2021-2022学年沪教版数学八年级上学期同步讲义 第9讲 根的判别式及其应用-教师版

第9讲根的判别式及其应用-解析版

教学内容

进门测试

如何求根呢？

课堂导入

d判别式的值与根的关系

根的判别式-T根的判别式的应用

U韦达定理

精讲精练

【知识梳理】

1.一元二次方程根的判别式：我们把从一4ac叫做一元二次方程以2+桁+。=03*0)的根的判别式，通常

用符号“A”表示，记作^=b2-4ac,

2.一元二次方程ar?+fer+c=O(ar0),

当△=/-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=从-4%=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=/_4a<0时，方程没有实数根.

模块一：判别式的值与根的关系

3.一元二次方程根的判别式：我们把后-4改叫做一元二次方程以?+反+C=O（“HO）的根的判别式，通常

用符号“△”表示，记作△42-4«c.

4.•—元二次方程加1+/>x+£1=（）（“片0）,

当△=从-4叱>0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=/-4a=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=廿-44<0时，方程没有实数根.

【例题精讲】

【例1】选择：

（1）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）

(A)%2+1=0(B)X2+2X+1=0

(C)x2+2x+3=0(D)X2+2X-3=0

(2)不解方程，判别方程5』-7x+5=0的根的情况是()

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）只有一个实数根（D）没有实数根

（3）方程V-5x7=0的根的情况是（

（A）有两个相等实根（B）有两个不等实根

（C）没有实根（D）无法确定

（4）一元二次方程V+3x-l=0的根的情况为（）

（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根

（C）只有一个实数根（D）没有实数根

【难度】★

【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A.

【解析】（1）A：a-1,b-0,c—\,\=b2-4ac=-4<0,方程无实根;

B：a=l>b=2,c=l,△=〃?-4ac=0,方程有两个相等实根；

C：a-\,b-2,c=3,A=/?2-4ac=-8<0,方程无实根；

D：a=1,0=2,c=—3,\—h~—4ac=16>0,方程有两不等实根实根，故选D；

(2)a-5,b=~n,c-5,A=b2-4ac=-51<0,方程无实根，故选D；

(3)a=l,b=—5>c=—1,△=/—4ac=29>0,方程有两不等实根，故选B；

(4)a-1,b-3,c=—l,A=Z?2-4ac=13>0,方程有两个相等实根，故选A.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的。、b.c,再代

值计算△，根据△与。的大小关系确定方程根的情况，注意。、C异号时则必有两不等实根.

【例2】不解方程，判别下列方程的根的情况：

(1)4X2-5X-3=0:(2)2f+4x+3=0;

(3)2X2+3=2A/6X;(4)2^+3%-4=().

【难度】★

【答案】(1)方程有两不等实根；(2)方程无实数根；(3)方程有两相等实根；

(4)方程有两不等实根.

【解析】(1)a=4,b=—5,c=—3,△=〃—4ac=73〉0,方程有两不等实根；

(2)a=2,b=4,c=3,A=/?2—4ac=—8<0,方程无实数根；

(3)a=2<b=-2-J^),c=3,△=/??—4ac=0,方程有两相等实根；

(4)a=2,b=3,c=T,△=从一4或?=41〉0,方程有两不等实根.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方

程中的a、b.c,再代值计算△,根据△与0的大小关系确定方程根的情况，注意。、c异号

时则必有两不等实根.

【例3】关于x的方程/+(，”-1)、-机=0(其中，"是实数)一定有实数根吗？为什么？

【难度】★

【答案】一定有.

【解析】a=1,b=m-\,c--m,

△=/??一4ac=(加一-4x(-〃?)=(〃?+l1》()恒成立，可知方程一定有实数根.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方

程，只需要对最终的△值进行化简分析即可确定△的值与0的大小关系，进而确定方程根的情

况.

【例4】已知关于x的一元二次方程(m-l)f+2〃a+1=0根的判别式的值为4,求机的值.

