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文档简介
2025年高考数学一轮复习-第三章-第一节导数的概念及其意义、导数的运算-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.(多选)(2024·河南安阳)下列求导运算正确的是( )A.x+1x'=B.e2x'=eC.log2x'D.cosxx'2.(2024·深圳检测)曲线y=(x3-3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为( )A.2x+y-2=0 B.x+2y-1=0C.x+y-1=0 D.4x+y-4=03.(2024·河北保定)已知函数f(x)=e2x+f'(1)x2,则f'(1A.-2e2 B.2e2C.e2 D.-e24.(2024·河北衡水)曲线y=x-x3在横坐标为1的点处的切线为l,则点M(1,2)到直线l的距离为( )A.255 C.25 D.5.函数f(x)=lnx+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2] B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.(0,+∞)6.(2024·陕西咸阳)已知函数fx=lnx+x,过原点作曲线y=fx的切线l,则切点P的坐标为( )A.1,1 C.1e,17.(多选)(2024·辽宁沈阳)已知函数fx=3x+f'-1·x2+1,f'x为fxA.f'-1=B.f'1=-5C.fx在0,+∞D.f1=38.(多选)已知点M是曲线y=13x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,则下列结论正确的是A.l斜率最小时的切点坐标为2B.l斜率最小时的切点坐标为2C.切线l的倾斜角α的取值范围为0,πD.l斜率的取值范围为k≤19.(2024·江西景德镇)函数fx=1-x1+x+lnx在x=10.(2024·浙江绍兴)过点-23,0作曲线y=x11.(2024·辽宁大连期末)已知曲线y=x+1klnx在点(1,1)处的切线与直线x+2y=0垂直,则k= 12.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x3-lnx,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为 .[B组能力提升练]13.已知函数f(x)=x3-x和点P(1,-1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为( )A.1 B.2C.3 D.414.(2024·广东揭阳)已知曲线y=x3+2ax2+x+b在点1,0处的切线的倾斜角为3π4,则A.-34 B.-C.-2 D.-1115.已知函数fx=ax3+bx2+cx+d,且满足f2x-1=-f1-2x,f1=2,f'0A.28 B.-28C.203 D.-16.(2024·四川成都)若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0距离的最小值为( )A.22 B.C.22 D.4217.(多选)已知函数f(x)=x3+x-16,则错误的结论是( )A.曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程为13x-y-19=0B.直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为x-y=0C.直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为x-y=0或13x-y=0D.如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,则切点的横坐标为±18.(多选)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0,则下列结论正确的是( )A.直线m不恒过定点B.a=-2C.若直线m是曲线y=g(x)的切线,则m的方程为y=9或y=12x+9D.若直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线,则m的方程为y=12x+919.(2024·安徽宣城)若曲线y=alnx+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是π3,π2,则20.(2024·海南海口)过x轴上一点P(t,0)作曲线C:y=(x+3)ex的切线,若这样的切线不存在,则整数t的一个可能值为 .2025年高考数学一轮复习-第三章-第一节导数的概念及其意义、导数的运算-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.(多选)(2024·河南安阳)下列求导运算正确的是( )A.x+1x'=B.e2x'=eC.log2x'D.cosxx'答案:AC解析:对于选项A,因为x+1x'=1-1对于选项B,因为e2x'=e2x·(2x)'=2e2x,故对于选项C,因为log2x'=1x对于选项D,因为cosxx'=x-sinx-cosx2.(2024·深圳检测)曲线y=(x3-3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为( )A.2x+y-2=0 B.x+2y-1=0C.x+y-1=0 D.4x+y-4=0答案:A解析:由y'=(3x2-3)·lnx+1x·(x3-3x),得所求切线斜率k=y'|x=1=-2,故所求切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=3.(2024·河北保定)已知函数f(x)=e2x+f'(1)x2,则f'(1A.-2e2 B.2e2C.e2 D.-e2答案:A解析:由f(x)=e2x+f'(1)x得f'(x)=2e2x+2f'(1)令x=1,得f'(1)=2e2+2f'(1),所以f'(1)=-2e2.4.(2024·河北衡水)曲线y=x-x3在横坐标为1的点处的切线为l,则点M(1,2)到直线l的距离为( )A.255 C.25 D.答案:A解析:y'=1-3x2,则切线l的斜率k=y'|x=1=-2.又易知切点为(1,0),所以切线l的方程为2x+y-2=0,则点M(1,2)到直线l的距离为25=25.函数f(x)=lnx+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2] B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.(0,+∞)答案:B解析:函数f(x)=lnx+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=1x+a=2在(0,+∞)上有解,即a=2-1因为x>0,所以2-1x<2,所以a的取值范围是(-∞,2)6.(2024·陕西咸阳)已知函数fx=lnx+x,过原点作曲线y=fx的切线l,则切点P的坐标为( )A.1,1 C.1e,1答案:B解析:由题意可知f'x=1x+1设切点为Px0,lnx0+x0,则切线方程为y=1x因为切线过原点,所以0=1x0+1-x0+lnx0+x0=解得x0=e,则Pe,7.