)或(2,-⑨)或

（2,3+后）或（2,3-^21）,使aocp是等腰三角形.

考点：二次函数综合题.

【变式3-2】如图，抛物线J=ax：+bx+c（aHOi与直线J=X+1相交于

H-L0））（4w两点，且抛物线经过点C（5:0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是抛物线上的一个动点（不与点，八点5重合），过点尸作

直线尸。—，、轴于点，交直线一段于点石.

①当尸E=2砧时，求尸点坐标；

②是否存在点尸使"EC为等腰三角形，若存在请直接写出点尸的坐

标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-x2+4x+5;（2）①P点坐标为（2,9）或（6,-

7）;②（：，当）或（4+屈，-4^3-8）或（4-而，4屈-

416

8）或（0,5）.

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的

坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出

PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点

坐标；

②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角

形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得

P点坐标.

试题解析：(1).••点B(4,m)在直线y=x+l上，

.,.m=4+l=5,

AB(4,5),

a—»+c=0

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得'16a+劭+。=5,解得

25a+53+c=0

a=-1

A=4,

c=5

•••抛物线解析式为y=-x2+4x+5;

(2)①设P(x,-x2+4x+5),贝ljE(x,x+1),D(x,0),

贝I」PE=|-x?+4x+5-(x+1)|=|-x2+3x+4|,DE=|x+1|,

\-PE=2ED,

/.|-x2+3x+4|=2|x+1|,

当一x?+3x+4=2(x+1)时，解得x=-l或x=2,但当x=-l时，P

与A重合不合题意，舍去，

二.P(2,9);

当一x?+3x+4=_2(x+1)时，解得x=-l,或x=6,但当x=-l时,

P与A重合不合题意，舍去，

••.P(6,-7);

综上可知P点坐标为(2,9)或(6,-7);

②设P(x,-x2+4x+5),则E(x,x+1),且B(4,5),C(5,

0),

BE=g-+(x+1-5>=72lx-4I,

CE=-5)：+(x+—J2x~—8x+26,BC=5)~+(5-0)~=j26，

当4BEC为等腰三角形时，贝IJ有BE=CE>BE=BC或CE=BC三种

情况，

当BE=CE时，则收|x—4|=也金-弘+26,解得x=|,此时P点

坐标为U，当);

416

当BE=BC时，贝I」&|x-4|=病，解得x=4+后或x=4-屈，此

时P点坐标为(4+而，—4后—8)或(4—底，4而一8);

当CE=BC时，则血口-<+26=痴,解得x=0或x=4,当x=4

时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为(0,5);

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(|,当)或(4+而，-

4底-8)或(4-屈，4屈-8)或(0,5).

考点：二次函数综合题.

【考点4］二次函数与平行四边形问题

【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-3,0),

3

B(1,0),与y轴相交于(0,顶点为P.

(1)求抛物线解析式;

(2)在抛物线是否存在点E,使aABP的面积等于aABE的面积？

若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边

形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平

行四边形的面积.

13——

【答案】(1)y=^x2+x--(2)存在，(-1-272,2)或(一1+2夜，

2)(3)点F的坐标为(-1,2)、(3,-2)、(-5,-2),且平行

四边形的面积为8

【解析】⑴设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把(-3,0),(1,

0),(0,代入求出a、b、c的值即可；(2)根据抛物线解析式

可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积

相等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x

的值即可；(3)分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点

坐标并求出面积即可；

【详解】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将(-3,0),(1,

0=9a-3b+c

3

0),(0,代入抛物线解析式得0=a+b+c,

3

c-——

2

I3

解得：a=-,b=l,c=--

13

••・抛物线解析式：y=1x2+x-j

(2)存在.

vy=1x2+x-|=1(x+1)2-2

二.P点坐标为(-1,-2)

•••AABP的面积等于4ABE的面积，

.••点E到AB的距离等于2,

设E(a,2),

5a2+a-1-=2

=

解得a/-1-2夜，a2-1+2V2

符合条件的点E的坐标为(-1-2血，2)或(-1+2加,2)

