广东省汕头市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省汕头市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，图中阴影部分表示的集合是，故.故选：A.2.设复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以．故选：A．3.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（）A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6〖答案〗B〖解析〗设乙独立解出该题的概率为，由题意可得，∴．故选：B.4.如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，所以，即.故选：C.5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的〖解析〗式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图可知，该函数是一个偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，是偶函数，根据，可知BD错误；在区间先是单调递减的，在区间是单调递减的，因此符合图形先单调递减.故选：C.6.在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题设，由.故选：A.7.已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若∥，，如果，则“”不一定成立，如图所示，所以“，”是“”非充分条件；如果“”，又，所以，因为，所以，所以“，”是“”的必要条件，所以“，”是“”的必要非充分条件.故选：B.8.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对任意的，都有，在上是增函数，令，则，为偶函数，在上是减函数，且，，当时，，即，解得：，当时，，即，解得：，综上所述：的解集为：.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.）9.在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势．如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比．就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是（）A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0C.图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值〖答案〗AC〖解析〗由折线图可得增速百分比（%）由小到大依次：，对于A：12个月的月度同比增速百分比的中位数为，故A正确；对于B：因为，所以12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B错误；对于C：由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，所以前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C正确；对于D：因为，可知大于的有，共有6个，所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D错误.故选：AC.10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是〖答案〗BCD〖解析〗由图可知：，的周期，当时，，，；对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，将向右平移：，正确；对于D，的大致图像如下：欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确.故选：BCD.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A.圆锥的母线长为9 B.圆锥的表面积为C.圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D.圆锥的体积为〖答案〗AB〖解析〗对于A，设圆锥的母线长为，以S为圆心，为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积为，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则，所以圆锥的母线长为，故A正确；对于B，圆锥的表面积，故B正确；对于C，圆锥的底面圆周长为，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为，则，解得，即，故C错误；对于D，圆锥的高，所以圆锥的体积为，故D错误.故选：AB.12.已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：因为，即，解得或，所以或，故A错误；对于选项B：，因a＞b＞0，则，即，且，所以，即，故B正确；对于选项C：因为a＞b＞0，且，可得同号，则有：若同正，可得，则，可得；若同负，可得，则，可得；综上所述：，又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；对于选项D：因为a＞b＞0，则，可得在内单调递增，可得，且，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分.）13.若，且，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗由于，所以，解得.故〖答案〗：.14.已知向量，则下列说法正确的是___________.（1）（2）（3）向量在向量上投影向量的模长是（4）与向量方向相同的单位向量是〖答案〗（1）（4）〖解析〗由题意，向量，由，则，所以，故（1）正确；由，可得，故（2）错误；由向量在向量方向上的投影向量为，故其模长为，故（3）错误；由，所以与向量方向相同的单位向量是，故（4）正确.故〖答案〗为：（1）（4）.15.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为______．〖答案〗〖解析〗令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，因为该二十四等边体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，所以.解得，即，因为正方体的体对角线就是外接球的直径，所以，即，所以则原正方体的外接球的表面积为.故〖答案〗为：.16.已知，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗设，则，由于，故，故，则，，整理得；，，由于在单调递增，故，故.故〖答案〗为：.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．（1）将该批产品的利润（万元）表示为的函数；（2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?解：（1），.（2），，，当即宣传费用为万元时，利润最大为万元．18.记的内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）点在线段上，，求的面积．解：（1）由正弦定理得：，所以，所以，所以，因为，所以.（2）法1；因为，即，又，所以，即，在中，由余弦定理得，，所以，所以，所以.法2：设，在中，由正弦定理得：，同理，在中，，所以，所以，所以，又，所以，即，在中，由余弦定理得，得，所以，所以.19.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁），设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点，设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点，所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20.如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.（1）证明：平面（2）求证：平面平面（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.解：（1）∵且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）∵平面，平面，∴，连接，∵且，∴四边形为平行四边形，∵，，∴平行四边形为正方形，∴，又，∴，又，面，∴面，∵面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，因为平面，∴∴为二面角的平面角，从而，所以，作于，连接，∵平面平面，平面，平面平面，∴面，所以为直线与平面所成角，在直角中，，，，∴，因为面，面，所以，在直角中，，，∴，则直线与平面所成角的正切值为.21.已知函数的图象经过点.（1）若的最小正周期为，求的〖解析〗式；（2）若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.解：（1）因为的最小正周期为，所以，因为，所以，因为的图象经过点，所以，，即，.因为，所以，故.（2）因为，，所以直线为图象的对称轴，又的图象经过点，所以①，②，，②-①得，所以，因为，，所以，即为正奇数，因为在上单调，所以，即，解得，当时，，，因为，所以，此时，令，，在上单调递增，在上单调递减，故在上不单调，不符合题意；当时，，，因为，所以，此时，令，，在上单调递减，故在上单调，符合题意；当时，，，因为，所以，此时，令，，在上单调递减，故在上单调，符合题