2025版高考数学一轮总复习应用创新题组11.2离散型随机变量及其分布列均值与方差

.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差应用篇知行合一应用利用均值、方差进行决策1.(2024届河北沧州十五校摸底,20)在我国,11月9日的月日数恰好与火警电话号码119相同,而且这一天前后,正值风干物燥、火灾多发之际,全国各地都在紧锣密鼓地开展冬季防火工作.为增加全民的消防平安意识,从1992年起,公安部将每年的11月9日定为全国的“消防日”.为切实提中学学生消防平安学问,增加应对火灾的实力,某市特举办以“消防平安进万家,平安相伴你我他”为主题的学问竞赛,甲、乙同学将代表学校参与.为取得好成果,二人在消防学问题库中各随机选取50题练习,每题答对得5分,答错得0分,练习结果甲得200分,乙得150分.若以二人练习中答题正确的频率作为竞赛答题正确的概率,回答下列问题.(1)竞赛第一环节,要求甲、乙二人各选两题作答,每题答对得5分,答错不得分,求甲、乙二人得分和的概率分布列和期望;(2)其次环节中,要求二人自选两道题或四道题作答,要求一半及一半以上正确才能过关,那么甲、乙二人怎样选择,各自过关的可能性较大?解析(1)由已知得,甲答题正确的概率为0.8,乙答题正确的概率为0.6,设甲、乙二人得分和的随机变量为X,则X的可能取值为0,5,10,15,20,P(X=0)=(0.2)2×(0.4)2=0.0064,P(X=5)=C21×0.2×0.8×(0.4)2+C2P(X=10)=(0.2)2×(0.6)2+(0.8)2×(0.4)2+C21×0.2×0.8×P(X=15)=C21×0.2×0.8×(0.6)2+C2P(X=20)=(0.8)2×(0.6)2=0.2304,所以X的分布列为X05101520P0.00640.07040.27040.42240.2304E(X)=0×0.0064+5×0.0704+10×0.2704+15×0.4224+20×0.2304=14.(2)甲选两道题时,过关率为1-(0.2)2=0.96,甲选四道题时,过关率为1-(0.2)4-C41×0.8×(0.2)∴甲选四道题.乙选两道题时,过关率为1-(0.4)2=0.84,乙选四道题时,过关率为1-(0.4)4-C41×0.6×(0.4)∴乙选两道题.2.(2024届福建南平联考,20)某地区位于甲、乙两条河流的交汇处,夏季多雨,依据统计资料预料,今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.2(假设两河流发生洪水与否互不影响),今年夏季该地区某工地有很多大型设备,为爱护设备,有以下3种方案.方案一:不实行措施,当一条河流发生洪水时,设备将受损,损失30000元.当两河流同时发生洪水时,设备将受损,损失60000元.方案二:修建爱护围墙,建设费为4000元,但围墙只能抵挡一条河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备将受损,损失60000元.方案三:修建爱护大坝,建设费为9000元,能够抵挡住两河流同时发生洪水.(1)求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率;(2)试比较哪一种方案更好,说明理由.解析(1)甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.2,则甲、乙两条河流均不发生洪水的概率为(1-0.25)×(1-0.2)=0.6,所以今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率为1-0.6=0.4.(2)方案一:设损失费为X.X的可能取值为30000,60000,0,P(X=30000)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,P(X=60000)=0.25×0.2=0.05,P(X=0)=(1-0.25)×(1-0.2)=0.6,所以E(X)=30000×0.35+60000×0.05+0×0.6=13500(元).方案二:修建爱护围墙,须要花费4000元,但围墙只能抵挡一条河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备将受损,损失60000元,两条河流都发生洪水的概率P=0.25×0.2=0.05,所以该方案中的花费为4000+60000×0.05=7000元.方案三:修建爱护大坝,建设费为9000元,设备不会受损,方案中的花费为9000元.所以方案二最好.3.(2024届通州期中,20)某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜(两个市场的销售互不影响),已知该蔬菜每售出1吨获利500元,未售出的蔬菜降价处理,每吨亏损100元.现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量,制成如下条形图:以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜,在甲、乙两个市场同时销售,以X(单位:吨)表示下个销售周期两个市场的总需求量,T(单位:元)表示下个销售周期两个市场的销售总利润.(1)求X的分布列;(2)当n=19时,求T与X的函数解析式,并估计销售利润不少于8900元的概率;(3)以销售利润的期望作为决策的依据,推断n=19与n=18应选用哪一个.解析(1)设甲市场需求量为x吨的概率为P(x),乙市场需求量为y吨的概率为P(y),由题意得P(x=8)=0.3,P(x=9)=0.4,P(x=10)=0.3;P(y=8)=0.2,P(y=9)=0.5,P(y=10)=0.3.设两个市场总需求量为X吨的概率为P(X),由题意得X的全部可能取值为16,17,18,19,20,P(X=16)=P(x=8,y=8)=0.3×0.2=0.06,P(X=17)=P(x=8,y=9)+P(x=9,y=8)=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23,P(X=18)=P(x=8,y=10)+P(x=10,y=8)+P(x=9,y=9)=0.3×0.3+0.3×0.2+0.4×0.5=0.35,P(X=19)=P(x=9,y=10)+P(x=10,y=9)=0.4×0.3+0.3×0.5=0.27,P(X=20)=P(x=10,y=10)=0.3×0.3=0.09.所以X的分布列为X1617181920P0.060.230.350.270.09(2)由题意得,当X≥19时,T=500×19=9500(元),当X<19时,T=500X-(19-X)×100=600X-1900.所以T=9500设A=“销售利润不少于8900元”,当X≥19时,T=9500>8900,当X<19时,T=600X-1900≥8900,解得X≥18.