【难度】★

【答案】0.

【解析】Va=m-\,b=2m,c=l,

△=6?-4ac=(2m)~-4x(根-1)=4-根+1)=4,整理即得〃/-=0,

解得：皿=1,〃A=(),同时方程是一元二次方程，知。=加一1工0,故机wl,

由此得加=0.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方

程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数

不能为0.

【例5】已知方程组[办7=1的解是卜=2,试判断关于X的方程幺+以+2=0的根的情

况.

【难度】★★

【答案】方程无实数根.

【解析】方程组上的解是代入即得：产-3=1,可匕=2,

[x+hy=Sly=3[2+3&=8匠2

此时,方程即为f+2x+2=0,其中a=l,b-2,c-2,A=Z?2-Aac=-8<0,可知方程无

实数根.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题

目条件确定字母取值，再确定其△值，判定方程解的情况.

【例6】当，"取何值时，关于x的方程/+(〃2-2冲+52_1=0,

(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根?

【难度】★★

【答案】(1)加＜2；(2)机=2；(3)m＞2.

【解析】对此方程，a=l,b=m—2,则

4

\=b'-4ac=(〃z-2)--41；根2-1)=一4加+8,由此可知，

(1)当八=-1机+8〉0,即机＜2时・，方程有两个不相等的实数根；

(2)当八=-4加+8=0,即加=2时，方程有两两个相等的实数根；

(3)当A=T机+8＜0,即机＞2时，方程无实数根.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定

其A值，方程可由△值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其△值与0的大小关

系，可在此基础上进行分类讨论.

【例7]当人为何值时，关于上的方程/-4日+(2«-1)2=0有实数根？并求出这时方程的根

(用含力的代数式表示).

【难度】★★

【答案】人之:时.，方程有实数根：方程的根为x=2左土历二T.

【解析】对此方程，a=l,b=Yk,c=(2Z—1；则

△=。2_44=(-4%)2一4(2%-1)2=16%一4,因为方程有实数根，则有△=16%一420,即

女2工时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为

4

x=-b土e-4ac;

2a2

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定

其△值，方程可由A值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其△值与0的大小关

系，在确定方程有实根的情况下可根据求根公式求解方程.

【例8】已知关于x的方程4x2-(k+2)x+A=l有两个相等的实数根，求A的值及这时方程的

根.

【难度】★★★

13

【答案】4=2或左=10；4=2时，，方程根为芭=尤2=5；攵=10时,，方程根为王=毛=：.

【解析】化为一般式，即为:4f-(。+2)*+"1=0,

其中a=4,人=一(％+2),c=k-\>

则△=/—4ac=(Z+2)2-4x4(J)=%2-12%+20,

因为方程有两相等实数根，则有A=^—12k+20=0,解得：&=2,匕=10；

攵=2时，方程化为-4x+l=0,解得方程根为：％=%2=；；

左=10时.，方程化为4d—12x+9=0,解得方程根为%=&=].

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定

其△值，方程可由△值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其△值与。的大小关

系，方程有两相等实根即其A值为0.

【例9】已知关于x的方程;x?-(m-2)x+m2=0.

(1)有两个不相等的实根，求〃?的取值范围；

(2)有两个相等的实根，求机的值，并求出此时方程的根;

(3)有实根，求m的最大整数值.

【难度】★★★

【答案】(1)m<1；(2)"2=1,此时方程根为X]=%=2;(3)m=\.

J211

【解析】a=—,〃=-(加-2),c=",A=匕2-4ac=(〃L2y-4*1机2=-4加+4,

由此可知：(1)当A=Tm+4>0,即m<1时，方程有两个不相等的实根；

(2)当△=T〃2+4=0,即机=1时，方程有两个相等的实根，此时方程即为

-x2-x+l=O,解得方程根为：玉=X2=2；

4

(3)当2\=-1加+420,即〃区1时，方程有实根，此时用最大整数值为机=1.

