第八章　培优点10　阿波罗尼斯圆与蒙日圆-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

培优点10阿波罗尼斯圆与蒙日圆在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档．题型一阿波罗尼斯圆“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))为圆心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．例1(1)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B为椭圆T长轴的端点，C，D为椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左、右焦点，动点M满足eq\f(|ME|,|MF|)＝2，△MAB面积的最大值为4eq\r(6)，△MCD面积的最小值为eq\r(2)，则椭圆T的离心率为()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案A解析设M(x，y)，E(－c,0)，F(c,0)，由eq\f(|ME|,|MF|)＝2，可得eq\r(x＋c2＋y2)＝2eq\r(x－c2＋y2)，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5c,3)))2＋y2＝eq\f(16c2,9).∵△MAB面积的最大值为4eq\r(6)，△MCD面积的最小值为eq\r(2)，∴eq\f(1,2)×2a×eq\f(4,3)c＝4eq\r(6)，eq\f(1,2)×2b×eq\f(1,3)c＝eq\r(2)，∴b2＝eq\f(1,3)a2＝a2－c2，即c2＝eq\f(2,3)a2，∴e＝eq\f(\r(6),3).(2)已知点P是圆(x－4)2＋(y－4)2＝8上的动点，A(6，－1)，O为坐标原点，则|PO|＋2|PA|的最小值为________．答案10解析假设A′(m，n)，使得|PO|＝2|PA′|，设P(x，y)，则eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(x－m2＋y－n2)，从而可得3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0，从而可知圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m,3)，\f(4n,3)))，由题意得圆3x2－8mx＋4m2＋3y2－8ny＋4n2＝0与圆(x－4)2＋(y－4)2＝8是同一个圆，所以eq\f(4m,3)＝4，eq\f(4n,3)＝4，解得m＝n＝3，即A′(3,3)．所以|PO|＋2|PA|＝2(|PA′|＋|PA|)≥2|A′A|＝2eq\r(6－32＋－1－32)＝10.即|PO|＋2|PA|的最小值为10.思维升华阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标．跟踪训练1(1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，则|PA|2＋|PB|2的最大值为()A．16＋8eq\r(3) B．8＋4eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．3＋eq\r(3)答案A解析由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，因为eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(3)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(3)，即(x－2)2＋y2＝3，所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为eq\r(3)的圆，因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8eq\r(3)，即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8eq\r(3).(2)在平面直角坐标系Oxy中，M，N是x轴上两定点，点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，且满足|PM|＝2|PN|，则|MN|＝________.答案eq\f(3,2)解析如图所示，设M(m,0)，N(n,0)，P(x，y)，∵|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝4|PN|2，∴(x－m)2＋y2＝4[(x－n)2＋y2]，即x2－2mx＋m2＋y2＝4x2－8nx＋4n2＋4y2，即3x2＋(2m－8n)x＋3y2＋4n2－m2＝0，由题意得，x2＋y2＋eq\f(2m－8n,3)x＋eq\f(4n2－m2,3)＝0与x2＋y2＝1表示同一个圆．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m－8n,3)＝0，,\f(m2－4n2,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝－\f(1,2)，))∴|MN|＝|m－n|＝eq\f(3,2).题型二蒙日圆在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点．性质1PA⊥PB.性质2kOP·kAB＝－eq\f(b2,a2).性质3kOA·kPA＝－eq\f(b2,a2)，kOB·kPB＝－eq\f(b2,a2)(垂径定理的推广)．性质4PO平分椭圆的切点弦AB.性质5延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.性质6S△AOB的最大值为eq\f(ab,2)，S△AOB的最小值为eq\f(a2b2,a2＋b2).性质7S△APB的最大值为eq\f(a4,a2＋b2)，S△APB的最小值为eq\f(b4,a2＋b2).例2(1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：eq\f(x2,a＋2)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的蒙日圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于()A．1B．2C．3D．4答案A解析∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为(0，eq\r(a))，(eq\r(2＋a)，0)，则两条切线分别是x＝eq\r(2＋a)，y＝eq\r(a)，这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为P(eq\r(2＋a)，eq\r(a))，而P在蒙日圆上，∴(eq\r(2＋a))2＋(eq\r(a))2＝4，解得a＝1.(2)(2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；②求△AMN面积的取值范围．