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2025年高考数学一轮复习-第四章-第八节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:A.5 B.6C.8 D.102.给出几种变换:①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;②横坐标缩小到原来的12③向左平移π3④向右平移π3⑤向左平移π6⑥向右平移π6则由函数y=sinx的图象得到y=sin2x+A.①→③ B.②→③C.②→④ D.②→⑤3.(2024·湖南张家界)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2B.y=2sin2C.y=2sin2D.y=2sin24.(2024·四川南充)已知函数fx=2sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,把函数fx的图象向右平移A.y=2sin2xB.y=2cos2xC.y=2sin2D.y=2sin25.(2024·山西晋城)将函数f(x)=sin3x+π6的图象向右平移m(m>0)个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(x)A.π9 B.2π9 C.π186.(多选)关于函数f(x)=3sin2x-π3+1(x∈R)的图象向右平移π12个单位长度后得到y=g(x)A.最大值为3 B.最小正周期为πC.为奇函数 D.图象关于y轴对称7.(多选)把函数f(x)=sin2x-π3的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于yA.5π12 C.5π6 8.(多选)(2024·重庆)将函数y=cos2x+π6的图象向右平移π6个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)A.x=2π3为函数fB.x=π6为函数fxC.7π6,0D.-π3,09.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,−π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则f(10.已知函数f(x)=sinωx-π6+cosωx(ω>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2,则函数f(x)在[0,π11.已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+a,其最大值为2.(1)求a的值;(2)画出f(x)在[0,π]上的图象;(3)若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.12.如图,点A,B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0cosπ3,sinπ3开始,按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,B的纵坐标分别为y(1)求t=π4时,A,B(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈0,π2时,[B组能力提升练]13.(2024·广东广州)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的简图如图所示,则方程f(x)=m(m为常数,且1<m<A.π6 B.C.π2 14.(多选)已知函数f(x)=sinx+π2cosA.f(x)的图象关于点(π,0)对称B.f(x)的图象关于直线x=-2π对称C.f(x)在π,D.f(x)是周期函数15.(多选)声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数y=Asinωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=3|cosx|+|sinx|,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是周期函数C.f(x)在区间0,D.f(x)的最大值为216.(2024·湖北武汉)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,给出以下结论:①f(x)的最小正周期为2;②f(x)图象的一条对称轴为直线x=-12③f(x)在2k-14,④f(x)的最大值为A.则正确的结论为 (填序号).17.(2024·河南平顶山)已知函数y=2cosωx+π5(ω>0)的图象与y=-2的图象的两相邻公共点间的距离为π,将y=2sinωx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y=2cosωx+π18.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)−f-719.已知函数f(x)=3sinωx+π6+-1(ω>0)的相邻两条对称轴间的距离为π2(1)求f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈-π12,π(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=43在π6,4π3上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-2025年高考数学一轮复习-第四章-第八节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:A.5 B.6C.8 D.10答案:C解析:由图象知ymin=2.因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.2.给出几种变换:①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;②横坐标缩小到原来的12③向左平移π3④向右平移π3⑤向左平移π6⑥向右平移π6则由函数y=sinx的图象得到y=sin2x+A.