【总结】可由方程根的情况确定其A值与0的大小关系，方程有实数根，即其ANO,可在此基

础上进行分类讨论.

模块二：根的判别式的应用

【知识梳理】

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题.

【例题精讲】

【例10】证明：方程(x-l)(x-2)=k2有两个不相等的实数根.

【难度】★

【答案】略.

【解析】证明：对原方程进行整理，即为：x2-3x+2-k2=O

其中a=l,b=—3,c—2—k2,

则A=6?—4ac=(-3)-—4(2-后2)=4左*+]〉0恒成立，

由此可证得方程有两个不相等的实数根.

【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的△值即

可以确定下来.

【例11】当％为何值时，方程履2_2(4-2)x=x2wO),

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根.

【难度】★★

【答案】(1)&<3且Awl；(2)k=--.(3)k>~.

444

【解析】将方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式，即得：

(左一1)Y—2(左一2)x+(左+1)=0，此时.，a=k-l,b=-2(k-2),c^k+1,

由方程为一元二次方程，可知。=%-1工0,故Zwl；

△=力2-4々C=4仅—2)2—4(左一1)仅+1)=—16攵+2(),由此可知，

(1)当△=一16%+20>0,即&且zwi时，方程有两不等实根；

4

(2)当△=—16k+20=0,即&=』时，方程有两相等实根；

4

(3)当△=—16k+20<0,即&>3时，方程无实根.

4

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的

一般形式，然后确定二次项系数不能为()的情况，然后确定其△值，可由方程根的情况确定其

△值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论.

【例12]已知关于x的一元二次方程+1)』+2如+"[-3=0有实数根，求〃?的取值范围.

【难度】★★

3

【答案】m>—且加工一1.

2

【解析】由原方程是一元二次方程，可知m+1。0,即团。-1；对此方程，

其中。=m+1,b=2m,c=m-3,方程有实根，则必有：

3

A=/?2-4ac=（2m）9~-4（m+l）（m-3）=8m+12>0,可解得m2-不；

3

即加的取值范围为m2——且初工一1.

2

【总结】对于形如"2+8+。=0的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二

次方程的二次项系数不能为0,然后在此基础上进行解题和计算.

【例13]如果m是实数，且不等式（加+1口>m+1的解集是xvl,那么关于x的一元二次方

程mx2-（/%+1）犬+L%=0的根的情况如何？

【难度】★★

【答案】方程无实根.

【解析】由（"7+1）%>帆+1的解集是XV1,可知团+1<0,即m<一1,

对一兀二次方程蛆2-（帆+1）尤+；机=0而言，其中/?=—（加+1）,c-^m,

21

则△=6一4ac=（m+1）4m--m=2m+1,m<-W,△<0恒成立，

由此可知方程无实数根.

【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，

再根据其A值确定相关方程根的情况.

【例14】已知关于工的方程（团+1）/+2g+m-3=0总有实数根，求刑的取值范围.

【难度】★★

【答案】m>-43.

2

【解析】（1）当机+1=0,即加=-1时，方程为一元一次方程-2x-4=0,方程有实根;

（2）当m+1。0,即相。一1时、方程为一元二次方程，

其中〃=根+1,b=2m,c=m-3,方程有实根，则必有：

3

A=Z?2-4〃。=（2间~9-4（m4-l）（m-3）=8m+12>0,可解得m2-耳且）zW-1；

3

综上所述，机的取值范围为加2-士.

2

【总结】对于形如依2+灰+c=0的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为（），在此基础

上进行相关分类讨论和计算.

【例15】已知关于X的一元二次方程f_2如-3疗+8,〃-4=0.

（1）求证：原方程恒有两个实数根.

（2）若方程的两个实数根一个小于2,另一个大于5,求，"的取值范围.