①证明当直线l1，l2有一条斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，∵l1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x＝±eq\r(3)，当l1的方程为x＝eq\r(3)时，此时l1与圆的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，±1))，∴l2的方程为y＝1或y＝－1，故l1⊥l2成立，同理可证，当l1的方程为x＝－eq\r(3)时，结论成立；当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2＋n2＝4，设过点A的直线方程为y＝k(x－m)＋n，代入椭圆方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立．②解记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，∴|MA|＝2d2，|NA|＝2d1，deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OA|2＝4，则△AMN的面积为S＝eq\f(1,2)|MA|·|NA|＝2d1d2，则S2＝4deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)＝4deq\o\al(2,1)(4－deq\o\al(2,1))＝－4(deq\o\al(2,1)－2)2＋16，∵d1∈[1，eq\r(3)]，即deq\o\al(2,1)∈[1,3]，∴S2∈[12,16]，∴S∈[2eq\r(3)，4]，故△AMN的面积的取值范围为[2eq\r(3)，4]．思维升华蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(只有当a>b时才有蒙日圆)．抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝－eq\f(p,2)(可以看作半径无穷大的圆)．跟踪训练2(多选)(2023·泰州模拟)画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是()A．椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2B．对直线l上任意一点P，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))>0C．记点A到直线l的距离为d，则d－|AF2|的最小值为eq\f(4\r(3),3)bD．若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2答案AD解析对于A，过点Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b，∴点Q(a，b)在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)得a2＝2b2，∴椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝3b2，A正确；对于B，由l方程知，l过点P(b，a)，又点P满足蒙日圆方程，∴点P(b，a)在圆x2＋y2＝3b2上，当A，B恰为过点P所作椭圆两条互相垂直的切线的切点时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，B错误；对于C，∵点A在椭圆上，∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a，当F1A⊥l时，d＋|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，由A知，a2＝2b2，则c2＝a2－b2＝b2，即c＝b，∴F1到直线l的距离d′＝eq\f(|－bc－a2－b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|－b2－2b2－b2|,\r(3)b)＝eq\f(4\r(3),3)b，∴(d－|AF2|)min＝eq\f(4\r(3),3)b－2a，C错误；对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝12b2，∴矩形MNGH的面积S＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝6b2(当且仅当x＝y＝eq\r(6)b时取等号)，即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确．1．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：eq\f(x2,a＋1)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的离心率为eq\f(1,2)，则椭圆C的蒙日圆方程为()A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4答案B解析因为椭圆C：eq\f(x2,a＋1)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(1,\r(a＋1))＝eq\f(1,2)，解得a＝3，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，根据蒙日圆的定义知，蒙日圆的半径r＝eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.2．在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的两条互相垂直的切线，则r的取值范围是()A．(3,7)B．[3,7]C．(1,9)D．[1,9]答案B解析根据蒙日圆的定义得椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的蒙日圆方程为x2＋y2＝4，其圆心为(0,0)，半径为2，依题意，点P在圆x2＋y2＝4上，又点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，且其圆心为(3,4)，所以|2－r|≤eq\r(3－02＋4－02)≤2＋r，即|2－r|≤5≤2＋r，所以r∈[3,7]．3．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sinC＝2sinA，则当△ABC的面积最大时，|BC|等于()A．12B．20C．2eq\r(5)D．5eq\r(2)答案C解析如图所示，以AC的中点为原点，AC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，因为|AC|＝6，所以A(－3,0)，C(3,0)，设B(x，y)，因为sinC＝2sinA，由正弦定理可得|AB|＝2|BC|，所以(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化简得(x－5)2＋y2＝16，且x≠1，x≠9，圆的位置如图所示，圆心为(5,0)，半径r＝4，观察可得，在三角形底边长|AC|不变的情况下，当B点位于圆心D的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5,4)或(5，－4)，所以|BC|＝eq\r(5－32＋42)＝2eq\r(5).4．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,0)，B(4,0)，若直线x－y＋m＝0上存在点P使得|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，则实数m的取值范围是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2eq\r(2)]∪[2eq\r(2)，＋∞)D．