①→③ B.②→③C.②→④ D.②→⑤答案:D解析:y=sinx的图象y=sin2x的图象y=sin2x+π33.(2024·湖南张家界)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2B.y=2sin2C.y=2sin2D.y=2sin2答案:A解析:根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,可得A=2,12T=12·2πω=π3--π6,∴ω=2,∴y=2sin又函数图象过点π3,2,∴2sin2×π3+φ=2,∴2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=-π6+2kπ,k∈Z.∵|φ|<π,∴4.(2024·四川南充)已知函数fx=2sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,把函数fx的图象向右平移A.y=2sin2xB.y=2cos2xC.y=2sin2D.y=2sin2答案:A解析:因为ω>0,所以2πω=π,故ω=则fx=2sin2x则向右平移π6个单位长度后得到y=2sin2x-π5.(2024·山西晋城)将函数f(x)=sin3x+π6的图象向右平移m(m>0)个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(x)A.π9 B.2π9 C.π18答案:C解析:将函数f(x)=sin3x+π6的图象向右平移m(m>0)个单位长度,得y=sin3(x-m)+π6的图象,再将y=sin3x所以g(x)=sin12因为g(x)是奇函数,所以-3m+π6=kπ,k∈Z解得m=π18-kπ3,k因为m>0,所以m的最小值为π186.(多选)关于函数f(x)=3sin2x-π3+1(x∈R)的图象向右平移π12个单位长度后得到y=g(x)A.最大值为3 B.最小正周期为πC.为奇函数 D.图象关于y轴对称答案:BD解析:将函数f(x)=3sin2x-π3+1(x∈R)的图象向右平移π12个单位长度后得到y=则g(x)=3sin2x-π12-π3+1=3sin2x-π2+1=1-3cos2x,且定义域为R,可得g(x)的最大值为4,故A错误;g(x)的最小正周期T=π,故B正确;g(-x)=1-3cos(-2x)=1-3cos2x7.(多选)把函数f(x)=sin2x-π3的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于yA.5π12 C.5π6 答案:AD解析:由题意,得g(x)=sin2(x+φ)−π3=sin2x+2φ-π3.∵g(x)的图象关于y轴对称,∴2φ-π3=kπ+π2(k∈Z),∴φ=kπ2+5π12(k∈8.(多选)(2024·重庆)将函数y=cos2x+π6的图象向右平移π6个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)A.x=2π3为函数fB.x=π6为函数fxC.7π6,0D.-π3,0答案:BD解析:y=cos2x+π得到y=cos2x-π6故fx=cosx-A选项,f2π3=cos2π3-π6=0,故x=B选项,fπ6=cosπ6-π6=1,故x=π6C选项,f7π6=cos7π6-π6=-1,故x=D选项,f-π3=cos-π3-π6=0,故-9.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,−π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则f(答案:f(x)=sin1解析:将y=sinx的图象向左平移π6个单位长度可得y=sinx+π6的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y=sin12x+π6的图象,故f(x)=sin12x+10.已知函数f(x)=sinωx-π6+cosωx(ω>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2,则函数f(x)在[0,π答案:0,π解析:f(x)=sinωx-π6+cosωx=32sinωx-12cosωx+cosωx=32sinωx+1∵函数f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2∴最小正周期T=2πω=π2×∵ω>0,∴ω=2,∴f(x)=sin2x令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈解得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为0,π611.已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+a,其最大值为2.(1)求a的值;(2)画出f(x)在[0,π]上的图象;(3)若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.解:(1)因为f(x)=3sin2x+2cos2x+a=3sin2x+cos2x+1+a=2sin2x+π6+1+所以a=-1.(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π6且f(x)的最小正周期为T列表:x0π5211π2x+ππππ32π13f(x)=2sin2120-201描点,连线得f(x)在[0,π]上的图象如图所示.(3)由已知得y=g(x)=f(x-m)=2sin2(x-是偶函数,所以2m-π6=π2+kπ,k∈解得m=kπ2+π3,k又因为m>0,所以m的最小值为π312.如图,点A,B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0cosπ3,sinπ3开始,按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,B的纵坐标分别为y(1)求t=π4时,A,B(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈0,π2时,解:(1)连接AB,OA,OB(图略),当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,所以∠AOB=2π又OA=1,OB=2,所以AB2=12+22-2×1×2cos2π3=即A,B两点间的距离为7.