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2025年高考数学一轮复习-第七章-第四节-第一课时-空间直线、平面的垂直-课时作业(原卷版)[A组基础保分练]1.α,β为两个不重合的平面,a,b为两条不同的直线,下列命题正确的为()A.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bB.若a∥b,b⊂β,则a∥βC.若α⊥β,a⊂α,则a⊥βD.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β2.已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β3.(2024·山东青岛)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下结论正确的是()A.若l⊥α,α∥β,则l⊥βB.若l∥α,l∥β,则α∥βC.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β4.如图,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有()A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD5.(多选)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是()A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥βB.如果m⊂α,α∥β,那么m∥βC.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥lD.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M为棱BC的中点,则下列说法正确的是()A.A1M⊥BDB.A1M∥平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D17.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心;(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H为EF的中点,分别沿AE,EF,FA将△ABE,△ECF,△ADF折起,使B,C,D重合于点O,构成四面体A-OEF,连接AH,则在四面体A-OEF中,下列结论不正确的是.(写出所有不正确结论的序号)①AO⊥平面EOF;②AH⊥平面EOF;③AO⊥EF;④AF⊥OE;⑤平面AOE⊥平面AOF.9.(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.[B组能力提升练]10.(2020·新高考Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°11.(多选)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于S,AN⊥PB于N,则下列结论正确的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC12.(多选)(2024·广东佛山)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1=2,则()A.三棱锥B1ABC的体积为2B.三棱锥B1ABC1的体积为23C.点C到直线AB1的距离为14D.点C到直线AB1的距离为1413.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,P,Q分别是线段BS,AD的中点,点R在线段SD上.若AS=4,AD=2,AR⊥PQ,则AR=.14.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证:(1)AF∥平面BCE;(2)平面BCE⊥平面CDE.2025年高考数学一轮复习-第七章-第四节-第一课时-空间直线、平面的垂直-课时作业(解析版)[A组基础保分练]1.α,β为两个不重合的平面,a,b为两条不同的直线,下列命题正确的为()A.若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bB.若a∥b,b⊂β,则a∥βC.若α⊥β,a⊂α,则a⊥βD.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β答案:D解析:对于A选项,若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a与b平行或异面,A选项错误;对于B选项,若a∥b,b⊂β,则a⊂β或a∥β,B选项错误;对于C选项,若α⊥β,a⊂α,则a∥β,a⊂β,a⊥β或a与β斜交,C选项错误;对于D选项,由面面垂直的判定定理知D选项正确.2.已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β答案:D解析:α⊥γ,β⊥γ⇒α与β相交或平行,故A不正确;因为α∩β=a,b⊥a,b⊂β,所以b不一定垂直于α,α不一定垂直于β,故B不正确;a∥β,a∥α⇒α与β相交或平行,故C不正确;因为a⊥β,a∥α,所以α中一定有一条直线垂直于β,所以α⊥β,故D正确.3.(2024·山东青岛)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下结论正确的是()A.若l⊥α,α∥β,则l⊥βB.若l∥α,l∥β,则α∥βC.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β答案:A解析:选项A,若两平面平行,则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面,故A正确.选项B,若α∩β=m,l∥m,此时满足l∥α,l∥β,但不满足α∥β,故B不正确.选项C,若l⊥α,α⊥β,则可能有l⊂β,也可能有l∥β,故C不正确.选项D,若l∥α,α⊥β,则直线l可能在平面β内,可能与平面β相交,也可能有l∥β,故D不正确.4.如图,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有()A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD答案:B解析:因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC.又AD⊥圆柱上底面,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.5.(多选)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是()A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥βB.如果m⊂α,α∥β,那么m∥βC.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥lD.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β答案:ABC解析:A选项,由m⊥n,m⊥α,可知n∥α或n⊂α,若n⊂α,则由n⊥β,可得α⊥β;若n∥α,则过直线n作平面γ,与平面α交于直线l,即α∩γ=l,由线面平行的性质定理可得n∥l.因为n⊥β,所以l⊥β,又l⊂α,所以α⊥β.综上,α⊥β成立,所以A项正确.B选项,由面面平行的性质可知,B项正确.C选项,过直线m作平面γ,使得α∩γ=a,β∩γ=b.因为m∥α,所以m∥a,同理可得m∥b,所以a∥b,又a⊄β,b⊂β,所以a∥β,又a⊂α,α∩β=l,所以l∥a,又m∥a,所以m∥l,C项正确.D选项,由A项可知,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,因为n∥β,所以α与β平行或相交,D项错误.6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M为棱BC的中点,则下列说法正确的是()A.A1M⊥BDB.A1M∥平面CC1D1DC.A1M⊥AB1D.A1M⊥平面ABC1D1答案:C解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A,连接AM,假设A1M⊥BD,因为A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩A1M=A1,所以BD⊥平面A1AM,所以BD⊥AM,而BD⊥AC,所以AM∥AC,显然不正确,所以假设不成立,故A不正确;对于B,连接CD1,假设A1M∥平面CC1D1D,因为平面A1MCD1∩平面CC1D1D=CD1,A1M⊄平面CC1D1D,所以A1M∥CD1,因为A1B∥CD1,所以A1M∥A1B,显然不正确,所以假设不成立,故B不正确;对于C,因为MB⊥平面ABB1A1,所以MB⊥AB1,又A1B⊥AB1,A1B∩BM=B,所以AB1⊥平面A1BM,所以A1M⊥AB1,故C正确;对于D,连接A1D,假设A1M⊥平面ABC1D1,因为A1D⊥AD1,A1D⊥AB,且AB∩AD1=A,所以A1D⊥平面ABC1D1,所以A1M∥A1D,显然不成立,所以假设不成立,故D不正确.7.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心;(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.答案:(1)外(2)垂解析:(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,因为在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB.因为PO⊥AB,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H为EF的中点,分别沿AE,EF,FA将△ABE,△ECF,△ADF折起,使B,C,D重合于点O,构成四面体A-OEF,连接AH,则在四面体A-OEF中,下列结论不正确的是.(写出所有不正确结论的序号)①AO⊥平面EOF;②AH⊥平面EOF;③AO⊥EF;④AF⊥OE;⑤平面AOE⊥平面AOF.答案:②解析:易知OA⊥OE,OA⊥OF,OE∩OF=O,∴OA⊥平面EOF,故①正确,②错误;∵EF⊂平面EOF,∴AO⊥EF,故③正确;同理可得OE⊥平面AOF,∴OE⊥AF,故④正确;∵OE⊂平面AOE,∴平面AOE⊥平面AOF,故⑤正确.9.(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.(1)证明:∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又∵A1C,AC⊂平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1.又∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解:过A1作A1O⊥CC1,垂足为O,∵平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O⊂平面ACC1A1,∴A1O⊥平面BB1C1C,即A1O是四棱锥A1-BB1C1C的高.由(1)知∠A1CB=∠BCA=90°.在Rt△A1CB与Rt△ACB中,A1B=AB,BC=BC,∴Rt△A1CB≌Rt△ACB,∴A1C=AC,∴A1C=A1C1.又知A1C⊥A1C1,∴△CA1C1为等腰直角三角形,∴A1O=12CC1=12AA1=即四棱锥A1-BB1C1C的高为1.[B组能力提升练]10.(2020·新高考Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°答案:B解析:如图所示,☉O为赤道平面,☉O1为A点处的日晷的晷面所在的平面,由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1=40°,又点A处的水平面与OA垂直,晷针AC与☉O1所在的面垂直,则晷针AC与水平面所成角为40°.11.(多选)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于S,AN⊥PB于N,则下列结论正确的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC答案:ACD解析:∵PA⊥平面ABC,PA⊂平面PAC,∴平面ABC⊥平面PAC,∴D正确;∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又AC为圆O的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,∴AB⊥BC.又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面PBC,∴C正确;又AN⊂平面PAB,∴BC⊥AN,又AN⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB⊂平面PBC,∴AN⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC,∴AN⊥PC,又∵PC⊥AS,AS∩AN=A,AS,AN⊂平面ANS,∴PC⊥平面ANS.又PC⊂平面PBC,∴平面ANS⊥平面PBC,∴A正确.12.(多选)(2024·广东佛山)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1=2,则()A.三棱锥B1ABC的体积为2B.三棱锥B1ABC1的体积为23C.点C到直线AB1的距离为14D.点C到直线AB1的距离为14答案:AC解析:由正三棱柱的特征易知VB1-ABC=13BB1×S△ABC=23×34×VB1-ABC1=VC1-连接B1C,在△AB1C中,易知AB1=B1C=22+22=22,即△AB1C为等腰三角形,所以S△AB1C=12设点C到直线AB1的距离为h⇒12h×AB1=7⇒h=142,即C正确,D13.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD为
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