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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,,,则的大小关系是()A. B. C. D.2.如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A.2对 B.3对C.4对 D.5对3.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称4.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值5.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或6.已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点坐标为,若,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.7.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.18.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()A.16 B.17 C.18 D.199.已知双曲线的右焦点为,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,延长交右支于点,若,则双曲线的离心率是()A. B. C. D.10.阅读下侧程序框图,为使输出的数据为31,则①处应填的数字为A.4 B.5 C.6 D.711.双曲线:(,)的一个焦点为(),且双曲线的两条渐近线与圆:均相切,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.12.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数,其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.14.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.15.某校名学生参加军事冬令营活动,活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏,角色按级别从小到大共种,分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式,可以人一组或者人一组.如果人一组,则必须角色相同;如果人一组,则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,现在新加入名学生,将这名学生分成组进行游戏,则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.16.已知集合,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,,(1)讨论的单调性;(2)若在定义域内有且仅有一个零点,且此时恒成立,求实数m的取值范围.18.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,证明:对;(2)若函数在上存在极值,求实数的取值范围。19.(12分)已知函数.(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若对于任意恒成立,求的取值范围.20.(12分)甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛,每人回答一个问题,答对得10分,答错得0分,假设甲班三名同学答对的概率都是,乙班三名同学答对的概率分别是,,,且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.(1)记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件,求事件发生的概率;(2)用表示甲班总得分,求随机变量的概率分布和数学期望.21.(12分)已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求;(3)是否存在正整数,使得恰好是数列或中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,说明理由.22.(10分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:AP∥平面EBD;(2)证明:BE⊥PC.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
选取中间值和,利用对数函数,和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以,因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2、C【解析】
画出该几何体的直观图,易证平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,从而可选出答案.【详解】该几何体是一个四棱锥,直观图如下图所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,则有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可证:平面平面,由三视图可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图,考查了四棱锥的结构特征,考查了面面垂直的证明,属于中档题.3、B【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.4、D【解析】
A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.5、D【解析】
由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.6、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的离心率,然后求解a,b关系,即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以双曲线的渐近线方程为:y=±.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法,涉及抛物线的简单性质的应用.7、C【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.8、B【解析】
由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,代入四个选项进行验证即可.【详解】解:由程序框图可知,输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.若输出,则不符合题意,排除;若输出,则,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多,或有规律时,常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.9、D【解析】