【难度】★★★

7

【答案】（1）略；（2）

3

【解析】（1）证明：对于一元二次方程f—2g-3/+8m-4=。而言，

其中Q=1,b=-2m,c=-3/n2+8m-4,

贝（J△=〃-4QC=（2间之一4（一3帆2+gm_4^-16加？一32m+16=16（加一1『20恒成立，由此即

可证得方程恒有两个实数根.

（2）由（1）中A值，解方程得方程两根为芭=3〃-2,x2=-m+2,

两根大小关系不确定，需要分类讨论：

①％<2,X2>5,即《一时，解不等式组得加<—3；

-m+2>5

_yyia'V?7

②温<2,x,>5,即1时，解不等式组得加〉,

3m-2>53

【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，△为完全平方数或完全平方式时，方程可

直接分解因式，进而求解讨论，注意本题在第（2）问中的分类讨论.

【例16】已知，关于x的一元二次方程X2-2⑵W-3）X+4〃?2-14〃7+8=0,

（1）若加＞0,求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜加＜40的整数，且方程有两个整数根，求机的值.

【难度】★★★

【答案】（1）略；（2）m=24.

【解析】（1）证明：对于一元二次方程*2-2（2旭-3）工+4病-14加+8=0而言,

其中a=l,b=-2（2m-3）»c-4nr-\4m+S,

则△=〃一4ac=4（2m-3）2-4（4疝-14〃2+8）=8〃Z+4,当,T?＞0时，△＞（）恒成立，由此即可

证得方程有两个不相等的实数根.__________

（2）由（1）中△值，解方程得方程两根为%=2%一3+,毛=2m-3-＜2m+l,

方程有两整数根，则（2加+1）必为平方数，由12＜加＜40,可得25＜2〃/+1＜81,

机为整数，则（2加+1）为奇数，这之间的平方数且为奇数的仅有49,即2m+1=49,解

得：m=24.

【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，△为完全平方数或完全平方式时，方程可

直接分解因式，进而求解讨论.

【例17]已知a,b,C是三角形的三边长，求证：方程〃x2+（〃+c2_a2）x+c2=o没有实数

根.

【难度】★★★

【答案】略.

【解析】证明：对于一元二次方程/2+（〃+。2-岛尤+c2=0而言,

A=+c2-a2-4b2c2=^b2+c2-a2+2bc^b2+c2-a1-2hc^,

=[(b+cj—a?],/?-。)？-a?]=(b+c+a)(b+c-ci)(b—c-a)(b—c+ci)

因为〃，b,c是三角形的三边长，根据三角形三边关系可得b+c+a>0,b+c—a>0,

b-c-a<Q,b-c+a>0,故A<0恒成立，即证方程没有实数根.

【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，在于利用题目条件对题中的△进行化简计

算即可.

模块三：韦达定理

【知识机埋】

韦达定理：如果X八4是一元二次方程以2+法+c=0（awO）的两个根，由解方程中的公式法得,

-b+yjb2-4ac-b-ylb2-4ac

X,—,—♦

2a2a

那么可推得玉+X,=£.这是一元二次方程根与系数的关系.

aa

【例题精讲】

【例18】写出下列一元二次方程（方程的根为占,当）的两实数根的和与两实数根的积

(1)x?—3尤+1=0,x,+x2=,；%刍=

(2)3f—2x-2=0,xt+x2=;XyX2=

【难度】★

22

【答案】（1）3,1：(2)

33

【解析】(1)a=1,b=-3,c=\,根据一元二次方程根与系数的关系，可得

bc

Xj+/=—=3，玉"2———］；

aa

(2)a=3,b=—2c=-2,根据一元二次方程根与系数的关系，可得

b2c2

xt+x2=——=-玉"一=一三；

a3a3

【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的

a、b、c值即可快速得到结果.

【例19】已知方程5』+依-6=0的一个根是2,求另一根及攵值.

