10.3 超静定结构内力计算方法-力矩分配法讲解

第九章超静定结构内力计算

内容提要超静定结构是工程中广泛采用的结构型式。本章介绍超静定结构的概念和超静定次数的确定方法；重点介绍计算超静定结构内力的常用方法，即力法、位移法和力矩分配法的基本概念、解题思路和计算方法；最后分析总结超静定结构的特性。9.4力矩分配法

本节内容

力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本参数

1、转动刚度SAB:使AB杆的A端（也称近端）产生单位转角时所需施加的力矩。ABABABAB=θ=1θ=1θ=1θ=1SAB=4iSAB=iSAB=3i

转动刚度的大小不仅与该梁的线刚度i

有关（i=EI/L），而且与远端的支承情况有关。

转动刚度反映了杆端抵抗转动的能力。转动刚度越大，表示杆端产生单位转角所需施加的力矩越大。当θ≠1时:MAB=SABθ2、分配系数令：μAk=SAk∑SAAμAk称为分配系数3、传递系数C

表示当杆件近端有转角时，杆件远端弯矩与近端弯矩的比值。它的大小与远端的支承情况有关。远端固定：C=0.5远端铰支：C=0远端定向支座：C=－1

汇交于同一结点各杆的分配系数之和等于1，即：=μAB

＋μAC＋μAD=1∑μAABCDmθAθAθA把上述问题归纳如下：

当结点A作用有力偶荷载m时，结点A上各杆近端得到按各杆的分配系数乘以m的近端弯矩，也称分配弯矩。

以上是用力矩的分配和传递的概念解决结点力偶荷载作用下的计算问题，故称为力矩分配法。远端支承情况转动刚度传递系数固定4i0.5铰支3i0滑动i－1

各杆的远端则有传递系数乘以近端弯矩（或分配弯矩）的远端弯矩，也称传递弯矩。单结点连续梁或刚架跨间有荷载作用时例：32kN20kN/mABCMBMFBAMFBCMBBABCMB＋

解：1、先在B点加上阻止转动的约束力矩MB，这时B点相当于固端，查表6-1求得各固端弯矩。MFBA=qL2/12=60kNmMFAB=－qL2/12=－60kNmMFBC=－3PL/16=－36kNmMFCB=0所以：MB=60－36=24kNm2、放松结点B，这相当于在结点B上加一个外力偶（－

MB

），按分配系数分配于两杆的B端，并使两杆的远端产生传递弯矩。具体计算如下：32kN20kN/m3m3m6mABCEIEI设

i=EI/6AC32kN20kN/m3m3m6mABCEIEISBA=4iSBC=3i分配系数：μBA=4/7=0.571μBC=3/7=0.429分配弯矩：MBA=0.571×(－24)=－13.7kNmμMBC=0.429×(－24)=－10.3kNmμ传递弯矩：MAB=0.5×(－13.7)=－9.85kNmcMCB=0c最后杆端弯矩：MAB=MFAB＋MCAB=－69.85kNmMBA=MFBA＋MμBA=46.3kNmMBC=MFBC＋MμBC=－46.3kNmMCB=0－6060－3600.5710.429－13.7－10.3－9.85046.3－69.85－46.3069.8546.39033.434824.85AM图（kNm）多结点的力矩分配32kN20kN/mABCD步骤：1、先锁：加约束锁紧全部刚结点，计算各杆的固端弯矩和结点的约束力矩。约束力矩MB=∑MfBj2、逐次放松：每次放松一个结点（邻近结点仍锁住）进行单结点的力矩分配和传递。轮流放松各结点，经多次循环后各结点渐趋平衡。实际计算一般进行2~3个循环就可获得足够的精度。3、叠加：将各次计算所得杆端弯矩相加（代数和）就得到杆端弯矩，即：M=Mf＋∑M分配＋∑M传递1、力矩分配法的适用条件：无侧移刚架和连续梁。力矩分配法要点2、力矩分配法的基本参数（1）、转动刚度SAB*固4i*铰支3i滑i其中i=EI/L（2）、分配系数μAB

μAB=SAB∑SAA（3）、传递系数CAB*固定CAB=0.5*铰支CAB=0重点：掌握三跨连续梁两节点的分配如：6m30kNABCD4kN/m8m3m3mA40kN10kN/mBCD4m4m8m8mi=1i=1i=1EI3EI2EI注意：各段的线刚度题型5、用力矩分配法绘制图示连续梁的弯矩图。EI为常数。

6m30kNABCD4kN/m8m3m3m注意：查表时对应符号APBABPAB注意：BA1、计算各杆的固端弯矩MfMfAB=0=1/8×4×62=18MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5MfCD=MfDC=02、计算转动刚度S和分配系数μ

B节点SBA=3i＝3EI/6SBC=4i＝4EI/6C节点SCB=4i＝4EI/6SCD=4i=4EI/8B节点C节点μBA=SBASBA+SBCμBC=SBcSBA+SBC=3/7=4/7SCB+SCDμCB=SCBμCD=SCDSCB+SCD=3/7=4/703/74/74/73/718－22.522.500－12.85－9.65－9.425－4.8254.6859.2383.12－1.78－1.34－0.67－0.890.380.51023.067－23.067－10.9910.99－5.495(45)23.06710.995.495(18)M图(kNm)结果列入表格例：用力矩分配法作图示梁的弯矩图。A80kN20kN/mBCD4m4m8m8mi=1i=1i=1解：计算分配系数μBA=4×14×1＋4×1=0.5μBC=4×14×1＋4×1=0.50.50.50.5710.429－808000－160091.3668.6445.68－62.84－62.84－31.42－31.4217.9413.488.97－4.485－4.485－2.24－2.241.280.960.64－0.32－0.32－113.6612.36－12.3679.92－79.920113.6612.3616099.9179.92160121.54ABCDM图（kNm）0.50.50.5710.429－808000－160091.3668.6445.68－62.84－62.84－31.4217.9413.488.97－4.485－4.485－2.24－2.241.280.960.64－0.32－0.3212.36－12.3679.92－79.920－113.66－31.4230kN/m40kN8m8m4m4m2EI2EIEIABCD分配系数固端弯矩分配弯矩

及传递弯矩0.60.40.40.600-160160-600966432-52.8-79.2-29.40最后杆端弯矩15.8410.5605.28-2.11-3.170-1.060.640.4200.21-0.08-0.13112.48-112.48142.