高中数学数列练习题-附答案与解析

数列

1.｛〃〃｝是首项S=l,公差为d=3的等差数列，如果斯=2005,则序号〃等于().

A.667B.668C.669D.670

2.在各项都为正数的等比数列｛小｝中，首项0=3,前三项和为21,则6+。4+。5=().

A.33B.72C.84D.189

3.如果0,。2,…，。8为各项都大于零的等差数列，公差d/o,则().

A<B.8V44。5C.〃]+〃8V〃4+〃5D.4]〃8=44〃5

4.已知方程华一"+加(/-2x+〃)=0的四个根组成一个首项为工的等差数列，贝U

4

Im-nI等于().

313

A.1B.-C.-D.

428

5.等比数列｛小｝中，公=9,45=243,则｛%｝)的.前4项和为(

A.81B.120C.168D.192

6.若数列｛〃〃｝是等差数列，首项〃1>0,〃2003+〃2004>。，。2003•他004V0,则使前〃项和工>0成立的

最大自然数〃是().

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.已知等差数列｛%｝的公差为2,若的，的成等比数列，则怎=().

A.-4B.-6C.-8D.-10

8.设S.是等差数列｛&｝的前"项和，若&=』，则区=().

a3955

A.1B.-1C.2D.-

2

9.已知数列一1,0,42,-4成等差数列，-1,by,岳，bi，一4成等比数列，则”二1的值是().

b2

A.-B.C.一工或工D.-

22224

10.在等差数列｛”“｝中，斯-|—4；+a“+i=0("22),若S2“-I=38,则〃=().

A.38B.20C.10D.9

二、填空题

11.设f(x)=―4，利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得八一5)+/(-4)+…+

2工+J2

/(0)+…+/(5)+/(6)的值为.

12.已知等比数列｛%｝中，

(1)若。3•。4•。5=8,贝！J。2•。3・CIA*。5*。6=・

(2)若〃1+。2=324,〃3+。4=36,则。5+。6=.

(3)若§4=2,§8=6,则。17+。18+。19+。20=•

13.在号和旦之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为一.

32

14.在等差数列｛“”｝中，3(4+的)+2(a7+aio+"i3)=24,则此数列前13项之和为.

15.在等差数列｛“"｝中，"5=3,〃6=-2,则。4+。5+…+。10=.

16.设平面内有"条直线(〃23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用

/(〃)表示这〃条直线交点的个数，则/(4)=；当〃>4时，/(«)=.

三、解答题

17.⑴己知数列｛%｝的前"项和S,=3〃2—2〃，求证数列｛斯｝成等差数列.

(2)已知工,1成等差数列，求证史上,—,史辿也成等差数列.

abcabc

18.设｛m｝是公比为〃的等比数列，且0,43,42成等差数列.

(1)求q的值：

(2)设彷“｝是以2为首项，4为公差的等差数列，其前〃项和为S,，当〃》2时，比较5“与儿的大小，

并说明理由.

〃?

19.数列｛斯｝的前〃项和记为S”，己知。1=1,a+\=----S*n=l,2,3…).

nn

求证：数列｛2｝是等比数列.

n

20.已知数列｛斯｝是首项为。且公比不等于1的等比数列，S”为其前〃项和，0,2由，3四成等差数列,

求证：12S3,S6,S12-56成等比数列.

数列

参考答案

一、选择题

1.C

解析：由题设，代入通项公式%=防+(〃-1)4,即2005=1+3("-1),...“=699.

2.C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.

设等比数列｛m｝的公比为q(q>0),由题意得0+公+。3=21,

即(1+4+/)=21,又0=3,1+^+(72=7.

解得夕=2或4=一3(不合题意，舍去)，

.,・。3+。4+。5=。1炉(1+4+/)=3X22X7=84.

3.B.

解析：由。1+。8=。4+〃5，；•排除C.

又•。8=。1(m+7d)=a，+7a]d,

.,.«4•。5=(〃i+3d)(4i+4d)=(M+7aid+\2cP>a\•例.

4.C

解析：

=2

解法1：设〃i=L,a2—a^=—+2rf,6f4——+3J»而方程A—2x+/n=0中两根之和为2,

4444

—2x+n=0中两根之和也为2,

*>a\+42+43+04=1+6d=4,

11735

：.d=~,«1=-,44=,是一个方程的两个根，。1=士，幻=2是另一个方程的两个根.

24444

,”分别为〃1或〃，

1616

/.Im—nI=—,故选C.

2

解法2：设方程的四个根为为，X2，工3，X4，且X1+%2=%3+X4=2,X\•X2=m,X3，X4=〃.

