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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设数列的各项均为正数,前项和为,,且,则()A.128 B.65 C.64 D.632.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且,则()A.9 B.5 C.2或9 D.1或54.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是()A. B. C. D.6.下列四个图象可能是函数图象的是()A. B. C. D.7.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势8.已知集合,,若,则()A. B. C. D.9.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则()A. B. C. D.10.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.11.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()A.16 B.17 C.18 D.1912.椭圆是日常生活中常见的图形,在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米,底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯,且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计),在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出),杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数在区间上有且仅有一个零点,则实数的取值范围有___________.14.若函数为偶函数,则.15.公比为正数的等比数列的前项和为,若,,则的值为__________.16.已知实数,满足,则目标函数的最小值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:等级不合格合格得分频数624(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.18.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)若函数最小值为,且,求的最小值.19.(12分)如图,是正方形,点在以为直径的半圆弧上(不与,重合),为线段的中点,现将正方形沿折起,使得平面平面.(1)证明:平面.(2)三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这个零件尺寸的中位数(结果精确到);(2)若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个,设表示尺寸在上的零件个数,求的分布列及数学期望;(3)已知尺寸在上的零件为一等品,否则为二等品,将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,已知每个零件的检验费用为元.若检验,则将检验出的二等品更换为一等品;若不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个,结果有个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据,得到,即,由等比数列的定义知数列是等比数列,然后再利用前n项和公式求.【详解】因为,所以,所以,所以数列是等比数列,又因为,所以,.故选:D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.2、D【解析】
根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.3、B【解析】
根据渐近线方程求得,再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于,所以,又且,故选:B.【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程,涉及双曲线的定义,属基础题.4、A【解析】
根据幂函数定义,求得的值,结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时,,解得或,∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断,幂函数定义的应用,属于基础题.5、D【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积,进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式,解出的表达式即可.【详解】在函数的解析式中,令,可得,则点,直线的方程为,矩形中位于曲线上方区域的面积为,矩形的面积为,由几何概型的概率公式得,所以,.故选:D.【点睛】本题考查利用随机模拟的思想估算的值,考查了几何概型概率公式的应用,同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积,考查计算能力,属于中等题.6、C【解析】
首先求出函数的定义域,其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,因为为奇函数,即可得到函数图象关于对称,即可排除A、D,再根据时函数值,排除B,即可得解.【详解】∵的定义域为,其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到,∵为奇函数,图象关于原点对称,∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时,,∴B项不正确.故选:C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力,一般根据四个选择项来判断对应的函数性质,即可排除三个不符的选项,属于中档题.7、D【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.8、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.9、B【解析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【详解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故选:B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算,考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中等题.10、B【解析】
画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.11、B【解析】
计算,故,解得答案.【详解】当时,,即,且.故,,故.故选:.【点睛】本题考查了数列的相关计算,意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.12、C【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大,由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率,进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为,短轴长为6,所以椭圆离心率,所以.故选:C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、或【解析】
函数的零点方程的根,求出方程的两根为,,从而可得或,即或.【详解】函数在区间的零点方程在区间的根,所以,解得:,,因为函数在区间上有且仅有一个零点,所以或,即或.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,在求含绝对值方程时,要注意对绝对值内数的正负进行讨论.14、1【解析】试题分析:由函数为偶函数函数为奇函数,.考点:函数的奇偶性.【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想,具有一定的综合性和灵活性,属于较难题型.首先利用转化思想,将函数为偶函数转化为函数为奇函数,然后再利用特殊与一般思想,取.15、56【解析】
根据已知条件求等比数列的首项和公比,再代入等比数列的通项公式,即可得到答案.【详解】,,.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.16、-1【解析】
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出实数x,y满足对应的平面区域如图阴影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直线yx,由图象可知当直线yx经过点A时,直线yx的纵截距最小,此时z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此时z的最小值为z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案为﹣1.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,是基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)64,65;(2);(3).【解析】
(1)根据频率分布直方图及其性质可求出,平均数,中位数;(2)设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件,由条件概率公式可求出;(3)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数为,“合格”的学生数为6;由题意可得,5,10,15,1,利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率,进而得出分布列与数学期望.【详解】由题意知,样本容量为,.(1)平均数为,设中位数为,因为,所以,则,解得.(2)由题意可知,分数在内的学生有24人,分数在内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件,则,所以.(3)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人,则“不合格”的学生人数为,“合格”的学生人数为.由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,1.,.所以的分布列为0510151.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望,考查了计算能力,属于中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)利用零点分段法,求得不等式的解集.(2)先求得,即,再根据“的代换”的方法,结合基本不等式,求得的最小值.【详解】(1)当时,,即,无解;当时,,即,得;当时,,即,得.故所求不等式的解集为.(2)因为,所以,则,.当且仅当即时取等号.故的最小值为.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式,考查利用基本不等式求最值,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)利用面面垂直的性质定理证得平面,由此证得,根据圆的几何性质证得,由此证得平面.(2)判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系,通过平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为平面平面是正方形,所以平面.因为平面,所以.因为点在以为直径的半圆弧上,所以.又,所以平面.(2)解:显然,当点位于的中点时,的面积最大,三棱锥的体积也最大.不妨设,记中点为,以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则令,得.设平面的法向量为,则令,得,所以.由图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.当时,,,所以,只需,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究恒成立问题,属综合中档题.21、(1);(2)分布列见详解,期望为;(3)余下所有零件不用检验,理由见详解.【解析】
(1)计算的频率,并且与进行比较,判断中位数落在的区间,然后根据频率的计算方法,可得结果.(2)计算位于之外的零件中随机抽取个的总数,写出所有可能取值,并计算相对应的概率,列出分布列,计算期望,可得结果.(3)计算整箱的费用,根据余下零件个数服从二项分布,可得余下零件个数的期望值,然后计算整箱检
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