《线性代数（第4版）》 习题及答案汇 张学奇 第1-5章

第一章习题选解1.设矩阵满足，其中，，求解设，则，．利用矩阵相等的定义，得.2.求解将行列式的第二、三、四列全加到第一列，并提公因子，再化为三角行列式得3.求解把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，再化为三角行列式得====160.4.求解按第一列展开，得=+=5.求解方程解因为所以方程的解为.6.设，计算．解，而7.求逆矩阵解令，因为，所以矩阵可逆.又从而8.解矩阵方程解9.已知n阶矩阵，满足，求证：可逆，并求.证因为，即，所以，从而，为可逆矩阵，而且.10.设为3阶矩阵，为的伴随矩阵，且，求行列式的值.解因为，，，所以====.11.设,，求.解由可得故12.设，且，求.解由方程，合并含有未知矩阵的项，得．又，其行列式，故可逆，用左乘上式两边，即得=13.设，求及解令,.则.,由.得.所以14.求的逆矩阵解令，，则是一个分块对角矩阵，因为＝，＝，所以＝注：，15求逆矩阵.解；故逆矩阵为.16.已知矩阵的秩为3，求的值．解对作初等变换若，则，所以.第二章线性方程组习题2.12.当k取何值时，齐次线性方程组仅有零解.解齐次线性方程组的系数行列式为=由克拉默法则知，当且时有，此时方程组仅有零解.3.问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解方程组的系数行列式为，若齐次线性方程组有非零解，则，即，所以或不难验证，当或该齐次线性方程组确有非零解.4.用消元法解下列线性方程组（2）；（3）（4）解（2）设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换所以与原方程组等价的方程组为于是原方程组的解为.（3）设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=因为，即，所以方程组无解.（4）设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=.得原方程组的同解方程组即则方程组的解为（c为任意常数）.5.当k为何值时，齐次线性方程组有非零解？并求出此非零解.解齐次线性方程组的系数行列式为当时，即时，齐次线性方程组有非零解.当时，齐次线性方程组为设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=得原方程组的同解方程组，即则方程组的解为（c为任意常数）.6.当为何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？当有解时，求出方程组的解.解设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=当时，方程组无解.当且时，方程组有唯一解.此时原方程组的同解方程组为，则方程组的解为当时，方程组有无穷多个解.此时原方程组的同解方程组为即则方程组的解为（为任意常数）.习题2.31.判定下列各组中的向量是否可以表示为其余向量的线性组合？若可以，试求出其一个线性表示式.（1）；（2）；（3）；解（1）设，则是方程组的解设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=得到方程组的解为，所以.（2）设，则是方程组的解.设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=.因为，所以方程组无解，故不能表示为的线性组合.（3）设，则是方程组的解.设方程组的增广矩阵为，对进行初等行变换=.得到原方程的同解方程组为.所以不唯一，令，则，故.2.若可由线性表示，且，，，，求．解对向量组进行初等行变换=所以，当时，可由线性表示.5.判定下列各向量组的线性相关性.（2）（3）解（2）对向量组构成的矩阵实施初等行变换因为，所以向量组线性相关.（3）对向量组构成的矩阵实施初等行变换因为，所以向量组线性无关.6.设向量组，试确定a为何值时，向量组线性相关.解考虑以为系数列向量构成的齐次方程组方程组的系数矩阵的行列式为当时，即时，方程组有非零解，此时向量组线性相关.7.设，且向量组线性无关，证明向量组也线性无关.证设存在数，使得即因向量组线性无关，故因为故方程组只有零解，所以线性无关.习题2.42.求下列向量组的秩：（1）解（1）作矩阵，并对实施初等行变换因为，所以向量组的秩为3.3.求下列各向量组的一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.（1）；（2）；解（1）作矩阵，并对实施初等行变换因为，所以向量组的秩为2.且为的一个极大无关组.由的第三列可得.（2）作矩阵，并对实施初等行变换因为，所以向量组的秩为2.