(2)依题意,y1=sin2ty2=-2sin2t,所以y=sin2t+π3-2sin2t=32cos2t-32sin2即函数关系式为y=3cos2t+π3(t当t∈0,π2时,2t+π所以cos2t+π故当t∈0,π2时,y[B组能力提升练]13.(2024·广东广州)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的简图如图所示,则方程f(x)=m(m为常数,且1<m<A.π6 B.C.π2 答案:B解析:根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的简图,可得A=2.再把点(0,1)的坐标代入可得2sinφ=1,∴sinφ=12,∴φ=π6+2kπ,k∈Z或φ=5π6+2kπ,k∈根据五点作图法可得ω·5π12+π6=π,∴ω∴函数f(x)=2sin2x易得它的一个顶点坐标为π6,2,且f(π)=1,∴由图象可得方程f(x)=m(m为常数,且1<m<2)在[0,π]内所有的解共有2个,且这2个解的和为2×π14.(多选)已知函数f(x)=sinx+π2cosA.f(x)的图象关于点(π,0)对称B.f(x)的图象关于直线x=-2π对称C.f(x)在π,D.f(x)是周期函数答案:ABD解析:由题意得,f(x)=cosxcosx2,因为f(π+x)=cos(π+x)·cosπ+x2=cosxsinx2,f(π-x)=cos(π-x)·cosπ-x2=-cosxsinx2,所以f(π+x)=-f(π-x),因此f(x)的图象关于点(π,0)对称,故A选项正确;因为f(-2π+x)=cos(-2π+x)cos-2π+x2=-cosx·cosx2,f(-2π-x)=cos(-2π-x)·cos-2π-x2=-cosxcosx2,所以f(-2π+x)=f(-2π-x),因此f(x)的图象关于直线x=-2π对称,故B选项正确;易知f'(x)=-sinxcosx2-12cosxsinx2=-12sinx26cos2x2-1,当x∈π,3π2时,x2∈π2,3π4,则cos2x2∈0,12,当cos2x2∈0,16时,f'(x)>0,当15.(多选)声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数y=Asinωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=3|cosx|+|sinx|,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是周期函数C.f(x)在区间0,D.f(x)的最大值为2答案:ABD解析:因为f(x)=3|cosx|+|sinx|,所以f(-x)=3|cos(-x)|+|sin(-x)|=3|cosx|+|sinx|=f(x),所以f(x)是偶函数,所以A正确;因为f(x+kπ)=3|cos(x+kπ)|+|sin(x+kπ)|=3|cosx|+|sinx|=f(x)(k∈Z),所以f(x)是周期函数,所以B正确;当x∈0,π2时,f(x)=3cosx+sinx=2sinx+π3,由2kπ-π2≤x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)得2kπ-5π6≤x≤2kπ+π6(k∈Z),令k=0,可得-5π6≤x≤π6,f(x)在区间0,π2上不是单调递增的,所以C错误;因为f(x)是周期为π的周期函数且为偶函数,当x∈016.(2024·湖北武汉)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,给出以下结论:①f(x)的最小正周期为2;②f(x)图象的一条对称轴为直线x=-12③f(x)在2k-14,④f(x)的最大值为A.则正确的结论为 (填序号).答案:①③解析:由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×54-14=2,故①正确;因为函数f(x)的图象过点14,0和54,0,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=12×14+54+kT2=34+k(k∈Z),故直线x=-12不是函数f(x)图象的对称轴,故②不正确;由题图可知,当14-T4+kT≤x≤14+T4+kT(k∈Z),即2k-14≤x≤2k+34(k∈Z)17.(2024·河南平顶山)已知函数y=2cosωx+π5(ω>0)的图象与y=-2的图象的两相邻公共点间的距离为π,将y=2sinωx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y=2cosωx+π答案:7π20或解析:由函数y=2cosωx+π5的图象与y=-2可得T=π,所以2πω=π,解得ω=2,所以y=2cos又由y=2sin2x=2cos2x-π2,其向左平移φ(φy=2cos2x+φ-π2=2cos2x+2φ-π2,则2φ-解得φ=7π20+kπ,k∈Z,当k=0时,φ取最小值18.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)−f-7答案:2解析:不妨设ω>0,|φ|<π2.由题图可知,34T=13π12-π3=3π4(T为f(x)的最小正周期),得T=π,所以ω=2,所以f(x)=2cos(2x+φ).点π3,0可看作“五点作图法”中的第二个点,则2×所以f(x)=2cos2x所以f-7π4=2cos-11π3=2cosπf4π3=2cos2×4π3所以f(x)即(f(x)-1)f(x)>0,可得f(x)>1或f(x)<0,所以cos2x-π6>12当x=1时,2x-π6=2-π6∈cos2x-π当x=2时,2x-π6=4-π6∈cos
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