2025年高考数学一轮复习-第五章-第三节 平面向量的数量积-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第五章-第三节平面向量的数量积-课时作业(原卷版）[A组基础保分练]1.（2024·河北廊坊）已知单位向量a，b满足a+2b·a－b＝－45，则aA.12B.C.15D.2.（2023·全国乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（）A.5B.3C.25D.53.（2024·广东广州质检）a，b为平面向量，已知a＝（2，4），a－2b＝（0，8），则a，b夹角的余弦值为（）A.－45B.－C.35D.4.（2024·吉林长春）已知单位向量a，b的夹角为60°，则2a－bA.1B.3C.5D.35.（2024·安徽亳州）已知非零向量a，b，c满足a＝1，（a－b）·（a＋b）＝－1，a·b＝1，c＝－2b，则向量a与c的夹角为（）A.π4B.C.3π46.（多选）（2024·辽宁营口）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是（）A.b＝1B.（4a＋b）⊥BCC.a·b＝－1D.a⊥b7.（多选）已知向量a＝（－3，2），b＝（2，1），c＝（λ，－1），λ∈R，则下列结论正确的是（）A.若（a＋2b）⊥c，则λ＝4B.若a＝tb＋c，则λ＋t＝－6C.｜a＋μb｜的最小值为7D.若向量a＋b与向量2b＋c的夹角为锐角，则λ的取值范围是（－∞，－1）8.（多选）（2024·广东梅州）已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），则下列说法正确的是（）A.cos＜a，b＞＝2B.b在a方向上的投影向量为22C.与b垂直的单位向量的坐标为4D.若向量a＋λb与非零向量a－λb共线，则λ＝09.已知平面向量a＝（1，1），且a·b＝2.若3a－b＝a－2b，则10.（2024·江西赣州）已知a＝（1，2），b＝（－1，3），若（ka＋b）⊥（2a－b）恒成立，则k的值为.11.（2024·贵州黔西）已知单位向量a，b满足a·b＝－14，若向量c＝a＋2b，则cos＜a，c＞＝12.已知向量m＝（sinα－2，－cosα），n＝（－sinα，cosα），其中α∈R.若m⊥n，则角α＝；若｜m－n｜＝2，则cos2α的值为.[B组能力提升练]13.（2024·辽宁沈阳）已知正方形ABCD的边长为2，P在边AD上，则AP·AC＋PC的最大值为（A.1B.2C.2D.2214.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则｜a－b｜的最小值是（A.3－1B.3＋1C.2D.2－315.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为22，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则MA·MB的最大值为（）A.30＋42B.28＋82C.26＋162D.24＋16216.（多选）（2024·广东汕头）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（）A.AM＝39B.BN＝21C.∠MPN的余弦值为21D.PA＋PB＋PC＝017.（多选）在△ABC中，AB＝（2，3），AC＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（）A.－1B.11C.3+13218.（2024·广东汕头）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，AD＝BC＝2，点E是CD的中点，则AE·BD＝.19.（2024·山东泰安）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN＝.20.（2024·河南开封）在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.（1）设DE＝xAB＋yAC，求x＋y的值；（2）若AB·AC＝6AO·EC，求ABAC的值2025年高考数学一轮复习-第五章-第三节平面向量的数量积-课时作业(解析版）[A组基础保分练]1.（2024·河北廊坊）已知单位向量a，b满足a+2b·a－b＝－45，则aA.12B.C.15D.答案：C解析：因为a+2b·a－b＝a2－2b2＋a·b＝1－2＋a·b＝－45，所以a2.（2023·全国乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（）A.5B.3C.25D.5答案：B解析：法一：由题意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋ED＝EA＋AD＝－12AB＋∴EC·ED＝12AB＋BC·－12AB＋BC＝BC2－1法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则E（1，2），C（2，0），D（0，0），∴EC＝（1，－2），ED＝（－1，－2），∴EC·ED＝1×（－1）＋（－2）×（－2）＝3.3.