【难度】★

3

【答案】方程另一根为工二一1k=T.

k6

【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，%+/=-g，x,x2=-p

令%=2,则可求得马=一］3，代入可得%+々=一］k=,7，可得％=-7.

【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单

的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果.

【例20】已知：关于x的方程3x?-19x+机=0的一个根是1,求另一根及"，值.

【难度】★

【答案】方程另一根为尤="，加=16.

3

1Q

【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，西+々=；,vn,

令％=1,则可求得”3,代入可得为若，可得机=6

【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单

的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果.

【例21】如果-5是方程5/+云-10=0的一个根，求另一个根及值.

【难度】★

【答案】方程另一根为x=〃=23.

【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，x,+x2=-|,玉々=野=-2,

令％=_5,则可求得％=|,代入可得%+/=-3"F，可得0=23.

【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单

的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果.

【例22]已知X]，w是方程3/+，工+4=。的两个根，分别根据下列条件求出p、g的值.

(1)x]=V7,x2=-y/1；(2)Xj=-2+^3,x2=-2->/3.

【难度】★

【答案】(1)p=0,4=-21；(2)p=12,q=3.

【解析】⑴根据韦达定理，可得%+々=-0=0，中2=£=-7,可得p=0,q=-21；

⑵根据韦达定理，可得％+”-0=-4，玉”三=1，可得P=12,q=3.

【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量.

【例23】设M是方程+4x-3=0的两个根，求(％+1)(毛+1)的值.

【难度】★★

【答案】上

2

43

【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足%+%=-；=-2,x]x2=~,

由止匕(玉+1)(工2+1)=%尤2+(玉+工2)+1=(—1)+(一2)+1=—1・

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算.

【例24】已知方程2炉+以-2a+l=0的两个实根的平方和为7白，求〃的值；

4

【难度】★★

【答案】4=3.

【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足%+马=-],工内二号，依题意有

尤：+々2=7；,即（为+々）2一2砧=（一0—2xl^=7；,整理即得/+8a—33=O,解

得：a,=-ll,生=3；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足

22

A=«-4x2（-2tz+l）=a+16a-8>0,仅在a=3时△20成立，

综上所述，可得a=3.

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足ANO.

【例25】已知方程x2+（2k+l）x+^-2=0的两个实根的平方和为等于11,求Z的值.

【难度】★★

【答案】k=l.

【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足与+々=-（24+1）,2,依题意有

.+々2=11，即（X1+工2）一一2尤1工2=（2攵+1）一一2x（^2-2）=11,整理即得已2+21-3=0,解

得：4=1,取=一3；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足

△=（2&+1）2-4（3-2）=4&+920,仅在％=1时ANO成立，

综上所述，可得左=1.

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足A20.

【例26】设a,夕是方程f+2x-9=0的两个实数根，求工+_1和〃£+3?的值.

ap

【难度】★★★

2

【答案】(1)(2)18.

9

【解析】根据韦达定理，可得a+£=-2,叩=-9,由此：

11a+B-22

(])--1--=-----=--=—;

apa[3-99

(2)a2/3+aj32=c^(a+/?)=(-9)x(-2)=18.

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算.

【例27】已知关于x的方程/一2(机-2卜+/=0问：是否存在实数加，使方程的两个实数

根的平方和等于56,若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.

【难度】★★★

【答案】m=—2.

【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足印+々=2(6-2),中2=/，依题意有

尤J+年=56,即(5+x,y-2中,=4(〃?一2)2—2〃/=56,整理即得病-8/n-20=0,解得

叫=一2,e=10；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足

A=4(m—2)--4m2=-16/?:+16>0，仅在»?=—2时△20成立,

综上所述，可得加=-2.

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足A20.

【例28】已知2+6是方程f-4x+c=0的一个根，求另一根及c值.

【难度】★★★

【答案】方程另一根为x=2-百，c=l.

