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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线与圆的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切2.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是()A. B. C. D.3.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.4.已知,则()A. B. C. D.5.,则与位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面或相交6.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.7.若2m>2n>1,则()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.8.设是虚数单位,则()A. B. C. D.9.已知集合,,若,则()A. B. C. D.10.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系;用均匀投点实现统计模拟和抽样,以获得问题的近似解,故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点,落入阴影部分的概率为,则圆周率()A. B.C. D.11.平行四边形中,已知,,点、分别满足,,且,则向量在上的投影为()A.2 B. C. D.12.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.14.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.15.已知,,求____________.16.直线是曲线的一条切线为自然对数的底数),则实数__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其导函数为,(1)若,求不等式的解集;(2)证明:对任意的,恒有.18.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为,焦距为4,且椭圆过点,过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点.(1)求的周长;(2)求面积的最大值.19.(12分)已知为等差数列,为等比数列,的前n项和为,满足,,,.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前n项和,求.20.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;(2)若,求的最大值.21.(12分)已知函数,.(1)当时,①求函数在点处的切线方程;②比较与的大小;(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.22.(10分)已知椭圆,点为半圆上一动点,若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.(1)求证:;(2)当时,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论.【详解】解:由题意,圆的圆心为,半径,∵圆心到直线的距离为,,,故选:D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.2、B【解析】
画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.【详解】,画出函数图像,如图所示:根据图像知:,,故,且.故.故选:.【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.3、C【解析】
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.4、D【解析】
根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,,所以,,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.5、D【解析】结合图(1),(2),(3)所示的情况,可得a与b的关系分别是平行、异面或相交.选D.6、B【解析】
由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.7、B【解析】
根据指数函数的单调性,结合特殊值进行辨析.【详解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正确;而当m,n时,检验可得,A、C、D都不正确,故选:B.【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小,根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系,需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质,结合特值法得出选项.8、A【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.9、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.10、A【解析】
计算出黑色部分的面积与总面积的比,即可得解.【详解】由,∴.故选:A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算,属于基础题.11、C【解析】
将用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【详解】解:,得,则向量在上的投影为.故选:C.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查向量的线性运算,将用向量和表示是关键,是基础题.12、C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.【点睛】本题考查均值的概念,属于基础题.14、18【解析】
将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.【详解】因为,所以.故填:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.15、【解析】
求出向量的坐标,然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.【详解】,,,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】
根据切线的斜率为,利用导数列方程,由此求得切点的坐标,进而求得切线方程,通过对比系数求得的值.【详解】,则,所以切点为,故切线为,即,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求出的导数,根据导函数的性质判断函数的单调性,再利用函数单调性解函数型不等式;(2)构造函数,利用导数判断在区间上单调递减,结合可得结果.【详解】(1)若,则.设,则,所以在上单调递减,在上单调递增.又当时,;当时,;当时,,所以所以在上单调递增,又,所以不等式的解集为.(2)设,再令,,在上单调递减,又,,,,,.即【点睛】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性,再利用函数的单调性来解决不等式问题,属于较难题.18、(1)12(2)【解析】
(1)根据焦距得焦点坐标,结合椭圆上的点的坐标,根据定义;(2)求出椭圆的标准方程,设,联立直线和椭圆,结合韦达定理表示出面积,即可求解最大值.【详解】(1)设椭园的焦距为,则,故.则椭圆过点,由椭圆定义知:,故,因此,的周长;(2)由(1)知:,椭圆方程为:设,则,,,,,当且仅当在短轴顶点处取等,故面积的最大值为.【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程,根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值,涉及韦达定理的使用,综合性强,计算量大.19、(1),;(2).【解析】
(1)设的公差为,的公比为,由基本量法列式求出后可得通项公式;(2)奇数项分一组用裂项相消法求和,偶数项分一组用等比数列求和公式求和.【详解】(1)设的公差为,的公比为,由,.得:,解得,∴,;(2)由,得,为奇数时,,为偶数时,,∴.【点睛】本题考查求等差数列和等比数列的通项公式,考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前项和公式,求通项公式采取的是基本量法,即求出公差、公比,由通项公式前项和公式得出相应结论.数列求和问题,对不是等差数列或等比数列的数列求和,需掌握一些特殊方法:错位相减法,裂项相消法,分组(并项)求和法,倒序相加法等等.20、(1)(2)【解析】
(1)根据单调递减可知导函数恒小于等于,采用参变分离的方法分离出,并将的部分构造成新函数,分析与最值之间的关系;(2)通过对的导函数分析,确定有唯一零点,则就是的极大值点也是最大值点,计算的值并利用进行化简,从而确定.【详解】(1)由题意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,则,所以在上单调递增,所以,所以.(2)当时,.则,令,则,所以在上单调递减.由于,,所以存在满足,即.当时,,;当时,,.所以在上单调递增,在上单调递减.所以,因为,所以,所以,所以.【点睛】(1)求函数中字母的范围时,常用的方法有两种:参变分离法、分类讨论法;(2)当导函数不易求零点时,需要将导函数中某些部分拿出作单独分析,以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间,再分析整个函数的单调性,最后确定出函数的最值.21、(1)①见解析,②见解析;(2)见解析【解析】
(1)①把代入函数解析式,求出函数的导函数得到,再求出,利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程;②令,利用导数研究函数的单调性,可得当时,;当时,;当时,.(2)由题意,,在上有唯一零点.利用导数可得当时,在上单调递减,当,时,在,上单调递增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,则,再由在上恒成立,得在上单调递减,进一步得到在上单调递增,由此可得.【详解】解:(1)①当时,,,,又,切线方程为,即;②令,则,在上单调递减.又,当时,,即;当时,,即;当时,,即.证明:(2)由题意,,而,令,解得.,,在上有唯一零点.当时,,在上单调递减,当,时,,在,上单调递增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,则,在上恒成立,在上单调递减,又,,.在上单调递增,.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题.22、(1)见解析;(2).【解析】
(1)分两种情况讨论:①两切线、中有一条切线斜率不存在时,求出两切线的方程,验证结论成立;②两切线、的斜率都存在,可设切线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程
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