7

由等差数列的性质：若汁S=p+q,则为+%=%+的，若设为为第一项，及必为第四项，则X2=，

4

于是可得等差数列为工，--

4444

715

m—n=—

1616

m-n

2

5.B

解析:Va=9,/=243,——qi==27,

2/9

••Q=3t〃ig=9,〃i=3,

3-35

A5==空=吸

41-32

6.B

解析:

解法1：由。2003+。2004>0，。2003・。2004<0,知。2003和。2004两项中有一*正数一负数,又0>0,则公

差为负数，否则各项总为正数，故。20。3>。2004,即“2003>0,〃2004<0.

...…4。。6仇+%6)=4。。/+%)

>0,

22

.•国。。7=包・(0+.)=鸳,26。04V。,

22

故4006为S〃>0的最大自然数.选B.

解法2：由0>0,〃2003+。2004>0，。2003•〃2004<。，同解法1的分析

得。2003>0，。2004<0,

・・・S2003为S,中的最大值.

TS〃是关于〃的二次函数，如草图所示,

A2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小,

手在对称轴的右侧.

根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左

侧，4007,4008都在其右侧，&>0的最大自然数是4006.

7.B

解析：:仿〃｝是等差数列，，“3=。1+4,〃4=。1+6,

又由0,43,44成等比数列,

；・(4]+4)2=〃](〃]+6),解得。1=—8,

。2=-8+2=-6.

8.A

9(q+%)

29%_95

解析：；1,.•.选A.

S55(，+6)5«359

2

9.A

解析：设d和q分别为公差和公比，则-4=-1+34且一4=(-1)/,

d=—1,中=2,

・%一%-d二J

b2-q?2

10.C

解析：•.•{〃〃}为等差数列，.，・〃：=斯一］+为+1，

又的¥0,，%=2,{〃“}为常数数列,

而斯=五士,即2〃一1=@=19,

2M-12

."./?=10.

二、填空题

11.3拒.

解析：=/6)=—

2X+V2

J_2X

2X

"(I—x)=

2'-x+V22+及242+2X

—21+--.2*5⑸2')_五

亚+2、-T

设S=/(—5)+/(—4)H-----F/(0)H-------F/(5)+/(6),

则S=/(6)+/(5)+-+/(0)+-+/(-4)+/(-5),

・・・2S="(6)+/(-5)]+国5)+/(-4)]+-+1/(-5)+/(6)]=6后,

・・・S=/(—5)+/(-4)+-+/(0)+…+f(5)+/(6)=3后.

12.(1)32；(2)4；(3)32.

解析：(1)由。3・。5=。；，得。4=2,

U2•。3•。4・。5*。6==32.

4+W=3241

(2)°n=一

(4+。2)夕2=369

・・。5+。6=(〃1+〃2)/=4.

[54=。[+。2+。3+〃4=2

(3)<4=>a=2

$8=.+。2+…+.=54+84夕

，〃17+〃18+Q19+420=S4ql6=32.

13.216.

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与2同号，

32

由等比中项的中间数为、口至=6,•••插入的三个数之积为§X—X6=216.

V3232

14.26.

解析：•.,。3+。5=2。4，。7+。13=2。10，

・・6(44+00)=24,6/4+00=4,

._13(4]+43)_13U+<7|O)_13X4

••013----------------:-------------4--------------------------ZO.

222

15.-49.

解析：•.♦d=〃6—〃5=—5,

.•・〃4+〃5+・一+。10

_7(6Z44-6Z|0)

2

_7(%—d+%+5d)

2

=7(恁+24)

=-49.

16.5,,(〃+1)(〃-2).

2

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面己有的每条直线都相

交，・・・/U)=/U—1)+々一1).

由/(3)=2,

八4)=/(3)+3=2+3=5,

/⑸=/(4)+4=2+3+4=9,

/(〃)=/(«—1)+(H—1),

相加得/(n)=2+3+4H-----F(«—1)=g(n+1)(n~2).

三、解答题

17.分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数.

证明：（1）〃=1时，"i=Si=3—2=1,

==22

当时，anSn-Sn-i3n—2n—[3(n—I)—2(n—1)]=6n~5>

〃=1时,亦满足,"=6"—5("£N*).

首项0=1,如一小-1=6〃-5一[6（〃一1）—5]=6（常数）（〃€1^*）,

二数列（«„｝成等差数列且0=1,公差为6.

(2)工成等差数列，

abc

—=—+—化简得2ac=Z?(a+c).

bac

b-\~c.a+bbc+d+aAabb(a~hc)~i-a2-hc2(a+c)2(q+c)20a+c

acacacacb(a+c)b

2

,出也成等差数列.

ahc

18.解：(1)由题设2a3=0i+。2,即2。1夕2=。]+«⑼

/.2q2—q—1=0,

・，・9=1或一’.

2

（2）若q=l,则S,=2〃+妁2=生二加.