且为的一个极大无关组.由的第三、四列可得，.4.设向量组的秩为求解作矩阵，并对实施初等行变换因为，所以且.习题2.51.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用此基础解系表示方程组的全部解.（1）；（2）；解（1）设方程组的系数矩阵为，对进行初等行变换=得到方程组的一般解(其中为自由未知量).令分别取和，得到方程组的一个基础解系，，所以方程组的全部解为（为任意常数）.（2）设方程组的系数矩阵为，对进行初等行变换=得到方程组的一般解(其中为自由未知量).令分别取和，得到方程组的一个基础解系，，所以方程组的全部解为（为任意常数）.2.判断下列线性方程组是否有解，若有解，求其解（在有无穷多个解的情况下，用基础解系表示全部解）.（2）；（3）；解（2）设方程组的增广矩阵为，对实施初等行变换=.则方程组的一般解（其中为自由未知量），一个特解.又导出组的一般解为，由此得到导出组的一个基础解系.所以方程组的全部解为（c为任意常数）.（3）设方程组的增广矩阵为，对实施初等行变换=.则方程组的一般解为（其中,为自由未知量）.可得到一个特解.又导出组的一般解为.令分别取，和，得到方程组的一个基础解系，，.所以方程组的全部解为（为任意常数）.总习题二一.单项选择题1.如果线性方程组（的常数）有唯一解，则必须满足（）.A.；B.或；C.或；D.且答案：D解由克拉默法则知，若方程组有唯一解，必须使得，即且；故答案D正确.2.若齐次线性方程组有非零解，则必须满足（）.A.；B.；C.且；D.或答案：D解由克拉默法则知，若齐次线性方程组有非零解，必须使得所以，或，故答案D正确.6.设向量组,线性相关，则应满足条件().A.；B.；C.；D.答案：C解设，因为向量组线性相关，所以，由于所以当时，，向量组线性相关.故答案C正确.7.向量组,线性无关，则（）.A.或；B.且；C.或；D.且.答案：D解设，因为向量组线性无关，所以，由于所以，当且时，向量组线性无关.故答案D正确.8.设是阶方阵，，则在的个行向量中().A.必有个行向量线性无关；B.任意个行向量线性无关；C.任意个行向量都构成极大线性无关向量组；D.任意一个行向量都可以由其它个行向量线性表示.答案：A解对于答案A.由矩阵秩的定义可知，的个行向量组成的向量组的秩也为，再由向量组秩的定义知，这个行向量中必然存在个线性无关的行向量.故答案A正确.12.设为阶矩阵，且，则（）.A.的列秩等于零；B.的秩为零；C.中任一列向量可由其他列向量线性表示；D.中必有一列向量可由其他列向量线性表示.答案：D解因为的行（列）向量组的秩小于.所以的列向量组必然线性相关，再由线性相关的充分必要条件可知，其中必有一列向量可由其他列向量线性表示.故答案D正确.13.设为阶矩阵，下列结论中不正确的是（）.A.可逆的充分必要条件是；B.可逆的充分必要条件是的列秩为；C.可逆的充分必要条件是的每一行向量都是非零向量；D.可逆的充分必要条件是当时，，其中答案：C解矩阵可逆的充要条件为矩阵可逆的列（行）秩为只有零解.所以答案A、B、D正确，答案C不正确，故选择C.14.设元齐次线性方程组，且，则有非零解的充分必要条件是（）.A.；B.；C.；D.答案：C解矩阵，则的向量形式为而有非零解线性无关，故答案C正确.15.设为矩阵，线性方程组对应的导出组为，则下列结论中正确的是（）.A.若仅有零解，则有唯一解；B.若有非零解，则有无穷多解；C.若有无穷多解，则有非零解；D.若有无穷多解，则仅有零解.答案：C解由有无穷多解，可知，由齐次线性方程组有非零解的充要条件可知，此时有非零解.故答案C正确.16.对非齐次线性方程组，设，则（）A.时，方程组有解B.时，方程组有唯一解C.时，方程组有唯一解D.时，方程组有无穷多解答案：A解方程组的系数矩阵和增广矩阵都是行矩阵，由可知，所以方程组有解.故答案A正确.17.设矩阵，仅有零解的充分必要条件是（）.A.的列向量组线性无关；B.的列向量组线性相关；C.的行向量组线性无关；D.的行向量组线性相关.答案：A解方程组仅有零解充要条件为仅有零解的列向量组线性无关.故答案A正确.第三章向量空间2.试证:由所生成的向量空间就是.证设，因为于是，故线性无关.由于均为三维且秩为3.所以为此三维空间的一组基，故由所生成的向量空间就是.4.已知的一组基为，求向量在此基下的坐标.解设，则是方程组的解.解得，所以向量在此基下的坐标为.6.已知的两个基为求由基到基的过渡矩阵解取矩阵，，对作初等行变换故过渡矩阵.6.利用施密特正交化方法，将下列各向量组化为正交的单位向量组．（1）；（2）；解（1）令=，=，=，==（，再将向量组单位化，即得到正交的单位向量组．．（2）令=，===（．再将向量组单位化，即得到正交的单位向量组．．2.如果为阶实对称矩阵，为阶正交矩阵，则为阶实对称矩阵．证因为又为阶实对称矩阵，为阶正交矩阵，所以及，即于是所以为阶实对称矩阵．