2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第3节 函数的奇偶性与周期性含答案

2025-高考科学复习解决方案-数学-基础版第3节函数的奇偶性与周期性含答案第三节函数的奇偶性与周期性课标解读考向预测1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2025年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等相结合来综合考查，以多选题的形式呈现.必备知识——强基础]1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(01))f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于eq\x(\s\up1(02))y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且eq\x(\s\up1(03))f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于eq\x(\s\up1(04))原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的eq\x(\s\up1(05))最小正周期．1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性；(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；(4)若f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(5)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；(6)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；(7)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|；(8)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|.3．函数图象对称性的四个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称；(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.()(2)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．()(3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．()(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(多选)(人教A必修第一册3.2.2例6改编)下列给出的函数是奇函数的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝eq\f(x2＋1,x)C．y＝x3＋1 D．y＝sinx答案ABD(2)已知定义域是R的函数f(x)满足：∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2027)＝()A．1 B．－1C．2 D．－3答案B解析因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故选B.(3)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________．答案－eq\f(5,2)(4)(北师大版必修第二册习题1.1T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________．答案－1解析因为f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.考点探究——提素养考点一函数的奇偶性(多考向探究)考向1函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；(2)f(x)＝eq\f(lg(1－x2),|x－2|－2)；(3)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，即函数f(x)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}，从而f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg(1－x2),－x).又f(－x)＝eq\f(lg[1－(－x)2],x)＝－eq\f(lg(1－x2),－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1，∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．【通性通法】1．判断函数奇偶性的方法2．一些重要类型的奇偶函数模型(1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数．(2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．(3)函数f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函数．(4)函数f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函数．(5)函数f(x)＝loga(eq\r(1＋m2x2)±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．【巩固迁移】1．设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析解法一：因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－(x－1),1＋(x－1))＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－(x＋1),1＋(x＋1))＝eq\f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称．故选B.考向2函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝()A．x－1 B．x＋1C．－x－1 D．－x＋1答案A解析当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故选A.(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,2) D．1答案B解析解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)lneq\f(1,3)＝(－1＋a)ln3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(1,2)，则其定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)lneq\f(2(－x)－1,2(－x)＋1)＝(－x)lneq\f(2x＋1,2x－1)＝(－x)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))eq\s\up12(－1)＝xlneq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B.解法二：设g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，关于原点对称，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B.【通性通法】应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值，或得到方程(组)，进而得出参数的值．【巩固迁移】2．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(x)，x<0，,2x－3，x>0))为奇函数，则f(g(－1))＝________．答案－1解析∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.3．(2022·全国乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因为函数f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2，即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．考点二函数的周期性例3已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2024)＝()A．1 B．eq\f(13,2)C．13 D．eq\f(1,2)答案B解析∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝eq\f(13,f(x))，∵f(x＋4)＝eq\f(13,f(x＋2))＝eq\f(13,\f(13,f(x)))＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2024)＝f(4)＝eq\f(13,f(2))＝eq\f(13,2).故选B.【通性通法】根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用．【巩固迁移】4．(2024·四川绵阳高三阶段考试)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x>0，))则f(25)＝________．答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.考点三函数图象的对称性例4(2024·乌鲁木齐高三模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则m＋n＝()A．lneq\f(1,5)－eq\f(1,5) B．ln5－eq\f(1,5)C．lneq\f(1,3)－eq\f(1,3) D．ln3－eq\f(1,3)答案B解析由题意知x≠eq\f(3,2)，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))≠0.因为函数f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＋nx＋n的图象关于直线x＝－1对称，则－eq\f(7,2)是方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,3－2x)))＝0的根，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,5)))＝0，解得m＝－eq\f(1,5)，则f(x)＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋nx＋n.又由f(0)＝f(－2)，得lneq\f(7,15)＋n＝－lneq\f(3,35)－n，解得n＝ln5.故f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3－2x)－\f(1,5)))＋(x＋1)ln5，即f(x)＝(x＋1)·lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))，函数f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)，且x≠－\f(7,2)))))，且f(－2－x)＝(－x－1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,7＋2x)))＝(x＋1)lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7＋2x,3－2x)))＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，满足题意．