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]答案D解析设P(x，y)，则|PA|＝eq\r(x－12＋y－02)，|PB|＝eq\r(x－42＋y－02)，因为|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，所以eq\r(x－12＋y－02)＝eq\f(1,2)eq\r(x－42＋y－02)，同时平方，化简得x2＋y2＝4，故点P的轨迹为圆心为(0,0)，半径为2的圆，又点P在直线x－y＋m＝0上，故圆x2＋y2＝4与直线x－y＋m＝0必须有公共点，所以eq\f(|m|,\r(1＋1))≤2，解得－2eq\r(2)≤m≤2eq\r(2).5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为4b2，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),3)答案A解析由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆x2＋y2＝a2＋b2的一条直径，则|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝4(a2＋b2)，所以S△MPQ＝eq\f(1,2)|MP|·|MQ|≤eq\f(|MP|2＋|MQ|2,4)＝a2＋b2，当且仅当|MP|＝|MQ|时，等号成立．所以a2＋b2＝4b2，所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，所以e＝eq\f(\r(6),3).6．阿波罗尼斯圆指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝1，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，M为圆O上的动点，则2|MA|－|MB|的最大值为()A.eq\f(5,2)B.eq\f(\r(17),2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(2),2)答案B解析设点M(x，y)，令2|MA|＝|MC|，则eq\f(|MA|,|MC|)＝eq\f(1,2)，由题知圆x2＋y2＝1是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且λ＝eq\f(1,2)，设点C(m，n)，则eq\f(|MA|,|MC|)＝eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2),\r(x－m2＋y－n2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋eq\f(2m＋4,3)x＋eq\f(2n,3)y＝eq\f(m2＋n2－1,3)，比较两方程可得eq\f(2m＋4,3)＝0，eq\f(2n,3)＝0，eq\f(m2＋n2－1,3)＝1，即m＝－2，n＝0，点C(－2,0)，当点M位于图中M1的位置时，2|MA|－|MB|＝|M1C|－|M1B|，此时取得最大值，最大值为|BC|＝eq\f(\r(17),2).7．(多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C满足eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，直线l：mx－y＋m＋1＝0，则()A．动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4B．直线l与动点C的轨迹一定相交C．动点C到直线l距离的最大值为eq\r(2)＋1D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|＝2eq\r(2)，则m＝－1答案ABD解析对于A选项，设C(x，y)．因为eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，整理得x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，所以动点C的轨迹为以N(－2,0)为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A正确；对于B选项，因为直线l过定点M(－1,1)，而点M(－1,1)在圆N内，所以直线l与圆N相交，故B正确；对于C选项，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r＋|NM|＝2＋eq\r(2)，故C错误；对于D选项，记圆心N到直线l的距离为d，则d＝eq\f(|m－1|,\r(m2＋1)).因为|PQ|2＝4(r2－d2)＝8.又r＝2，所以d＝eq\r(2).由eq\f(m－12,m2＋1)＝2，得m＝－1，故D正确．8．(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的蒙日圆方程为C：x2＋y2＝eq\f(3,2)a2，过C上的动点M作Γ的两条互相垂直的切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则()A．椭圆Γ的离心率为eq\f(\r(2),2)B．△MPQ面积的最大值为eq\f(3,2)a2C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2－eq\r(2))aD．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－eq\f(1,2)答案ABD解析依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线(图略)，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝eq\f(3,2)a2，即a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，故A正确；因为点M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所以|PQ|＝2×eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\r(6)a，所以△MPQ面积的最大值为eq\f(1,2)|PQ|·eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\f(\r(6)a,2)·eq\r(\f(3,2)a2)＝eq\f(3,2)a2，故B正确；设M(x0，y0)，Γ的左焦点为F(－c,0)，连接MF(图略)，因为c2＝a2－b2＝eq\f(1,2)a2，所以|MF|2＝(x0＋c)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋2x0c＋c2＝eq\f(3,2)a2＋2x0·eq\f(\r(2),2)a＋eq\f(1,2)a2＝2a2＋eq\r(2)ax0，又－eq\f(\r(6),2)a≤x0≤eq\f(\r(6),2)a，所以|MF|2∈[(2－eq\r(3))a2，(2＋eq\r(3))a2]，则M到Γ的左焦点的距离的最小值为eq\f(\r(6)－\r(2)a,2)，故C不正确；由直线PQ经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，k2＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),2b2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),2b2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))所以eq\f(x\o\