【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，%+X2=4,X^=C,

令西=2+6，则可求得々=2-6，代入可得用々=。=1

【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单

的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果.

【例29】设和马是方程2x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.

(1)2~工2+%工2~；(2)玉4||X?H；

I%人尢"

(3)k-x2|；(4)-+-；

%x2

(5)2+工.

%N

【难度】★★★

9

【答案】(1)(2)—；(3)73；(4)2；(5)4.

26

-63

【解析】根据韦达定理,可得%+%=——=3,XjX2=-,由此:

+芯尤2?=X,X(X,+X)=|X3=|

(1)22;

11-31c25

(2)H----X.X7d--------F2=---F-+2=---

%2.7中2236

2

=>/3；

(3)|不一=J(X|+4)2—4X,X2=

/,、11x.+x,3〜

(4)—+—=~-=—=2；

芯x2王％£

2

2

(5)1x2_(xl+x2Y3

一2k2二人

x2XjXxX2XxX2

2

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算.

【例30】设为、马是方程f-2(4-l)x+F=0的两个实根，且x；+xj=4,求％值.

【难度】★★★

【答案】k=O.

2

【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足大+/=2伏-1),xtx2=k,依题意有

22

X1+x2=4,即(％+/)--2x,x,=4(Z—1)-—2%2=4,整理即得女？一4%=0,

解得：4=0,24；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足

△=4(%—1)2—4左2=—8左+420,仅在上=0时ANO成立，

综上所述，可得左=0.

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可

进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足ANO.

当堂检测

【习题1】方程依2_3x+2=0有两个相等的实数根，则4=

【难度】★

【答案】/9

O

Q

【解析】由题意可得：A=32—4左x2=0,则上=2.

8

【总结】考查一元二次方程根的判别式，方程有两相等实根，即△=().

【习题2】若关于x的方程依。©+3=0有实数根，贝也的非负整数值是.

【难度】★

【答案】0,1.

【解析】(1)攵=0时，方程为一元一次方程Tx+3=0,方程有实数根；

(2)Z/0时，方程是一元二次方程，方程有实数根，贝(一4ac=42—4h3N0,可得

k<^,左的非负整数值是1;

综上所述，%的非负整数值是0或1.

【总结】考查一元二次方程根的判别式，有两相等实根，即ANO,同时注意方程二次项系数

含有字母时，需确定二次项系数是否为0.

【习题3】若关于x的方程(>-，丁2)/+尔+〃=0是一元二次方程，则"?要满足的条件是

【难度】★

【答案】〃?工2且加。—1.

【解析】由题意，可得：〃/一加-2Ho,解得：机。2且加工-1.

【总结】考查一元二次方程的概念和条件，必满足二次项系数“H0.

【习题4】关于x的方程尔z-2(3"[-l)x+9w-l=0有两个实数根，则机的取值范围是

【难度】★

【答案】m且加/0.

【解析】因为方程有两不等实根，则有〃zwO,

,1

且△=-4ac=4(3nz—1)~-4/n(9m—l)=-20//7+4>0,解得加4—,

综上所述，机且相。0.

【总结】对于形如以2+次+，=。的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0,在此基础

上进行相关分类讨论和计算.

【习题5】已知%>0且方程诋2+12X+&=-1有两个相等的实数根，贝心=.

【难度】★★

【答案】3.

【解析】将方程进行整理，即为3依2+12%+%+1=0,方程有两相等实根，即可得

△=从_4比=122—4・3左伏+1)=()，整理得左一12=0,解得：k、=3,Z:2=-4,结合

k>0,可得：k=3.

【总结】考查一元二次方程根的判别式，方程有两相等实根，即△=().

【习题6]当A不小于」时，方程(4-2)/-(2%-1h+%=0根的情况是.

【难度】★★

【答案】至少有一个实数根.