（2024·广东广州质检）a，b为平面向量，已知a＝（2，4），a－2b＝（0，8），则a，b夹角的余弦值为（）A.－45B.－C.35D.答案：B解析：设b＝（x，y），则有a－2b＝（2，4）－（2x，2y）＝（2－2x，4－2y）＝（0，8），所以2－2x=0，4－2y=8，解得x=1，y＝－2，故b＝（1，－2），｜b｜＝5，｜4.（2024·吉林长春）已知单位向量a，b的夹角为60°，则2a－bA.1B.3C.5D.3答案：B解析：因为单位向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝a·bcos60°＝12所以2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝4－2＋所以2a－b5.（2024·安徽亳州）已知非零向量a，b，c满足a＝1，（a－b）·（a＋b）＝－1，a·b＝1，c＝－2b，则向量a与c的夹角为（）A.π4B.C.3π4答案：C解析：∵（a－b）·（a＋b）＝－1，a2－b2＝－1，∴b＝2.∵a·b＝1，∴cos＜a，b＞＝a·ba·b＝12＝22，＜a，b＞∈0，设向量a与c的夹角为θ，c＝－2b，c与b反向，则θ＝π－π4＝36.（多选）（2024·辽宁营口）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是（）A.b＝1B.（4a＋b）⊥BCC.a·b＝－1D.a⊥b答案：BC解析：因为AB＝2a，所以AB＝2a＝2，所以a＝1，又因为AC＝2a＋b，所以AC＝AB＋b，所以b＝AC－AB＝BC，所以b＝BC＝2，A错误；因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以AB，BC的夹角为2π3，即a，b的夹角为所以（4a＋b）·BC＝（4a＋b）·b＝4a·b＋b2＝4a·bcos2π3＋b2所以（4a＋b）⊥BC，B正确；a·b＝a·bcos2π3＝－1≠0，C正确，D7.（多选）已知向量a＝（－3，2），b＝（2，1），c＝（λ，－1），λ∈R，则下列结论正确的是（）A.若（a＋2b）⊥c，则λ＝4B.若a＝tb＋c，则λ＋t＝－6C.｜a＋μb｜的最小值为7D.若向量a＋b与向量2b＋c的夹角为锐角，则λ的取值范围是（－∞，－1）答案：ABC解析：对于A，因为a＋2b＝（1，4），c＝（λ，－1），（a＋2b）⊥c，所以1×λ＋4×（－1）＝0，解得λ＝4，所以A正确；对于B，由a＝tb＋c，得（－3，2）＝t（2，1）＋（λ，－1）＝（2t＋λ，t－1），则－3=2t＋λ，2=t－1，解得λ＝－9，t=3，故λ＋t＝－6，所以B正确；对于C，因为a＋μb＝（－3，2）＋μ（2，1）＝（2μ－3，μ＋2），所以｜a＋μb｜＝（2μ－3）2＋（μ+2）2＝5μ2－8μ+13＝5μ－452＋495，则当μ＝45时，｜a＋μb｜取得最小值，为755，所以C正确；对于D，因为a＋b＝（－1，3），2b＋c＝（4＋λ，1），向量a＋b与向量2b＋c的夹角为锐角，所以（a＋b）·（2b＋c）＝－1×（4＋λ）＋8.（多选）（2024·广东梅州）已知平面向量a＝（1，1），b＝（－3，4），则下列说法正确的是（）A.cos＜a，b＞＝2B.b在a方向上的投影向量为22C.与b垂直的单位向量的坐标为4D.若向量a＋λb与非零向量a－λb共线，则λ＝0答案：AD解析：由题意知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3＋4＝1，则cos＜a，b＞＝a·b｜a||b在a方向上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞·a｜a｜＝a·ba·a｜a｜与b垂直的单位向量的坐标为45，35或因为a＋λb＝（1－3λ，1＋4λ），a－λb＝（1＋3λ，1－4λ），若向量a＋λb与向量a－λb共线，则（1－3λ）（1－4λ）＝（1＋3λ）（1＋4λ），解得λ＝0，因此D正确.9.已知平面向量a＝（1，1），且a·b＝2.若3a－b＝a－2b，则答案：2解析：因为3a－b＝a－2即9a2－6a·b＋b2＝a2－4a·b＋4b2，又｜a｜＝2，a·b＝2，所以b2＝4，所以｜b｜＝2.10.（2024·江西赣州）已知a＝（1，2），b＝（－1，3），若（ka＋b）⊥（2a－b）恒成立，则k的值为.答案：0解析：因为a＝（1，2），b＝（－1，3），所以ka＋b＝（k－1，2k＋3），2a－b＝（3，1）.因为（ka＋b）⊥（2a－b），所以（ka＋b）·（2a－b）＝0，即3（k－1）＋2k＋3＝0，解得k＝0.11.