由(1)中X的分布列可知,P(A)=P(X≥18)=0.71.(3)当n=19时,若X=16,则T=600×16-1900=7700(元).若X=17,则T=600×17-1900=8300(元).若X=18,则T=600×18-1900=8900(元).若X≥19,则T=9500(元).所以T的全部可能取值为7700,8300,8900,9500.P(T=7700)=0.06,P(T=8300)=0.23,P(T=8900)=0.35,P(T=9500)=0.27+0.09=0.36.所以E1(T)=7700×0.06+8300×0.23+8900×0.35+9500×0.36=8906(元).当n=18时,若X≥18,则T=500×18=9000(元).若X=17,则T=500×17-(18-17)×100=8400(元).若X=16,则T=500×16-(18-16)×100=7800(元).则T的全部可能取值为7800,8400,9000.P(T=7800)=0.06,P(T=8400)=0.23,P(T=9000)=0.71.所以E2(T)=7800×0.06+8400×0.23+9000×0.71=8790(元).因为8906>8790,所以应选择n=19.4.(2024届北京市八一学校开学考试,17)2024年1月10日,引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后,科学家们便起先了病毒疫苗的探讨过程.但是类似这种病毒疫苗的研制须要科学的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是:每天接种一次,3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12,假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关(1)求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列;(2)已知每接种一次花费100元,现有以下两种试验方案:①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验,进行下一接种周期,试验持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为X元;②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体,该周期结束后终止试验,已知试验至多持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则,应选择哪种试验方案?解析(1)由题意可知,随机变量k听从二项分布B3,12,故则k的分布列为k0123P1331(2)①设一个接种周期的接种费用为ξ元,则ξ的全部可能取值为200,300,因为P(ξ=200)=14,P(ξ=300)=3所以E(ξ)=200×14+300×34=275(所以三个接种周期的平均花费为E(X)=3E(ξ)=3×275=825(元).②随机变量Y的全部可能取值为300,600,900,设事务A为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”,由(1)知,P(A)=38+18=所以P(Y=300)=P(A)=12P(Y=600)=[1-P(A)]P(A)=14P(Y=900)=[1-P(A)][1-P(A)]×1=14所以E(Y)=300×12+600×14+900×14因为E(X)>E(Y),所以选择方案二.创新篇守正稀奇创新概率与其他学问的综合1.(2024届湖北恩施州质量监测,21)某企业创新形式推动党史学习教化走深走实,实行两轮制的党史学问竞赛初赛,每部门派出两个小组参赛,两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格,该企业某部门派出甲、乙两个小组,若第一轮竞赛时两组通过的概率分别是45,23,其次轮竞赛时两组通过的概率分别是34,35,(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X,求X的分布列与数学期望;(2)竞赛规定:参与决赛的小组由4人组成,每人必需答题且只答题一次(与答题依次无关),若4人全部答对就赐予奖金,若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”.该部门对通过初赛的某一小组进行党史学问培训,使得每个成员答对每题的概率均为p(0<p<1)且相互独立,设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p),当p=p0时,f(p)最大,试求p0的值.解析(1)设甲、乙两个小组两轮初赛都通过分别为事务A1,A2,则P(A1)=45×34=35,P(A2)=23×由题意知X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=1-35×1P(X=1)=1-35×25+35×1-25=所以X的分布列为X012P6136E(X)=0×625+1×1325+2×(2)由题意知小组中2人答对的概率为C42p2(1-p)2,3人答对的概率为C4则f(p)=6(1-p)2p2+4(1-p)p3=2p4-8p3+6p2.f'(p)=8p3-24p2+12p=4p(2p2-6p+3),令f'(p)=0,得p1=0(舍),p2=3-32,p3=3+32(舍),所以在0,3-32上,f(p)单调递增,在3-32,1上,f(p)单调递减,故p2.(2024届山东广饶一中10月月考,20)为落实立德树人根本任务,坚持五育并举全面推动素养教化,某学校实行了乒乓球竞赛,其中参与男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区,三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的竞赛赛制实行单循环方式,即每名队员进行11场竞赛(每场竞赛都实行5局3胜制),最终依据积分选出最终的冠军.积分规则如下:竞赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分,失败的队员积0分,而在竞赛中以3∶2取胜的队员积2分,失败的队员积1分,已知第10轮张三对抗李四,设每局竞赛张三取胜的概率均为p(0<p<1).(1)竞赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少?(2)第10轮竞赛中,记张三以3∶1取胜的概率为f(p).①求出f(p)的最大值点p0;②若以p0作为p的值,这轮竞赛张三所得积分为X,求X的分布列及期望.解析(1)竞赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率P=C31