则m＋n＝ln5－eq\f(1,5).故选B.【通性通法】(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心．(2)解决与函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或求解参数问题．【巩固迁移】5．(2024·福建福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝()A．0 B.m C.2m D.4m答案B解析∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，∴函数y＝f(x)与y＝eq\f(x＋1,x)的图象都关于点(0，1)对称，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))xi＝0，eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))yi＝eq\f(m,2)×2＝m，∴eq\o(∑,\s\up10(m),\s\do10(i＝1))(xi＋yi)＝0＋m＝m.考点四函数性质的综合应用(多考向探究)考向1函数的奇偶性与单调性的综合例5(2023·山东鄄城第一中学高三三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为()A．(－2，4] B．(－3，5]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) D．(－2，2]答案C解析因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(a－2)＝0，,2b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，得f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1>－4，,－5≤2x＋1≤5，))解得－eq\f(5,2)<x≤2，即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故选C.【通性通法】(1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解．【巩固迁移】6．(2024·福建师范大学附属中学高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增．设a＝f(log45)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．b<a<c答案A解析依题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4\f(1,3)))＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，log43>log4eq\r(4)＝eq\f(1,2)，log45>1>log43>eq\f(1,2)>0.20.5＞0，所以a<b<c.故选A.考向2函数的奇偶性与周期性的综合例6(2024·河北衡水中学高三模拟)已知y＝f(x)为R上的奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2025)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案C解析∵f(x)为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故选C.【通性通法】综合应用奇偶性与周期性解题的技巧综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题，一般策略如下：(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期；(2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值．【巩固迁移】7．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝()A．－3 B．－2C．0 D．1答案A解析因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6.因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do10(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.考向3函数的奇偶性、单调性、对称性与周期性的综合例7定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)答案A解析∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A.【通性通法】综合应用函数性质的解题技巧(1)根据奇偶性、对称性推得周期性．(2)利用周期性转化自变量所在的区间．(3)利用单调性解决相关问题．【巩固迁移】8．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上单调递减，下列关于f(x)的判断正确的是()A．f(0)是函数的最小值B．f(x)的图象关于点(1，0)对称C．f(x)在[2，4]上单调递增D．f(x)的图象关于直线x＝2对称答案ABD解析对于A，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)在[－2，0]上单调递减，在R上是偶函数，∴f(x)在[0，2]上单调递增，∴f(0)是函数的最小值，A正确；对于B，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，得f(x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；对于C，∵f(x)在[－2，0]上单调递减，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)在[2，4]上单调递减，C错误；对于D，∵f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，D正确．故选ABD.课时作业一、单项选择题1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上()A．单调递增且最小值为－5B．单调递减且最小值为－5C．单调递增且最大值为－5D．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.故选C.2．(2024·山东济南一中摸底)设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2)B．f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)C．f(2)<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2)答案B解析因为f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)，又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－eq\f(3,2)<－1，所以f(－2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)，所以f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)．故选B.3．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因为f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f((－x)e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e(a－1)x],eax－1)＝0，又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D.4．(2024·辽宁沈阳高三模拟)已知函数f(x)＝(x－1)3，则下列函数是奇函数的是()A．f(x)＋1 B．f(x)－1C．f(x＋1) D．f(x－1)答案C解析函数f(x)＝(x－1)3的图象是由h(x)＝x3的图象向右平移1个单位长度得到的，因此其图象关于点(1，0)对称，只有把f(x)的图象向左平移1个单位长度，图象才会关于原点对称，所以只有g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1－1)3＝x3是奇函数．故选C.5．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列函数是周期函数的是()A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋xC．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x答案D解析依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D.6．下列函数是偶函数的是()A．g(x)＝sinx B．g(x)＝x2＋2xC．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x答案D解析对于A，g(x)＝sinx为奇函数，故A错误；对于B，g(x)＝x2＋2x为非奇非偶函数，故B错误；对于C，g(x)＝x3－x为奇函数，故C错误；对于D，g(x)＝ex＋e－x为偶函数，故D正确．故选D.7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为()A．(－∞，0]∪[4，＋∞)B．[0，4]C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0，2]答案C解析根据题意，当x≥0时，f(x)＝x2，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在R上为增函数，因为x2≥0，所以f(x2)＝x4，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))＝eq\f(1,4)x4，所以eq\f(1,4)f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))，所以不等式f(x2)≥4f(x)可化为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)))≥f(x)，所以eq\f(x2,2)≥x，解得x≤0或x≥2，所以不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．故选C.8．(2024·福建师范大学附属中学高三模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x－1)的图象关于(1，0)中心对称，f(x＋1)是偶函数且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝1.则下列结论中正确的是()A．f(x)的周期为2B．f(x)为偶函数C．