设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,和中,利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,,根据对称性知四边形为矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故选:.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10、B【解析】考点:程序框图.分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环求S的值,我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况,不难给出答案.解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i<5时退出,故选B.11、A【解析】
根据题意得到,化简得到,得到答案.【详解】根据题意知:焦点到渐近线的距离为,故,故渐近线为.故选:.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,双曲线的渐近线,意在考查学生的计算能力和转化能力.12、C【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
对首位数的奇偶进行分类讨论,利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】①若首位为奇数,则第一、三、五个数位上的数都是奇数,其余三个数位上的数为偶数,此时,符号条件的位自然数个数为个;②若首位数为偶数,则首位数不能为,可排在第三或第五个数位上,第二、四、六个数位上的数为奇数,此时,符合条件的位自然数个数为个.综上所述,符合条件的位自然数个数为个.故答案为:.【点睛】本题考查数的排列问题,要注意首位数字的分类讨论,考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.14、【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数,然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数,这四个数的中位数为,则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算,侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.15、【解析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论,分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组,综合可得出结论.【详解】依题意,名学生分成组,则一定是个人组和个人组.①若新加入的学生是士兵,则可以将这个人分组如下;名士兵;士兵、排长、连长各名;营长、团长、旅长各名;师长、军长、司令各名;名司令.所以新加入的学生可以是士兵,由对称性可知也可以是司令;②若新加入的学生是排长,则可以将这个人分组如下:名士兵;连长、营长、团长各名;旅长、师长、军长各名;名司令;名排长.所以新加入的学生可以是排长,由对称性可知也可以是军长;③若新加入的学生是连长,则可以将这个人分组如下:名士兵;士兵、排长、连长各名;连长、营长、团长各名;旅长、师长、军长各名;名司令.所以新加入的学生可以是连长,由对称性可知也可以是师长;④若新加入的学生是营长,则可以将这个人分组如下:名士兵;排长、连长、营长各名;营长、团长、旅长各名;师长、军长、司令各名;名司令.所以新加入的学生可以是营长,由对称性可知也可以是旅长;⑤若新加入的学生是团长,则可以将这个人分组如下:名士兵;排长、连长、营长各名;旅长、师长、军长各名;名司令;名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所述,新加入学生可以扮演种角色.故答案为:.【点睛】本题考查分类计数原理的应用,解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论,属于中等题.16、【解析】
解一元二次不等式化简集合,再进行集合的交运算,即可得到答案.【详解】,,.故答案为:.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2).【解析】
(1)求出导函数,分类讨论,由确定增区间,由确定减区间;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得结论.【详解】(1)函数定义域是,,当时,,单调递增;时,令得,时,,递减,时,,递增,综上所述,时,在上单调递增,时,在上递减,在上递增.(2)易知,由函数单调性,若有唯一零点,则或.当时,,,从而只需时,恒成立,即,令,,在上递减,在上递增,∴,从而.时,,,令,由,知在递减,在上递增,,∴.综上所述,的取值范围是.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查函数零点个数与不等式恒成立问题,解题关键在于转化,不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.18、(1)见证明;(2)【解析】
(1)利用导数说明函数的单调性,进而求得函数的最小值,得到要证明的结论;(2)问题转化为导函数在区间上有解,法一:对a分类讨论,分别研究a的不同取值下,导函数的单调性及值域,从而得到结论.法二:构造函数,利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域,再利用零点存在定理说明函数存在极值.【详解】(1)当时,,于是,.又因为,当时,且.故当时,,即.所以,函数为上的增函数,于是,.因此,对,;(2)方法一:由题意在上存在极值,则在上存在零点,①当时,为上的增函数,注意到,,所以,存在唯一实数,使得成立.于是,当时,,为上的减函数;当时,,为上的增函数;所以为函数的极小值点;②当时,在上成立,所以在上单调递增,所以在上没有极值;③当时,在上成立,所以在上单调递减,所以在上没有极值,综上所述,使在上存在极值的的取值范围是.方法二:由题意,函数在上存在极值,则在上存在零点.即在上存在零点.设,,则由单调性的性质可得为上的减函数.即的值域为,所以,当实数时,在上存在零点.下面证明,当时,函数在上存在极值.事实上,当时,为上的增函数,注意到,,所以,存在唯一实数,使得成立.于是,当时,,为上的减函数;当时,,为上的增函数;即为函数的极小值点.综上所述,当时,函数在上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值,涉及函数的单调性,导数的应用,函数的最值的求法,考查构造法的应用,是一道综合题.19、(1)或;(2).【解析】
(1)时,分类讨论,去掉绝对值,分类讨论解不等式.(2)时,分类讨论去绝对值,得到解析式,由函数的单调性可得的最小值,通过恒成立问题,得到关于的不等式,得到的取值范围.【详解】(1)因为,所以,所以不等式等价于或或,解得或.所以不等式的解集为或.(2)因为,所以,根据函数的单调性可知函数的最小值为,因为恒成立,所以,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查分类讨论去绝对值,分段函数求最值,不等式恒成立问题,属于中档题.20、(1)(2)分布列见解析,期望为20【解析】
利用相互独立事件概率公式求解即可;由题意知,随机变量可能的取值为0,10,20,30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.【详解】(1)由相互独立事件概率公式可得,(2)由题意知,随机变量可能的取值为0,10,20,30.,,,,所以,的概率分布列为0102030所以数学期望.【点睛】本题考查相互独立
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