2025年高考数学一轮复习-第十章-第五节 古典概型与事件的相互独立性-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第十章-第五节古典概型与事件的相互独立性-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（多选）下列试验是古典概型的是（）A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率2.（多选）下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（）A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”3.（2024·江苏南京）将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）A.112B.C.12D.4.（2024·浙江杭州）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则P（A＋B）＝（）A.0.88B.0.9C.0.7D.0.725.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.112B.C.115D.6.（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.C.12D.7.（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（）A.PA＝2B.PB＝1C.PA＋BD.事件A与B相互独立8.（2024·河北石家庄）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教.若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A.112B.C.13D.9.（2024·上海）2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是.10.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为.11.（2022·上海卷）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为.12.甲、乙两名射击运动员进行射击训练，已知甲命中10环、9环、8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环、9环、8环的概率分别是18，1（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.[B组能力提升练]13.（2024·江苏苏州）已知事件A，B，且PA＝0.4，PB＝0.5.若A与B互斥，令a＝PAB；若A与B相互独立，令b＝PAB，则b＋aA.0.3B.0.4C.0.5D.0.614.（2024·山西太原）从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则mnA.25B.C.15D.15.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与BA.89B.C.59D.16.（多选）（2024·浙江杭州）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示：“点数不大于2”，等件B表示：“点数大于2”，事件C表示：“点数为奇数”，事件D表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有（）A.PA＋CB.PAD＝1C.事件A与D相互独立D.事件A与B互斥不对立17.（2024·陕西西安）甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为.18.（2024·广东湛江）某同学高考后参加国内两所名牌大学A，B的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这两所大学A，B招生考试的概率分别为x，13，该同学能否通过这两所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中1所大学招生考试的概率为12，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为19.甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为12与2（1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率.2025年高考数学一轮复习-第十章-第五节古典概型与事件的相互独立性-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（多选）下列试验是古典概型的是（）A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率答案：BD解析：A项，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；B项，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；C项，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；D项，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.2.（多选）下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（）A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”答案：CD解析：在A中，P（MN）＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P（M）＝12，P（N）＝12，P（MN）＝14，P（MN）＝P（M）·P（N），因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果没有影响，因此M，3.（2024·江苏南京）将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）A.112B.C.12D.答案：D解析：分配方案的总数为C42A33，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有C314.（2024·浙江杭州）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则P（A＋B）＝（）A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72答案：C解析：因为事件A，B相互独立，故PAB＝PAPB＝0.5×0.4＝0.2，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－PAB＝0.5＋0.4－0.2＝0.7.5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.112B.C.115D.答案：C解析：不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C102＝45种情况，而和为30的有7＋23，11＋19，13＋17这3种情况，所以所求概率P＝3456.（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.C.12D.答案：D解析：法一（直接法）：从7个整数中随机取2个不同的数共有C72＝21如图，所取的2个数互质的取法有3＋4＋2＋3＋1＋1＝14（种），所以这2个数互质的概率为1421＝2法二（间接法）：从7个数中任取2个数共有C72＝21种取法，2个数不互质的情况有两种：①从4个偶数中任取2个，有C42＝6种取法；②从偶数和奇数中各取一个，有1种取法，所以2个数不互质的取法有7种，所以取2个数互质的概率为1－7.（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（）A.PA＝2B.PB＝1C.PA＋BD.事件A与B相互独立答案：AC解析：对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以PA＝46＝23，故对于选项B：因为B＝4，所以PB＝46×6＝1对于选项C：因为AB＝2，则PAB＝26×6所以PA＋B＝PA＋PB－PAB＝23＋19－118对于选项D：因为PAB≠PA×PB，所以事件A与B不独立，故D错误.8.（2024·河北石家庄）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教.若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A.112B.C.13D.答案：C解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n＝C42A33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m＝A33＋C32A29.（2024·上海）2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是.答案：0.3解析：运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是P＝0.6×0.5＝0.3.10.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为.答案：2解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为10.又6和28恰好在第一组有1种情况，6，28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为1+310＝211.（2022·上海卷）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为.答案：3解析：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C11·C31·C42＋而所有的抽取方法共有C84种，故每一类都被抽到的概率为C11·12.甲、乙两名射击运动员进行射击训练，已知甲命中10环、9环、8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环、9环、8环的概率分别是18，1（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.解：（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次命中10环且第二次命中8环”“第一次命中8环且第二次命中10环”“第一次命中9环且第二次命中9环”这三种情况，所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率P＝C21×13×13＋13（2）记Ai表示甲在第i轮胜利，Bi表示甲在第i轮平局，Ci表示甲在第i轮失败（i＝1，2，3），则P（Ai）＝13×58＋14＋13×58＝12，P（Bi）＝1①若甲获得最终胜利结束3轮比赛，则第2轮、第3轮甲连续胜利，第1轮甲没有获得胜利，其概率P1＝1－12×12×②若乙获得最终胜利结束3轮比赛，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P2＝1－16×16×所以经过3轮比赛结束的概率P＝P1＋P2＝18＋5216＝[B组能力提升练]13.（2024·江苏苏州）已知事件A，B，且PA＝0.4，PB＝0.5.若A与B互斥，令a＝PAB；若A与B相互独立，令b＝PAB，则b＋aA.0.3B.0.4C.0.5D.0.6答案：A解析：因为A，B互斥，所以a＝PAB＝0.因为A与B独立，PA＝0.4，PB＝0.5，所以b＝PAB＝PAPB＝（1－0.4）×0.5＝0.3，所以b＋a＝14.（2024·山西太原）从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则mnA.25B.C.15D.答案：B解析：由题意得，从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，则共有下列情况：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（3，2），（4，2），（5，2），（4，3），（5，3），（5，4），共有20种等可能的情况，其中mn为整数的有（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（4，2），5种情况，所以所求概率为520＝15.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与BA.89B.C.59D.答案：D解析：因为A，B是相互独立事件，设A不发生的概率为x，B不发生的概率为y，则xy＝19，0＜x，y≤1所以x＋y＝x＋19x≥2x·19x＝23，当且仅当x＝19x，即x＝y＝13时，等号成立，所以P＝（1－x）（1－y）＝1－（x16.（多选）（2024·浙江杭州）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示：“点数不大于2”，等件B表示：“点数大于2”，事件C表示：“点数为奇数”，事件D表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有（）A.PA＋CB.PAD＝1C.事件A与D相互独立D.事件A与B互斥不对立答案：AC解析：由题意事件A表示出现的点数是1或2；事件B表示出现的点数是3或4或5或6；事件C表示出现的点数是1或3或5；事件D表示出现的点数是2或4或6.所以A∪C表示出现的点数为1或2或3或5，则PA＋C＝46＝2A∩D表示出现的点数为2，则PAD＝16，故B由PAPD＝26×36＝16＝PAD，得事件A与D显然事件A与B互斥且对立，故D错误.17.（2024·陕西西安）甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立