f(x－2)是奇函数D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝1答案C解析f(x－1)的图象关于(1，0)中心对称，则f(x)的图象关于原点对称，因此f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，即f(x)＝f(2－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，4是f(x)的一个周期，2不是f(x)的周期，由f(x)是奇函数，且图象关于直线x＝1对称，得f(x)的图象关于点(2，0)对称，4是f(x)的一个周期，因此f(x)的图象也关于点(－2，0)对称，它的图象向右平移2个单位长度，得f(x－2)的图象关于原点对称，即f(x－2)是奇函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－1，因此C正确，A，B，D错误．故选C.二、多项选择题9．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是()A．|f(x)|一定是偶函数B．f(x)f(－x)一定是偶函数C．f(x)f(－x)≥0D．f(－x)＋|f(x)|＝0答案AB解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．对于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；对于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C错误；对于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D错误．故选AB.10．已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1答案ABC解析因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．故选ABC.三、填空题11．(2023·全国甲卷)若y＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________．答案2解析因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx为偶函数，定义域为R，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)－eq\f(π,2)a＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＋eq\f(π,2)a＋coseq\f(π,2)，则πa＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq\s\up12(2)＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2.12．已知函数f(x)满足∀x∈R，有f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2＋mx，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝eq\f(1,2)，则m＝________．答案eq\f(1,2)解析由f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(x)的周期为4，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(35,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)m＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).13．已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________．答案4解析令g(x)＝asinx＋btanx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.14．(2024·浙江绍兴上虞区高三适应性考试)已知函数y＝f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(－x)＝2，则f(2022)＋f(2024)＝________．答案2解析因为函数y＝f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，则f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数的周期是4，所以f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2022)＋f(2024)＝f(2)＋f(0)＝2.15．(2023·河北石家庄高三三模)已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝ex－e－xB．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．f(x)＝sin4xD．f(x)＝x2答案A解析由函数奇偶性的定义，若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，由函数单调性的定义，若函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0，则函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，选项中四个函数的定义域均为R，∀x∈R，都有－x∈R.对于A，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，∵y＝ex与y＝－e－x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)均在R上单调递增，∴f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，满足性质②；对于B，由指数函数的性质，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)为非奇非偶函数，在R上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤4x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)≤x≤eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故f(x)在(0，1)上不单调，不满足性质②；对于D，由幂函数的性质，f(x)＝x2为偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选A.16．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于(2，0)对称C．f(x)的最小正周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数答案ACD解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD.17．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2C．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是偶函数D．函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是减函数答案ABD解析令x＝eq\f(1,2)，y＝0，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))[1＋f(0)]＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，令x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，由f(0)＝－1，可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，故A正确；令y＝－eq\f(1,2)，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋f(x)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4x×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝－2x，故函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是奇函数，故C错误；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(1,2)))＝－2(x＋1)＝－2x－2，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝－2x－2，得函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是减函数，故D正确；对于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝－2x，令x＝1，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×1＝－2，故B正确．故选ABD.18．(2024·湖北荆宜三校高三联考)设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则eq\o(∑,\s\up6(2023),\s\do10(k＝1))g(k)＝________．答案0解析由g(x＋1)为偶函数，则函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，则有g(－x)＝g(2＋x)，由函数g(x＋2)为奇函数，则函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，则－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2)，设t＝x＋2，则g(t＋2)＝－g(t)，从而函数g(x)是周期为4的函数，又由函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，可得g(1)＋g(3)＝0且g(2)＝0，由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0，因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以eq\o(∑,\s\up6(2023),\s\do10(k＝1))g(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2023)＝505×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝505×0＋0＝0.19．(2024·山东德州高三期末)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)．(1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>eq\f(1,2)的解集．解(1)由f(x＋2)＝f(－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为x∈[1，2]，所以－x＋2∈[0，1]，f(－x＋2)＝logax，又f(－x＋2)＝f(x)，故函数f(x)的解析式为f(x)＝logax，x∈[1，2]．(2)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数．因为a>1，由函数f(x)的最大值为1，知f(x)max＝f(0)＝loga2＝1，即a＝2.