2025年高考数学一轮复习-第四章-第三节-导数与函数的极值、最值【课件】

必备知识·逐点夯实第三节导数与函数的极值、最值核心考点·分类突破第四章一元函数的导数及其应用【课标解读】【课程标准】1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题以考查函数的极值、最值的概念,求函数的极值、最值为重点内容,对参数分类讨论,是每年的必考内容,三种题型都可能出现,题目难度较大.预测2025年高考中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点,极值问题会出现在选择题或填空题中,难度属于中档.必备知识·逐点夯实知识梳理·归纳1.函数的极值与导数条件f'(x0)=0在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值f(x0)为极____值f(x0)为极____值极值点x0为极____值点x0为极____值点大小大小微点拨

①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的______;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中______的一个是最大值,______的一个是最小值.连续不断极值最大最小微点拨

函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.常用结论

1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13421.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(

)(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(

)(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(

)(4)函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(

)×√×√提示:(1)反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.×(3)反例f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0.×

-104.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.

4-11

核心考点·分类突破考点一利用导数求函数的极值问题考情提示函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用,在高考中也是重点考查的内容,主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用,既有选择题、填空题,也有解答题.角度1

根据导函数图象判断极值[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(

)A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的极小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.-2是函数y=f(x)的极大值点【解析】选AC.根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确.因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C正确,D错误.

x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增ln2-1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln2-1,无极小值.

(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)=x(lnx-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为____________.

(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)①证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x;②已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.审题导思破题点·柳暗花明①思路:通过构造函数并借助导数得到单调性,进而证明不等式②思路:通过第①问铺设好的不等式,利用导数讨论函数的单调性,进而得到极值规范答题微敲点·水到渠成【解析】①设h(x)=sinx-x,则h'(x)=cosx-1, ………………1分当0<x<1时,h'(x)<0,所以当0<x<1时,h(x)单调递减,h(x)<h(0)=0,即sinx<x(0<x<1).…………2分

源于教材

sinx<x(0<x<1)可参考人教A版《选择性必修第二册》第86页例1(2)及97页练习第1题.

解题技法1.由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧导数值的符号;(5)求出极值.3.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.对点训练1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)【解析】选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).2.(2023·长沙模拟)若1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为__________.

5e-3

解题技法求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则先求出函数在[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.

(2)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).①将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;②讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.

解题技法利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤

一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(