【解析】(1)当&-2=0,即女=2时，方程为一元一次方程-3x+2=0,有一个实数根；

(2)左-2H0,即左上-,且攵。2时，方程为一元二次方程，此时

4

△=(2%--4(2)%=4%+120恒成立，方程有两相等实根或方程有两不等实根；

综上所述，方程至少有一个实数根.

【总结】考查一元二次方程根的判别式，对于二次项系数有字母的情况，要根据题意确定二次

项系数能否为0.

【习题7】如果关于x的方程(加-2)/_2(机-1卜+〃?=0只有一个实数根，试判断关于x的方

程mx?-(〃?+2)X+(4-»7)=0的根的情况.

【难度】★★

【答案】方程有两相等实根

【解析】因为方程(“-2)X2-2(〃[-1)犬+机=0只有一个实数根，则方程为一元一次方程，

即可得加一2=0,解得：加=2,代入第二个方程，即2/以+2=0,

△=（-4）~-4x2x2=0,所以方程有两相等实根.

【总结】方程只有一个实数根，说明为一元一次方程，注意方程只有一个实根与方程有两相等

实根区分开来.

【习题8】已知关于x的一元二次方程/+日+4〃-3=0的两个实根为“力，且满足

a+b=ab＜则上的值是多少？

【难度】★★

3

【答案】k=-.

4

【解析】根据韦达定理，可得。+匕=一攵，"=4二一3,又a+b=ab,

即得：_%=4二一3,解得：履=二,匕=-1；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由

4-

此需满足4=/一4（4公一3）=—15左2+1220,仅在A时△20成立，

3

综上所述，可得k=±.

4

【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即

可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足ANO.

【习题9】关于x的方程加-（a+2）x+2=0只有一个根（相同根算一根），试求a的值.

【难度】★★

【答案】a=0或a=2.

【解析】（1）当a=0时，方程为一元一次方程-2x+2=0,有唯一解；

（2）当。/0时・，方程为一元二次方程，△=（）时，方程有两相等实根视作唯一解，则有

（a+2）2-4入2=（）,即（4一2）2=（）,解得q=2；

综上所述，。=0或。=2.

【总结】解决形如以2+法+，=0的方程时，要注意根据题目条件判断二次项系数能否为（）.

【习题10】当m时，方程（利-1）》2+2如+«1+3=0有两个实根.

【难度】★★

3

【答案】机〈一且相声1.

2

【解析】方程有两个实根，则必为一元二次方程，故，〃-1。0,即得机/1；同时，

,3

△=（2加）-4（m-l）（m+3）=-8m+12>0,解得：

工3

综上，加且〃2Hl.

2

【总结】方程有两个实根，即方程为一元二次方程且△20.

【习题11】求证：不论，"为任何实数，关于x的方程W-2侬+6〃L10=0总有两个不相等的实

数根.

【难度】★★

【答案】略.

【解析】证明：对于一元二次方程W-2万+6〃,-10=0而言，

其中a=l,b=-2m,c-6m—l0,

则△=加一4ac=（-2m）2-4（6m-10）=4m2-24m+4（）=4（加一3丫+4>0恒成立，由此即可证

得方程恒有两个不等实根.

【总结】含有字母系数的方程恒有两不等实根，证明A>0恒成立即可.

【习题12]已知：关于x的方程/+2x+l+左=0没有实数根，求证：关于x的方程

x2+（k-2）x-k+l=0一定有两个不相等的实数根.

【难度】★★

【答案】略.

【解析】证明：因为方程f+2x+l+左=0没有实数根，可知A|=22-4（1+4）=7左<0,

得%>0；对于一元二次方程/+伏一2»—々+1=0而言，其中a=l,b=k-2,c=-k+\,

则dn从—dac：^左一2）2—4（—々+1）=/,当&〉0时・，4>0恒成立，

由此即可证得方程恒有两个不等实根.

【总结】含有字母系数的方程恒有两不等实根，证明△>()恒成立即可.