若x∈[0，1]，则log2(2－x)>eq\f(1,2)，所以0≤x<2－eq\r(2)，当x∈[－1，0]时，由f(x)是R上的偶函数，可得eq\r(2)－2<x≤0，所以此时满足不等式的解集为(eq\r(2)－2，2－eq\r(2))；因为f(x)是以2为周期的周期函数，所以当x∈[－2，－1]时，f(x)>eq\f(1,2)的解集为[－2，－eq\r(2))；当x∈[1，2]时，f(x)>eq\f(1,2)的解集为(eq\r(2)，2]．综上所述，f(x)>eq\f(1,2)的解集为[－2，－eq\r(2))∪(eq\r(2)－2，2－eq\r(2))∪(eq\r(2)，2]．第四节幂函数与二次函数课标解读考向预测1.通过具体实例，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2025年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度.必备知识——强基础1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点eq\x(\s\up1(02))(0，0)和eq\x(\s\up1(03))(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点eq\x(\s\up1(04))(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为eq\x(\s\up1(05))奇函数；当α为偶数时，y＝xα为eq\x(\s\up1(06))偶函数．2．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域eq\x(\s\up1(07))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\x(\s\up1(09))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在eq\x(\s\up1(11))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；在eq\x(\s\up1(12))eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减对称性函数的图象关于直线eq\x(\s\up1(13))x＝－eq\f(b,2a)对称1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－xeq\s\up7(\f(1,2))是幂函数．()(2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．()(3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)已知幂函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(4)的值是()A．64 B．4eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案D(2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()答案C解析因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)<0，且过原点．故选C.(3)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2))，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________．答案1解析由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.(4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．答案c<b<a解析由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.考点探究——提素养考点一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m<eq\f(1,2)C．－1<m<0<n<eq\f(1,2) D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D.(2)(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．答案3解析因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,－m2＋m＋3<0.))由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3.【通性通法】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．【巩固迁移】1．(2023·皖淮联考)已知a＝2ln2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案B解析因为2ln2＝ln4>lne＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B.2．(2023·江苏南京高三二模)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________．答案xeq\s\up7(\f(2,3))(答案不唯一)解析取f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)eq\s\up7(\f(2,3))＝xeq\s\up7(\f(2,3))＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,4)，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))满足题意．考点二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________．答案－4x2＋4x＋7解析解法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝eq\f(2＋(－1),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用“两根式”)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即eq\f(4a(－2a－1)－(－a)2,4a)＝8，解得a＝－4.∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.【通性通法】根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【巩固迁移】3．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________．答案x2－2x＋3解析由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以eq\f(b,2)＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.考点三二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1二次函数的图象例3(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是()A．b2＞4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a＜b答案AD解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；因为2a－b＝0，即b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD.【通性通法】1．识别二次函数图象应学会“三看”2．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【巩固迁移】4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于A，a<0，b<0，c<0，不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，不符合题意．故选D.考向2二次函数的单调性例4若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，－3)) B．[－6，－4]C．[－3，－2eq\r(2)] D．[－4，－3]答案B解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x>0时，f(x)＝x2＋ax＋2，图象的对称轴为直线x＝－eq\f(a,2)，∴2≤－eq\f(a,2)≤3，解得－6≤a≤－4.故选B.【通性通法】解决二次函数单调性问题的基本方法(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A⊆\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))))，即区间A一定在函数图象的对称轴的左侧(右侧)．【巩固迁移】5．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为()A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝eq\f(3－a,2a).由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0]．故选D.考向3二次函数的最值例5已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________．答案eq\f(3,8)或－3解析f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a的值为eq\f(3,8)或－3.【通性通法】求二次函数在闭区间上最值的类型及策略【巩固迁移】6．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＝2m，,αβ＝2－m，))且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为直线m＝－eq\f(1,4)，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7.课时作业一、单项选择题1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是()A．y＝x3 B．y＝x2C．y＝x D．y＝xeq\s\up7(\f(5,8))答案D解析根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D.2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)()A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，eq\r(3))的坐标代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝xeq\f(1,2)，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D.3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则()A．∀x∈(0，1)，都有f(x)>0B．∀x∈(0，1)，都有f(x)<0C．∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0D．∃x∈(0，1)，使得f(x)>0答案B解析由a>0，c<0，a＋b＋c＝0可知抛物线开口向上，f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以∀x∈(0，1