2025年高考数学一轮复习-第七章-第四节-第一课时-空间直线、平面的垂直-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第七章-第四节-第一课时-空间直线、平面的垂直-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.α，β为两个不重合的平面，a，b为两条不同的直线，下列命题正确的为（）A.若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bB.若a∥b，b⊂β，则a∥βC.若α⊥β，a⊂α，则a⊥βD.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β2.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（）A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥αD.a∥α，a⊥β3.（2024·山东青岛）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下结论正确的是（）A.若l⊥α，α∥β，则l⊥βB.若l∥α，l∥β，则α∥βC.若l⊥α，α⊥β，则l⊂βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β4.如图，已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（）A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB.如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M为棱BC的中点，则下列说法正确的是（）A.A1M⊥BDB.A1M∥平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D17.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的心；（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心.8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体A－OEF，连接AH，则在四面体A－OEF中，下列结论不正确的是.（写出所有不正确结论的序号）①AO⊥平面EOF；②AH⊥平面EOF；③AO⊥EF；④AF⊥OE；⑤平面AOE⊥平面AOF.9.（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.[B组能力提升练]10.（2020·新高考Ⅰ卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°11.（多选）如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是（）A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC12.（多选）（2024·广东佛山）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则（）A.三棱锥B1ABC的体积为2B.三棱锥B1ABC1的体积为23C.点C到直线AB1的距离为14D.点C到直线AB1的距离为1413.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝.14.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：（1）AF∥平面BCE；（2）平面BCE⊥平面CDE.2025年高考数学一轮复习-第七章-第四节-第一课时-空间直线、平面的垂直-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.α，β为两个不重合的平面，a，b为两条不同的直线，下列命题正确的为（）A.若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bB.若a∥b，b⊂β，则a∥βC.若α⊥β，a⊂α，则a⊥βD.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β答案：D解析：对于A选项，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，A选项错误；对于B选项，若a∥b，b⊂β，则a⊂β或a∥β，B选项错误；对于C选项，若α⊥β，a⊂α，则a∥β，a⊂β，a⊥β或a与β斜交，C选项错误；对于D选项，由面面垂直的判定定理知D选项正确.2.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（）A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥αD.a∥α，a⊥β答案：D解析：α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以b不一定垂直于α，α不一定垂直于β，故B不正确；a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；因为a⊥β，a∥α，所以α中一定有一条直线垂直于β，所以α⊥β，故D正确.3.（2024·山东青岛）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下结论正确的是（）A.若l⊥α，α∥β，则l⊥βB.若l∥α，l∥β，则α∥βC.若l⊥α，α⊥β，则l⊂βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β答案：A解析：选项A，若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，故A正确.选项B，若α∩β＝m，l∥m，此时满足l∥α，l∥β，但不满足α∥β，故B不正确.选项C，若l⊥α，α⊥β，则可能有l⊂β，也可能有l∥β，故C不正确.选项D，若l∥α，α⊥β，则直线l可能在平面β内，可能与平面β相交，也可能有l∥β，故D不正确.4.如图，已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD答案：B解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC.又AD⊥圆柱上底面，所以AD⊥BC.因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.5.（多选）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（）A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB.如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β答案：ABC解析：A选项，由m⊥n，m⊥α，可知n∥α或n⊂α，若n⊂α，则由n⊥β，可得α⊥β；若n∥α，则过直线n作平面γ，与平面α交于直线l，即α∩γ＝l，由线面平行的性质定理可得n∥l.因为n⊥β，所以l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β.综上，α⊥β成立，所以A项正确.B选项，由面面平行的性质可知，B项正确.C选项，过直线m作平面γ，使得α∩γ＝a，β∩γ＝b.因为m∥α，所以m∥a，同理可得m∥b，所以a∥b，又a⊄β，b⊂β，所以a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，所以l∥a，又m∥a，所以m∥l，C项正确.D选项，由A项可知，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，因为n∥β，所以α与β平行或相交，D项错误.6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M为棱BC的中点，则下列说法正确的是（）A.A1M⊥BDB.A1M∥平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D1答案：C解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于A，连接AM，假设A1M⊥BD，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD.又A1A∩A1M＝A1，所以BD⊥平面A1AM，所以BD⊥AM，而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不正确，所以假设不成立，故A不正确；对于B，连接CD1，假设A1M∥平面CC1D1D，因为平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，A1M⊄平面CC1D1D，所以A1M∥CD1，因为A1B∥CD1，所以A1M∥A1B，显然不正确，所以假设不成立，故B不正确；对于C，因为MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1，又A1B⊥AB1，A1B∩BM＝B，所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB1，故C正确；对于D，连接A1D，假设A1M⊥平面ABC1D1，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A1M∥A1D，显然不成立，所以假设不成立，故D不正确.7.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的心；（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心.答案：（1）外（2）垂解析：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OP，因为在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.（2）如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.8.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，分别沿AE，EF，FA将△ABE，△ECF，△ADF折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体A－OEF，连接AH，则在四面体A－OEF中，下列结论不正确的是.（写出所有不正确结论的序号）①AO⊥平面EOF；②AH⊥平面EOF；③AO⊥EF；④AF⊥OE；⑤平面AOE⊥平面AOF.答案：②解析：易知OA⊥OE，OA⊥OF，OE∩OF＝O，∴OA⊥平面EOF，故①正确，②错误；∵EF⊂平面EOF，∴AO⊥EF，故③正确；同理可得OE⊥平面AOF，∴OE⊥AF，故④正确；∵OE⊂平面AOE，∴平面AOE⊥平面AOF，故⑤正确.9.（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.（1）证明：∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BC⊂平面BB1C1C，∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.（2）解：过A1作A1O⊥CC1，垂足为O，∵平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，且平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，∴A1O⊥平面BB1C1C，即A1O是四棱锥A1－BB1C1C的高.由（1）知∠A1CB＝∠BCA＝90°.在Rt△A1CB与Rt△ACB中，A1B＝AB，BC＝BC，∴Rt△A1CB≌Rt△ACB，∴A1C＝AC，∴A1C＝A1C1.又知A1C⊥A1C1，∴△CA1C1为等腰直角三角形，∴A1O＝12CC1＝12AA1＝即四棱锥A1－BB1C1C的高为1.[B组能力提升练]10.（2020·新高考Ⅰ卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°答案：B解析：如图所示，☉O为赤道平面，☉O1为A点处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与☉O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.11.（多选）如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是（）A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC答案：ACD解析：∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，∴D正确；∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又AC为圆O的直径，B为圆周上不与点A，C重合的点，∴AB⊥BC.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，∴C正确；又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，AS，AN⊂平面ANS，∴PC⊥平面ANS.又PC⊂平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确.12.（多选）（2024·广东佛山）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则（）A.三棱锥B1ABC的体积为2B.三棱锥B1ABC1的体积为23C.点C到直线AB1的距离为14D.点C到直线AB1的距离为14答案：AC解析：由正三棱柱的特征易知VB1－ABC＝13BB1×S△ABC＝23×34×VB1－ABC1＝VC1－连接B1C，在△AB1C中，易知AB1＝B1C＝22＋22＝22，即△AB1C为等腰三角形，所以S△AB1C＝12设点C到直线AB1的距离为h⇒12h×AB1＝7⇒h＝142，即C正确，D13.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为