(多选)(2024·辽宁沈阳)已知函数fx=3x+f'-1·x2+1,f'x为fxA.f'-1=B.f'1=-5C.fx在0,+∞D.f1=3答案:BCD解析:因为f'x=-3x2+2f'-1所以f'-1=-3-2f'-解得f'-1=-1则fx=3x-x2+1,f'x=-3x2-易知fx在0,+∞上单调递减,f'1=-5,f1=3,故A错误,B,C,D正确8.(多选)已知点M是曲线y=13x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,则下列结论正确的是A.l斜率最小时的切点坐标为2B.l斜率最小时的切点坐标为2C.切线l的倾斜角α的取值范围为0,πD.l斜率的取值范围为k≤1答案:BC解析:∵y'=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴当x=2时,y'min=-1,此时y=53∴斜率最小时的切点坐标为2,53,最小斜率k∴A错误,B正确.由k≥-1,得tanα≥-1.又∵α∈[0,π),∴α∈0,π2故α的取值范围为0,π2∪3π4,9.(2024·江西景德镇)函数fx=1-x1+x+lnx在x=答案:y=12x-解析:由题意知,f(1)=0,则切点为(1,0),f'(x)=-2(x+1)2+1x=x所以切线的斜率为f'1=12故函数在x=1处的切线方程为y-0=12x-1,即y=110.(2024·浙江绍兴)过点-23,0作曲线y=x答案:y=0或y=3x+2(写出一条即可)解析:由y=x3可得y'=3x2,设过点-23,0作曲线y=x3的切线的切点为(x0,y0),则y所以切线方程为y-y0=3x02(x-x0将-23,0代入得-x03=3x02-23所以切点坐标为(0,0)或(-1,-1),故切线方程为y=0或y=3x+2.11.(2024·辽宁大连期末)已知曲线y=x+1klnx在点(1,1)处的切线与直线x+2y=0垂直,则k= 答案:1解析:易知点(1,1)在曲线y=x+1klnx上令f(x)=x+1klnx,则f'(x)=1+1所以f'(1)=1+1k.又该切线与直线x+2y=0垂直,所以1+1k=2,解得k12.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x3-lnx,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为 .答案:2解析:因为当x>0时,f(x)=x3-lnx,所以当x<0时,-x>0,f(-x)=-x3-ln(-x).因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则f'(x)=3x2+1x,所以f'(-1)=2,所以曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为[B组能力提升练]13.已知函数f(x)=x3-x和点P(1,-1),则过点P且与该函数图象相切的直线的条数为( )A.1 B.2C.3 D.4答案:B解析:因为f(1)=13-1=0,所以点P(1,-1)没有在函数f(x)的图象上.设切点坐标为(x0,y0),则y0=x03-x0,f'(x0)=3x02-1.由导数的几何意义可知,切线的斜率为k=3x02-1,又k=y0+1x0-1,所以y0=x03-x0,y14.(2024·广东揭阳)已知曲线y=x3+2ax2+x+b在点1,0处的切线的倾斜角为3π4,则A.-34 B.-C.-2 D.-11答案:A解析:f'x=3x2+4ax+1,由题意可知,切线的斜率k=tan3π4=-f(1)=2+2a+b=0,f所以a+b=-3415.已知函数fx=ax3+bx2+cx+d,且满足f2x-1=-f1-2x,f1=2,f'0A.28 B.-28C.203 D.-答案:B解析:由f2x-1=-f1-又fx的定义域为R,所以f0=0,得d=0.由f-1=-f1得b=0,所以fx=ax3+cx,f'x=3ax2+c由f1=2,f'0=-2,得a+c=2,c=-2,得a=4,于是f-2=4×-23-2×16.(2024·四川成都)若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点,则点P到直线l:x+y-4=0距离的最小值为( )A.22 B.C.22 D.42答案:C解析:过点P作曲线y=lnx-x2的切线(图略),当切线与直线l:x+y-4=0平行时,点P到直线l:x+y-4=0距离的最小.设切点为P(x0,y0)(x0>0),y'=1x-2x所以,切线斜率为k=1x0-2x由题知1x0-2x0=-1得x0=1或x0=-12(所以,P(1,-1),此时点P到直线l:x+y-4=0距离d=|1-1-17.(多选)已知函数f(x)=x3+x-16,则错误的结论是( )A.曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程为13x-y-19=0B.直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为x-y=0C.直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为x-y=0或13x-y=0D.如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,则切点的横坐标为±答案:ABC解析:因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,又点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=13,所以切线方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32,所以A错误;对于B,C,设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=3x02+所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-f'(x0)=3×(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,所以B,C错误.对于D,因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=所以x0=±1,所以D正确.18.(多选)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0,则下列结论正确的是( )A.直线m不恒过定点B.a=-2C.若直线m是曲线y=g(x)的切线,则m的方程为y=9或y=12x+9D.若直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线,则m的方程为y=12x+9答案:BC解析:由已知得,直线m恒过定点(0,9),所以A错误;由已知得f'(x)=3ax2+6x-6a.因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2,所以B正确;若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9,所以C正确;由a=-2知,f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x
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