（2024·贵州黔西）已知单位向量a，b满足a·b＝－14，若向量c＝a＋2b，则cos＜a，c＞＝答案：1解析：由已知得a＝b＝1，c＝a+2b＝a2所以cos＜a，c＞＝a·cac＝a·12.已知向量m＝（sinα－2，－cosα），n＝（－sinα，cosα），其中α∈R.若m⊥n，则角α＝；若｜m－n｜＝2，则cos2α的值为.答案：2kπ＋π6或2kπ＋5π6，k∈Z解析：若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα（sinα－2）－cos2α＝0，即sinα＝12可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，若｜m－n｜＝2，即有（m－n）2＝2，即（2sinα－2）2＋（－2cosα）2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝34即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×916＝－1[B组能力提升练]13.（2024·辽宁沈阳）已知正方形ABCD的边长为2，P在边AD上，则AP·AC＋PC的最大值为（A.1B.2C.2D.22答案：C解析：由题意，建立如图所示坐标系，则A（0，0），B2，0，C（2，2设P（0，t）0≤t则AP＝（0，t），AC＝（2，2），PC＝AC－AP＝2，所以AC＋PC＝22所以AP·AC＋PC＝－t2＋22t＝－t－故当t＝2时，AP·AC＋PC14.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则｜a－b｜的最小值是（A.3－1B.3＋1C.2D.2－3答案：A解析：设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝（x，y），e＝（1，0），由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即（x－2）2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C（2，0）为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x（x＞0）上，如图，数形结合可知｜a－b｜min＝｜CA｜－｜CB｜＝3－15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为22，M是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则MA·MB的最大值为（）A.30＋42B.28＋82C.26＋162D.24＋162答案：D解析：如图，取AB的中点O，连接MO，连接BE，OE，分别过点C，点D作BE的垂线，垂足分别为I，J，所以MA·MB＝（MO＋OA）·（MO＋OB）＝（MO＋OA）·（MO－OA）＝MO2－OA2＝MO2当点M与点F或点E重合时，MO取得最大值，易得四边形CDJI为矩形，△BCI，△DEJ为等腰直角三角形，则IJ＝22，BI＝EJ＝2，则BE＝4＋22，BO＝2，MO2取得最大值为BO2＋BE2＝22＋4+222＝26所以MA·MB的最大值为24＋162.16.（多选）（2024·广东汕头）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（）A.AM＝39B.BN＝21C.∠MPN的余弦值为21D.PA＋PB＋PC＝0答案：ABD解析：连接CP，并延长交AB于点Q，在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，则AM＝12（AB＋AC），BN＝12ACPM＝13AM＝16（AB＋PA＝－23AM＝－13（AB＋PN＝13BN＝16PB＝－23BN＝－13PC＝23QC＝23选项A：AM＝AM＝12（AB＋＝1222＋选项B：BN＝BN＝12AC－＝22＋1选项C：cos∠MPN＝cos＜PN，PM＞＝PN＝1＝1＝136×5选项D：PA＋PB＋PC＝－13（AB＋AC）－13AC＋23AB＋2317.（多选）在△ABC中，AB＝（2，3），AC＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，则k的值可以是（）A.－1B.11C.3+132答案：BCD解析：若A为直角，则AB⊥AC，则AB·AC＝0，∴2＋3k＝0，解得k＝－23.若B为直角，则BC⊥AB，则BC·AB＝0，∵AB＝（2，3），AC＝（1，k），∴BC＝（－1，k－3），∴－2＋3k－9＝0，解得k＝113.若C为直角，则BC⊥AC，则BC·AC＝0，∴－1＋k（k－3）＝0，解得k＝3±132.综上可得，k的值可能为－23，1118.（2024·广东汕头）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD＝3，AD＝BC＝2，点E