(3)二・点A(-3,0),点B(1,0),

Z.AB-4

若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形

.­.AB//PF,AB=PF=4

•••点P坐标(-1,-2)

•••点F坐标为(3,-2),(-5,-2)

平行四边形的面积=4X2=8

若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形

.•.AB与PF互相平分

设点F(x,y)且点A(-3,0),点B(1,0),点P(-1,-2)

-3+1-1+x

.下二F

-0+0-2+y'

2

•'•X=-1,y=2

点F(-1,2)

平行四边形的面积=；X4X4=8

综上所述：点F的坐标为(-1,2)、(3,-2)、(-5,-2),且

平行四边形的面积为8.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应

用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.

22

+bX+C

【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线片-齐t经

过A(0,-4),B(40),C(Z0)三点，且%fl=5.

(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线

的菱形；

(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对

角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方

形？若不存在，请说明理由.

14725

【答案】(1)"=一可，。=-4；(2)D(-奢T)；(3)存在一点P(-

3,4),使得四边形BPOH为菱形，不能为正方形.

【解析】

试题分析：(1)把A(0,-4)代入可求c,运用根与系数的关系及

匕一町=5,可求出b；

(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必

在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；

(3)由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分

OB,求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点

的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可.

_22

试题解析：(1).••抛物线经过点A(0,-4),.-.c=

-4,

223

又...由题意可知，&*2是方程一齐+小4=°的两个根，Ti+z?

222

”产2=6,由已知得出-々)=25,../1+X2_2叼々=25,

9214

...(叼+勺)2-4中2=25,.月-24=25,解得/=±可，

14

当b=©时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍

14

去.「・b=3；

(2)•••四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，

221427225

点D必在抛物线的对称轴上，又『-4=-/+万)+文...

725

抛物线的顶点(一万，至)即为所求的点D;

(3)V四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为(-

2214

6,0),根据菱形的性质,点P必是直线x=-3与抛物线'诃-三-4

2214

的交点，.♦.当X=-3时，"一/(一3)-x(-3)-4=4,...在抛物线上

存在一点P(-3,4),使得四边形BPOH为菱形.

四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，

点P的坐标只能是(-3,3),但这一点不在抛物线上.

考点：1.二次函数综合题；2.探究型；3.存在型；4.压轴题.

【变式4-2】如图，抛物线j=-x：+bx+c与直线.铝交于a(T-0,8(0,4)

两点，直线交J轴与点c,点E是直线.43上的动点，过点

E作轴交/于点尸，交抛物线于点G.

(1)求抛物线］=-X：+云+c的表达式；

⑵连接GB,EOt当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

⑶①在】轴上存在一点连接EH,防，当点E运动到什么位置时,

以从巴产月为顶点的四边形是矩形？求出此时点FK的坐标；

②在①的前提下，以点石为圆心，长为半径作圆，点U为©E上一

动点，求;£M+cu的最小值.

【答案】⑴y=-x2-2x+4;(2)G(-2,4);⑶①E(-2,0).H

(0,-1);②孚.

【解析】

试题分析：(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边

形的对边相等建立方程求解即可；

(3)①先判断出要以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形，只有

EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；

②先取EG的中点P进而判断出aPEMs^MEA即可得出

PM=^AM,连接CP交圆E于M,再求出点P的坐标即可得出结论.

试题解析：(1).••点A(—4,—4),B(0,4)在抛物线y=-x?+bx+c

上，

—16-4Z?+c=-4

c=4

.。=-2

c=4'

抛物线的解析式为y=-X2-2x+4;

(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,

.箝=

<4

-4k+普=-4'

,4=2

••--.,

z?=4

一.直线AB的解析式为y=2x+4,

设E(m,2m+4),

:.G(m,-m2-2m+4),

•.•四边形GEOB是