2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【含解析】

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.两条平行直线确定一个平面C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等D.四边形确定一个平面2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线4.(5分)如图,在三棱锥DABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥DABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()A.147 B.77 C.357 【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33 B.55 C.306 5.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为.

8.(5分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为.

9.(5分)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.

10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?11.(10分)如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【能力提升练】12.(5分)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1 B.13 C.33 D13.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCDEFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.

14.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2(1)求该圆锥的体积;(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.两条平行直线确定一个平面C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等D.四边形确定一个平面【解析】选AB.显然选项A正确;对于选项B,两条平行直线确定唯一一个平面,故选项B正确;对于选项C,由空间角的等角定理知,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项C错误;对于选项D,因为空间四边形不在一个平面内,故选项D错误.2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线【解析】选A.根据题意,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4a2+a2=5a,故ON=BM,且直线4.(5分)如图,在三棱锥DABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥DABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()A.147 B.77 C.357 【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,则sinθ=HGEG=HGHG2+【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33 B.55 C.306 【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,从而AE=ED=6,则cos∠EAD=16=6即AE与BC所成角的余弦值为665.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB,PN∥OC,OQ⊥AB,CQ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC棱长均相等,则PM=PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;在选项B中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;在选项C中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为.

【解析】因为AB∥CD,由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面,与另外四个面相交.答案:48.(5分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为.

【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,在△A1BB1中,D为B1B的中点,所以DE为中位线,所以DE∥A1B,所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,在△EDC1中,ED=32+1DC1=32+22=13,EC1=所以cos∠EDC1=ED2+DC所以A1B与C1D所成角的余弦值为13013答案:1309.(5分)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.

【解析】取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,设AB=1,则A1A=2,AB1=3,B1E=32,AE=32,故∠AB1E答案:60°10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;【解析】(1)由已知得FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?【解析】(2)共面.理由如下:因为BE12AF,G是FA所以BEFG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.11.(10分)如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=3,AE=2,EF=2,cos∠AEF=AE2+EF故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14【能力提升练】12.(5分)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1 B.13 C.33 D【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=6313.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCDEFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.

【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=32CH=12+42+42则cos∠AHC=AH2+CH答案:1314.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2(1)求该圆锥的体积;【解析】(1)由勾股定理可知:PO=PA2-OA所以圆锥的体积为13·π·12·3=3(2)