2025年高考数学一轮复习-第一章-第二节-充要条件与量词【课件】

必备知识·逐点夯实第二节充要条件与量词第一章

集合与常用逻辑用语核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【核心素养】数学抽象、逻辑推理、直观想象.【命题说明】考向考法充分必要条件的判断与量词是考查的重点,通常与数列、平面向量、函数、不等式知识相结合.多以选择题、填空题的形式出现.预测2025年备考仍以选择题为主,主要涉及充分、必要条件的判断,加强对命题的否定、真假判断、求参数等的训练.可能会与集合的子集、函数、数列、三角函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识结合考查.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的______条件,q是p的______条件p是q的____________条件p⇒q且q

pp是q的____________条件p

q且q⇒pp是q的______条件p⇔qp是q的__________________条件p

q且q

p微点拨

p是q的充分不必要条件,等价于¬q是¬p的充分不必要条件.充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“___”表示.含有__________的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“___”表示.含有__________的命题,叫做存在量词命题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定∀∃量词命题量词命题的否定结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,

¬p(x)存在量词命题的否定是__________命题∀x∈M,p(x)∃x∈M,

¬p(x)全称量词命题的否定是__________命题微点拨1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时,要对原命题先加上全称量词再对其否定.全称量词存在量词全称量词存在量词√√基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12431.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.(

)提示:(1)充分条件与必要条件是相对而言的,此说法正确;(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.(

)提示:(2)任意三角形的内角和都为180°,此说法正确;√×

2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1;当a2>1时,有a>1或a<-1,不能得到a>1.则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件【解析】选B.a2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b;a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.4.(不能正确运用充要关系建立不等关系致误)若x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件,则实数a的值可以是(

)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选D.由x2-x-2<0得-1<x<2,因此,若x2-x-2<0是-2<x<a的充分不必要条件,所以(-1,2)⫋(-2,a),则a≥2.核心考点·分类突破考点一充分、必要条件的判断[例1](1)(2024·绍兴模拟)“x>1”是“x≥0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x>1,则x≥0必成立,充分性成立;而x≥0,x>1不一定成立,必要性不成立;所以“x>1”是“x≥0”的充分不必要条件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.(3)(2024·潍坊模拟)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列命题中:①r是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④r是s的充分不必要条件.正确命题的序号是(

)A.①④ B.①② C.②③

D.②④【解析】选B.由p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p⇒r,r推不出p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,所以r⇔q,故r是q的充要条件,①正确;p⇒q,q推不出p,故p是q的充分不必要条件,②正确;r⇔q,故r是q的充要条件,③错误;r⇔s,故r是s的充要条件,④错误.(4)(2024·南京模拟)已知p:关于x的方程ax2+bx+c=0有两个异号实数根,q:ac<-1,则p是q的

条件.

必要不充分

解题技法判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.提醒:定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.对点训练1.设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

3.(2024·北京模拟)在人类中,双眼皮由显性基因A控制,单眼皮由隐性基因a控制.当一个人的基因型为AA或Aa时,这个人就是双眼皮,当一个人的基因型为aa时,这个人就是单眼皮.随机从父母的基因中各选出一个A或者a基因遗传给孩子组合成新的基因.根据以上信息,则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若父母均为单眼皮,则父母的基因一定为aa和aa,孩子就一定是单眼皮.

若孩子为单眼皮,则父母的基因可能是Aa和Aa,即父母均为双眼皮,故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件.【加练备选】1.(2024·温州模拟)已知a,b∈R,则“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由a,b∈R,|a|>1,|b|>1,得a2>1,b2>1,于是a2+b2>2,由a,b∈R,取a=1,b=2,满足a2+b2>2,显然“|a|>1,|b|>1”不成立,所以“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.2.已知{an}是公差为3的等差数列,其前n项的和为Sn,设甲:{an}的首项为零;乙:S2+3是S1+3和S3+3的等比中项,则(

)A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

考点二充分、必要条件的探究与应用[例2](1)(2024·商洛模拟)“不等式x2+2x-m≥0在x∈R上恒成立”的一个充分不必要条件是(

)A.m<-1 B.m>4C.2<m<3 D.-1<m<2【解析】选A.因为“不等式x2+2x-m≥0在R上恒成立”,所以等价于二次方程x2+2x-m=0的判别式Δ=4+4m≤0,即m≤-1.所以A选项,m<-1是m≤-1的充分不必要条件,A正确;B选项中,m>4不可推导出m≤-1,故B不正确;C选项中,2<m<3不可推导出m≤-1,故C不正确;D选项中,-1<m<2不可推导出m≤-1,故D不正确.

[0,3][9,+∞)2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.

[3,+∞)【加练备选】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0.如果p是q的充分不必要条件,那么实数k的取值范围是(

)A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,-1]【解析】选B.由q:(x+1)(2-x)<0,可知q:x<-1或x