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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列2.集合的子集的个数是()A.2 B.3 C.4 D.83.已知复数和复数,则为A. B. C. D.4.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.5.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.46.已知集合,,则=()A. B. C. D.7.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()A.20 B.24 C.25 D.268.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是()A.至少有一个样本点落在回归直线上B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关9.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()A. B. C. D.10.设为自然对数的底数,函数,若,则()A. B. C. D.11.复数满足,则复数等于()A. B. C.2 D.-212.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若变量,满足约束条件,则的最大值为__________.14.已知数列的前项和为,且满足,则______15.已知关于的不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围为_________.16.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,均为正数,且.证明:(1);(2).18.(12分)已知函数.(1)若是的极值点,求的极大值;(2)求实数的范围,使得恒成立.19.(12分)已知函数(1)若函数在处取得极值1,证明:(2)若恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数.(1)若曲线的切线方程为,求实数的值;(2)若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.21.(12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这个零件尺寸的中位数(结果精确到);(2)若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个,设表示尺寸在上的零件个数,求的分布列及数学期望;(3)已知尺寸在上的零件为一等品,否则为二等品,将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,已知每个零件的检验费用为元.若检验,则将检验出的二等品更换为一等品;若不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个,结果有个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.22.(10分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题2、D【解析】
先确定集合中元素的个数,再得子集个数.【详解】由题意,有三个元素,其子集有8个.故选:D.【点睛】本题考查子集的个数问题,含有个元素的集合其子集有个,其中真子集有个.3、C【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.【详解】z1z2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案为C.【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.4、B【解析】
根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5、D【解析】可以是共4个,选D.6、C【解析】
计算,,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.7、D【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为(种),故选:D.【点睛】本题考查组合的应用,此类问题注意实际问题的合理转化,本题属于容易题.8、D【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【详解】,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.10、D【解析】
利用与的关系,求得的值.【详解】依题意,所以故选:D【点睛】本小题主要考查函数值的计算,属于基础题.11、B【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算,化简求解即可.【详解】复数满足,∴,故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算,复数模长的概念,属于基础题.12、A【解析】
先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据约束条件可以画出可行域,从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解,通过数形结合的方式可确定过时,取最大值,代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:将化为,则最大时,直线在轴截距最大;由直线平移可知,当过时,在轴截距最大,由得:,.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.14、【解析】
对题目所给等式进行赋值,由此求得的表达式,判断出数列是等比数列,由此求得的值.【详解】解:,可得时,,时,,又,两式相减可得,即,上式对也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得.【点睛】本小题主要考查已知求,考查等比数列前项和公式,属于中档题.15、【解析】
先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立,设,求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解:由题可知,不等式对于任意恒成立,即,又因为,,对任意恒成立,设,其中,由不等式,可得:,则,当时等号成立,又因为在内有解,,则,即:,所以实数的取值范围:.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,利用分离参数法和构造函数,通过求新函数的最值求出参数范围,考查转化思想和计算能力.16、2【解析】
将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)由进行变换,得到,两边开方并化简,证得不等式成立.(2)将化为,然后利用基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1),两边加上得,即,当且仅当时取等号,∴.(2).当且仅当时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、(1).(2)【解析】
(1)先对函数求导,结合极值存在的条件可求t,然后结合导数可研究函数的单调性,进而可求极大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0时恒成立,构造函数g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,结合导数及函数的性质可求.【详解】(1),x>0,由题意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,当x>2,0<x<1时,f′(x)>0,函数单调递增,当1<x<2时,f′(x)<0,函数单调递减,故当x=1时,函数取得极大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0时恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0时恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,则,(i)当t≥0时,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)当﹣2<t<0时,g(x)在()上单调递减,在(0,),(1,+∞)上单调递增,此时g(1)=t﹣1<﹣1不合题意,舍去;(iii)当t=﹣2时,g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=﹣3不合题意;(iv)当t<﹣2时,g(x)在(1,)上单调递减,在(0,1),()上单调递增,此时g(1)=t﹣1<﹣3不合题意,综上,t≥1时,f(x)≥2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值,利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题,分类讨论思想,属于中档题.19、(1)证明见详解;(2)【解析】
(1)求出函数的导函数,由在处取得极值1,可得且.解出,构造函数,分析其单调性,结合,即可得到的范围,命题得证;
(2)由分离参数,得到恒成立,构造函数,求导函数,再构造函数,进行二次求导.由知,则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点,且.由此判断出时,单调递减,时,单调递增,则,即.由得,再次构造函数,求导分析单调性,从而得,即,最终求得,则.【详解】解:(1)由题知,∵函数在,处取得极值1,,且,,,令,则为增函数,,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,则令,则,,,在上单调递增,且,有唯一零点,且,当时,,,单调递减;当时,,,单调递增.,由整理得,令,则方程等价于而在上恒大于零,在上单调递增,.,∴实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的极值,利用导函数判断函数的单调性,函数的零点存在定理,证明不等式,解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数,是解题的关键,属于综合性很强的难题.20、(1);(2)或【解析】
(1)根据解析式求得导函数,设切点坐标为,结合导数的几何意义可得方程,构造函数,并求得,由导函数求得有最小值,进而可知由唯一零点,即可代入求得的值;(2)将解析式代入,结合零点定义化简并分离参数得,构造函数,根据题意可知直线与曲线有两个交点;求得并令求得极值点,列出表格判断的单调性与极值,即可确定与有两个交点时的取值范围.【详解】(1)依题意,,,设切点为,,故,故,则;令,,故当时,,当时,,故当时,函数有最小值,由于,故有唯一实数根0,即,则;(2)由,得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”;由于.由,解得,.当变化时,与的变化情况如下表所示:30+0极小值极大值所以在,上单调递减,在上单调递增.又因为,,,,故当或时,直线与曲线在上有两个交点,即当或时,函数在区间上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义应用,由切线方程求参数值,构造函数法求参数的取值范围,函数零点的意义及综合应用,属于难题.21、(1);(2)分布列见详解,期望为;
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