【习题13】试证明关于x的方程(/-8a+20)x2+2依+1=0,无论。取何值，该方程都是一元二

次方程.

【难度】★★

【答案】略.

【解析】证明：/一8。+20=(。一4)?+4>0恒成立，

即无论a取何值，二次项系数都不可能为零，即证该方程是一元二次方程.

【总结】含有字母系数的方程恒为一元二次方程，证明其二次项系数大于零或小于零恒成立即

可.

【习题14]已知关于x的一元二次方程/+(2〃?-1»+〃22=0有两个实根药,七.

(1)求实数，"的取值范围；

(2)当"-92=0时，求刑的值.

【难度】★★

【答案】(1)m<~；(2)m=-.

44

【解析】(1)方程有两实根，贝U△—4ac=(2m—I)?-④/=_4机+120,解得：加工；；

(2)X：-=0,即有玉=/或%+%2=0，

X[=9时，A——4m+1=0,解得加二;；

%+々=0时，根据韦达定理，则有1-2m=0,解得加=,不满足应舍去.

-24

【总结】考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用.

【习题15]已知：关于x的一元二次方程父-（25+1）》+疗+s-2=0,

求证：（1）不论，"取何值，方程总有两个不相等的实数根

（2）若方程的两实数根和x,满足曜-引=1+山，求加的值.

【难度】★★★

【答案】（1）略；（2）m=0.

【解析】（1）证明：对于一元二次方程x?-（2机+l）x+病+,〃-2=0而言，

其中a=l,〃=—（2〃z+l）,c-m2+m—2,

则A=Z?2-4ac=+-4（〃/+加—2）=9>0,

即无论"2取何值，八>0恒成立，由此即可证得方程恒有两个不等实根.

2

（2）根据韦达定理，可知为+々=2〃z+l,x,x2=m+m-2,

根据题意有|玉一w|=J（X]+々）2-=JO//*1）?_4（〃，+〃L2）=3=1+—~|,解得：

m-0.

【总结】含有字母系数的方程恒有两不等实根，证明△>（）恒成立即可，结合韦达定理综合应

用.

【习题16]已知关于x的一元二次方程丁-（机_1卜+机+2=0,

（1）若方程有两个相等的实数根，求，”的值；

（2）若方程两实数根之积等于1-9帆+2,求标花的值.

【难度】★★★

【答案】（1）加=7或，〃=—1；（2）4.

【解析】（1）方程有两相等实根，则有八二y一4ac=（帆一1）-一4（机+2）=-6机-7=0,

解得：〃?=7或m=一1；

2

（2）根据韦达定理，可知%工2=〃?+2,Xxtx2-m-9m+2,则有相？一9，〃+2=m+2,

解得：叫=0,网=10；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足

/\-m2-6m-7>0,仅在加=10时ANO成立；综上所述，可得：;«=10.

所以y/m+6的值为4.

【总结】考查韦达定理的应用，注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即需满足

A>0.

课堂检测二

1.不解方程判断下列方程根的情况：

(1)3x2+2x=2V6；(2)—；

22

(3)(2X-1)2+X(X+2)=0；(4)4f-28x+49=0.

【难度】★

【答案】（1）两不等实根；（2）无实数根；（3）无实数根；（4）两相等实根.

【解析】（1）将方程整理成一元二次方程一般形式，即为3/+2X-2#=0,其中。=3,

b=2,c=-2屈,A=Z?2-4ac=4+24\/6>0,故原方程有两不等实根；

（2）将方程整理成一元二次方程一般形式，即为正f-也x+l=0,其中。=@,

222

b=---,c-l,A=-4ac=—2石<0,故原方程无实根；

22

（3）将方程整理成一元二次方程一般形式，即为5/_2X+1=0,其中a=5,b=-2,

c-l,\=b2-4ac=-16<0,故原方程无实根；

（4）a=4,b=-28,c=49,△=〃一44=0,故原方程有两相等实根.

【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方