第四章矩阵的特征值和特征向量2.求下列矩阵的特征值和特征向量（1）；（2）；解（1）矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为当时，解齐次线性方程组，即，由得基础解系，故属于特征值的全部特征向量为（为任意常数）当时，解齐次线性方程组，即，由得基础解系，故属于特征值的全部特征向量为（为任意常数）（2）矩阵的特征多项式为=令，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，于是的属于的全部特征向量为（为不等于零的常数）对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，，于是的属于的全部特征向量为（为不全等于零的常数）.1.证明下列命题：（1）设都是阶方阵，且，证明与相似．（2）如果矩阵与相似，且与都可逆，则与相似.证（1）因为，则可逆.由于所以与相似.（2）因为矩阵与相似，所以存在一个可逆矩阵，使得所以，即，所以与相似.2.判别矩阵是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵，使为对角阵．解矩阵的特征多项式为=由，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系.对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，.由于有三个线性无关的特征向量，故可对角化．令则3.设矩阵可相似对角化求解矩阵的特征多项式为,由，得矩阵的特征值为因为可相似对角化，所以对于,齐次线性方程组有两个线性无关的解,因此.由知当时,即为所求.1.试求一个正交相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵：（1）；（2）；解（1）矩阵的特征多项式为由，得矩阵的特征值为对于，解方程组，得方程组的一个基础解系；对于，解方程组，得方程组的一个基础解系；对于，解线性方程组，得方程组的一个基础解系.分别将单位化得，令，则.（2）矩阵的特征多项式为由，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，得方程组的一个基础解系，对于，解齐次线性方程组，得方程组的一个基础解系将向量组正交单位化得将向量单位化得，令则.一.单项选择题1.三阶矩阵的特征值为，则下列矩阵中非奇异矩阵是（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因为若为三阶矩阵的特征值，则，也即当为矩阵的特征值时，矩阵为奇异矩阵.由于不是矩阵的特征值，所以，即矩阵非奇异.故答案A正确.4.与矩阵相似的矩阵是（）．A.；B.；C.；D..答案：C解由于答案A，B，C，D均为上三角矩阵，其特征值均为，它们是否与矩阵相似，取决于对应特征值四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即.由于只有答案C对应的，即对应有两个线性无关的向量，所以答案C正确.6.设为阶矩阵，且与相似，则（）．A.；B.与有相同的特征值和特征向量；C.与都相似于一个对角矩阵；D.对于任意常数，与相似.答案：D解因为由与相似不能推得，所以答案A错误；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，所以答案B错误；由与相似不能推出与都相似于一个对角矩阵，所以答案C错误；由与相似，则存在可逆矩阵，使，所以所以，对于任意常数，与相似.故答案D正确.8.设矩阵与相似，其中，已知矩阵有特征值，则（）．A.；B.；C.；D..答案：A解因为相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵的特征值为.由，得，故答案A正确.10.设为阶实对称矩阵，则（）．A.的个特征向量两两正交；B.的个特征向量组成单位正交向量组；C.的重特征值，有；D.的重特征值，有.答案：C解由实对称矩阵特征值的性质可知，对于实对称矩阵的重特征值，有.故答案C正确.第五章二次型1.二次型=的矩阵表达式=.4.若二次型的秩为2，则应满足什么条件？解二次型的矩阵表达式为因为,所以且，即且.1.求一个正交变换将二次型化为标准形.解二次型的矩阵为，其特征多项式为令，得矩阵的特征值为当时,解方程组，由.得基础解系.当时，解方程，由得基础解系.当时，解方程，由得基础解系.将单位化，得,,于是正交变换为.且标准形为．2.用配方法化下列二次形成标准形并写出所用变换的矩阵：（1）（2）；解（1）先将含有的项配方.=++－++=+++再对后三项中含有的项配方，则有令即所作变换为写成矩阵形式为，变换矩阵为在此变换下二次型化为标准形为（2